楊 斌，程軍圣

（湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082）

基于奇異值分解及特征正交分解的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法

楊 斌，程軍圣

（湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082）

為直接通過結(jié)構(gòu)振動響應提取損傷特征參數(shù)，將奇異值分解和特征正交分解運用到結(jié)構(gòu)響應分析中。該方法首先通過對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣的奇異值分解，獲得模態(tài)頻率，然后在模態(tài)頻率處計算互相關(guān)矩陣，利用特征正交分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的特征正交模態(tài)，進而構(gòu)建了損傷定位向量，最后通過結(jié)構(gòu)單元應力的不同分布準確定位了損傷位置。實驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，該方法能有效的進行損傷檢測和定位。

特征正交分解；奇異值分解；損傷定位向量；結(jié)構(gòu)損傷檢測

基于振動響應的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法得到廣泛研究及應用。傳統(tǒng)的損傷檢測方法主要通過結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)參數(shù)變化識別損傷，如固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)柔度及模態(tài)應變能等。其中，基于模態(tài)柔度變化的損傷檢測方法較有效，僅需前幾階模態(tài)參數(shù)即可獲得準確的損傷檢測結(jié)果，因此應用較廣［1－2］。Bernal［3］在結(jié)構(gòu)模態(tài)柔度變化基礎(chǔ)上提出基于損傷定位向量（Damage Locating Vector，DLV）的檢測方法，可更好體現(xiàn)柔度變化及結(jié)構(gòu)損傷間內(nèi)在聯(lián)系。為比較結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)參數(shù)變化通常需對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)參數(shù)識別，以獲取準確的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)；但某些情況下結(jié)構(gòu)激勵不易獲取，較難通過傳統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法獲取準確的模態(tài)參數(shù)，無法判斷結(jié)構(gòu)狀態(tài)。特征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）在結(jié)構(gòu)振動響應分析中得到廣泛應用。該方法通過分析結(jié)構(gòu)響應矩陣，獲得能有效表征結(jié)構(gòu)振動特性的特征正交模態(tài)（Proper Orthogonal Modes，POM），無需進行模態(tài)參數(shù)識別，適用于處理激勵未知的運行工況下結(jié)構(gòu)損傷檢測。Feeny等［4］將POD方法用于振動響應分析，通過分解振動響應矩陣，獲得能有效表征結(jié)構(gòu)振動特性的特征正交模態(tài)。Galvanetto等［5］將POD方法用于損傷檢測，通過對比損傷前后POM變化進行損傷識別及定位。Han等［6］研究認為僅當結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣時POD分解所得POM才會收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時若質(zhì)量矩陣發(fā)生變化，POD分解所得POM將會極大偏離模態(tài)向量，無法準確反映結(jié)構(gòu)的固有屬性。因此又提出濾波POD分解方法；但該方法不能處理諧波頻率情況，易得錯誤模態(tài)參數(shù)［7］。

本文提出基于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）及特征正交分解的損傷檢測方法，對結(jié)構(gòu)響應功率譜密度矩陣進行SVD分解，據(jù)奇異值曲線識別有效的模態(tài)頻率，在模態(tài)頻率處計算互相關(guān)函數(shù)，通過該函數(shù)矩陣的POD分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的POM。通過模態(tài)頻率及POM構(gòu)建柔度指標，由柔度變化矩陣獲得損傷定位向量，再由結(jié)構(gòu)單元應力的不同分布準確定位損傷位置。并通過實驗結(jié)果驗證該方法的有效性。

1 基于奇異值分解的特征正交分解在結(jié)構(gòu)振動響應分析中應用

特征正交分解為簡單有效的結(jié)構(gòu)振動響應分析方法。通過對結(jié)構(gòu)振動響應矩陣進行特征正交分解，可得能有效表征結(jié)構(gòu)振動特性的特征正交模態(tài)。

