梁 峰，包日東，金 瑩，蘇 勇

（沈陽(yáng)化工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110142）

外激勵(lì)作用下輸流管道伴隨內(nèi)共振的非線性振動(dòng)分析

梁 峰，包日東，金 瑩，蘇 勇

（沈陽(yáng)化工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110142）

利用多元L－P法研究外部周期激勵(lì)下兩端固定輸流管道伴隨內(nèi)共振的非線性受迫振動(dòng)問(wèn)題。外激勵(lì)流固耦合系統(tǒng)固有頻率第二階約為第一階3倍且激勵(lì)頻率接近前兩階固有頻率中間值時(shí)會(huì)發(fā)生伴隨強(qiáng)烈內(nèi)部共振的組合共振，并用多元L－P法求解振動(dòng)響應(yīng)，分析前兩模態(tài)運(yùn)動(dòng)及外激勵(lì)幅值對(duì)內(nèi)共振的影響。數(shù)值算例揭示出系統(tǒng)因內(nèi)共振發(fā)生的更豐富、復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，隨激勵(lì)幅值增大內(nèi)共振發(fā)生趨勢(shì)降低，響應(yīng)形式亦發(fā)生變化。用多元L－P法研究非線性動(dòng)力學(xué)便捷、高效。

輸流管道；非線性振動(dòng)；內(nèi)共振；外周期激勵(lì)；多元L－P法

輸流管道廣泛應(yīng)用于航空航天、水利工程、石油工業(yè)、農(nóng)業(yè)及日常生活中，其振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題一直被關(guān)注。（作為典型流固耦合系統(tǒng)，輸流管道振動(dòng)失穩(wěn)通常由與內(nèi)部流體耦合所致。對(duì)此，利用理論、實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)包括顫振、屈曲、參數(shù)共振、分岔及混沌等多種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象［1－3］。諸多工程結(jié)構(gòu)中輸流管道不僅受內(nèi)流作用亦常受外部激勵(lì)作用，如橫向風(fēng)載、地震載荷及支承運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的激勵(lì)（該載荷通過(guò)適當(dāng)變換可簡(jiǎn)化為周期載荷）等，雖激勵(lì)幅值較小，但系統(tǒng)頻率關(guān)系滿(mǎn)足某些條件，如第二階固有頻率接近第一階的3倍，此時(shí)管道系統(tǒng)則會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈內(nèi)部共振。關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)共振問(wèn)題，Wang等［4－7］分別利用懸索、梁、板及殼模型進(jìn)行研究，表明內(nèi)共振不僅存在，且其對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為影響明顯。Xu等［8－9］理論上解釋內(nèi)流引起管道內(nèi)共振機(jī)理。Panda等［10－11］用多尺度法研究脈動(dòng)內(nèi)流引起具有內(nèi)共振的主參數(shù)共振及組合參數(shù)共振，認(rèn)為出現(xiàn)內(nèi)共振，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜。以上研究均未考慮外部激勵(lì)。而海洋立管、海底管道、橋梁懸跨管道等，對(duì)風(fēng)、流引起的橫向振動(dòng)尤其渦激振動(dòng)［12－13］、端部激勵(lì)引起的參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)、考慮內(nèi)流及外部激勵(lì)管道的非線性振動(dòng)研究均取得較多成果。本文對(duì)內(nèi)流、外部周期激勵(lì)聯(lián)合作用管道出現(xiàn)內(nèi)共振的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入研究。

組合共振為工業(yè)管道常發(fā)生但得不到重視的非線性振動(dòng)。由于發(fā)生條件較苛刻，且其振動(dòng)形態(tài)較復(fù)雜，對(duì)其研究較少。事實(shí)上，其振動(dòng)危害并不亞于主共振及其它類(lèi)共振。尤其伴隨內(nèi)共振發(fā)生時(shí)其振幅較大、振型較復(fù)雜，為管道振動(dòng)疲勞破裂的重要原因之一。Panda等［11，14－15］曾對(duì)輸流管道組合共振進(jìn)行研究，分別利用平均法、數(shù)值仿真技術(shù)研究脈動(dòng)流管道組合參數(shù)共振穩(wěn)定性及響應(yīng)，認(rèn)為在組合共振區(qū)域內(nèi)亦會(huì)發(fā)生準(zhǔn)周期、組合周期等多種運(yùn)動(dòng)，并證明組合共振的復(fù)雜性。以上研究只考慮內(nèi)流激勵(lì)，本文在此基礎(chǔ)上增加外部激勵(lì)，重點(diǎn)研究和式組合共振（激勵(lì)頻率約為前兩階固有頻率和的一半）響應(yīng)問(wèn)題。本文研究所用多元L－P法已廣泛用于非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析。如Lau等［16－17］利用該法分析動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)非線性振動(dòng)問(wèn)題；Yang等［18］用改進(jìn)的L－P法（MLP）研究參數(shù)激勵(lì)下強(qiáng)非線性Van der Pol-Duffing型振蕩器主共振響應(yīng)；Pu?enjak［19］用拓展的L－P法（ELP）分析具有三次非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。本文用該方法對(duì)外部周期激勵(lì)下兩端固定輸流管道伴隨內(nèi)共振的組合共振響應(yīng)進(jìn)行研究，獲得幅－頻響應(yīng)曲線，并利用增量諧波平衡法進(jìn)行驗(yàn)證，分析該振動(dòng)的響應(yīng)特性，討論外激勵(lì)幅值對(duì)內(nèi)共