設(shè)結(jié)構(gòu)測點數(shù)L，采樣點數(shù)N，得結(jié)構(gòu)響應矩陣為

由此可見，結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣時，結(jié)構(gòu)響應協(xié)方差矩陣特征向量即為模態(tài)向量。由特征正交分解所得特征正交模態(tài)收斂于模態(tài)向量；但實際結(jié)構(gòu)中難以獲知結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，較難滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣。若結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣不正比于單位矩陣，則式（4）不成立，因此無法得到式（5）。結(jié)構(gòu)響應矩陣特征正交分解所得特征正交模態(tài)不收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量，不能準確反映結(jié)構(gòu)的固有特性。

為克服特征正交分解不足，本文提出基于奇異值分解及特征正交分解的模態(tài)向量提取方法。對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣進行奇異值分解，通過奇異值曲線獲得模態(tài)頻率，在模態(tài)頻率處積分得協(xié)方差矩陣，對協(xié)方差矩陣進行特征正交分解，可得收斂于模態(tài)向量的特征正交模態(tài)。用頻域分解方法對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣進行奇異值分解，不僅有效識別模態(tài)頻率，且能識別由諧波頻率所致虛假模態(tài)，因而在模態(tài)分析中應用廣泛［8］。

設(shè)結(jié)構(gòu)激勵為x（t），則結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣為

式中：Gxx（jω）為激勵功率譜矩陣；Gyy（jω）為響應功率譜矩陣；H（jω）為頻響函數(shù)矩陣。

頻響函數(shù)矩陣可表示成分式形式為

式中：dk為常數(shù)。

對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣進行SVD分解，通過奇異值曲線峰值可有效識別模態(tài)頻率。在模態(tài)頻率處結(jié)構(gòu)振動響應只含該階模態(tài)響應。在第i階模態(tài)頻率ωi處結(jié)構(gòu)振動響應矩陣可表示為

由式（10）可見，在模態(tài)頻率處通過對結(jié)構(gòu)響應矩陣進行特征正交分解，所得特征正交模態(tài)收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量。

2 基于柔度變化的損傷定位向量法

該方法較固有頻率及模態(tài)振型對結(jié)構(gòu)損傷更敏感，且只需前幾階模態(tài)即可獲得準確損傷檢測結(jié)果。而基于損傷定位向量的損傷檢測方法［9］能更好體現(xiàn)柔度變化及結(jié)構(gòu)損傷間內(nèi)在聯(lián)系。其原理為：設(shè)有一特殊載荷向量，在該載荷作用下?lián)p傷前后結(jié)構(gòu)位移不發(fā)生變化，即結(jié)構(gòu)損傷單元處無應力產(chǎn)生。當此載荷向量施加于正常狀況結(jié)構(gòu)時計算單元應力，單元內(nèi)力為零的單位即為損傷單元。計算步驟為：

（1）通過模態(tài)參數(shù)計算柔度矩陣，即

由式（16）知，載荷向量L＝V0，即載荷向量可由柔度變化矩陣的奇異值分解獲得。

（4）將所得載荷向量L施加于正常狀況結(jié)構(gòu)，計算、比較結(jié)構(gòu)各單元應力σj，確定損傷單元。

實際情況中因測量誤差及噪聲影響，單元應力計算結(jié)果不為零，可通過較小單元應力指示損傷單元。

3 應用

本文用桁架結(jié)構(gòu)實驗數(shù)據(jù)［10］驗證該方法的有效性。桁架結(jié)構(gòu)由鋼管通過螺栓搭接而成，見圖1。激振器在垂直方向?qū)Y(jié)構(gòu)施加白噪聲激勵。加速度傳感器通過磁座安裝于桁架結(jié)構(gòu)，垂向布設(shè)13個振動加速度傳感器，分別采集正常狀態(tài)及損傷狀態(tài)結(jié)構(gòu)振動信號。采樣頻率250 Hz，采樣點數(shù)1 024。通過減小鋼管部件橫截面積在單元4上設(shè)置40%的剛度減少模擬損傷。結(jié)構(gòu)正常狀態(tài)最左端傳感器加速度響應見圖2。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 The truss structure

計算各測點響應組成的功率譜矩陣，對功率譜矩陣進行奇異值分解，通過奇異值曲線確定模態(tài)頻率。在每個頻率下對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣Gyy（jω）進行奇異值分解，得奇異值δ1≥δ2≥…≥δn，取每個頻率ω下前4階奇異值，結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣奇異值曲線見圖3。選奇異值最大的前3階模態(tài)頻率為ω1＝20．1 Hz，ω2＝41．2 Hz，ω3＝62．0 Hz

圖2 結(jié)構(gòu)正常狀態(tài)下振動響應Fig．2 The structural response under normal condition

圖3 結(jié)構(gòu)響應功率譜奇異值曲線圖Fig．3 The singular value curve of the response power spectrum

圖4 結(jié)構(gòu)單元應力分布Fig．4 The stress distribution of different element

在各階模態(tài)頻率附近選若干譜線，相加后即可得到該頻率處互相關(guān)矩陣，并對該矩陣進行特征正交分解得到特征正交模態(tài)。通過模態(tài)頻率及特征正交模態(tài)構(gòu)建柔度指標，計算損傷前后柔度變化矩陣。對柔度變化矩陣進行奇異值分解，通過式（14）求得載荷向量，進而通過有限元模型求得結(jié)構(gòu)損傷單元所在列各單元應力（圖4），比較各單元應力確定損傷單元為第4單元。由此可見，基于奇異值分解及特征正交分解的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法能有效檢測結(jié)構(gòu)損傷及位置。

4 結(jié) 論

（1）本文將奇異值分解與特征正交分解結(jié)合用于結(jié)構(gòu)損傷特征參數(shù)提取。通過對結(jié)構(gòu)響應功率譜矩陣的奇異值分解獲得模態(tài)頻率，計算互相關(guān)矩陣；并對其特征正交分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的特征正交模態(tài)，通過對模態(tài)頻率和特征正交模態(tài)組成的柔度矩陣奇異值分解，構(gòu)建損傷定位向量；通過結(jié)構(gòu)各單元應力分布對結(jié)構(gòu)損傷位置做出準確判斷。實驗數(shù)據(jù)結(jié)果表明，該方法能準確檢測結(jié)構(gòu)損傷及損傷位置。

（2）該方法存在局限性。通過結(jié)構(gòu)響應功率譜奇異值曲線峰值拾取只適用簡單結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率識別，復雜結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率辨識仍需進一步模態(tài)參數(shù)識別過程；因基于損傷定位向量的損傷檢測方法在檢測損傷位置時需先建立結(jié)構(gòu)準確有限元模型，故實際應用中受限制。

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Structure damage detection method based on singular value decom position and proper orthogonal decom position

YANG Bin，CHENG Jun-sheng
（State key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China）

To extract the sensitive damage features directly from the structural vibration responses，the singular value decomposition and the proper orthogonal decomposition were applied to decompose the structural vibration response matrix into a set of proper orthogonal modes，which can represent the structure natural properties．The singular value decomposition was applied on the structural vibration power spectralmatrix to figure out the modal frequencies，then at eachmodal frequency the correlation matrix was calculated．The proper orthogonal decomposition was applied on the correlation matrix calculated to get the proper orthogonalmodes which can converge to the normal structuralmodes．The proper orthogonalmodeswere used to construct a damage locating vector，and to determine the damage location through inspecting the different stress distribution in each element．The experimental results show that the proposed method can detect and locate the damage effectively．

proper orthogonal decomposition；singular value decomposition；damage locating vector；structure damage detection

TH113．1

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．029

國家自然科學基金（51075131）；湖南省自然科學基金（11JJ2026）

2013－02－05 修改稿收到日期：2013－12－19

楊斌男，博士生，1987年10月生

程軍圣男，教授，博士生導師，1968年10月生郵箱：signalp＠tom．com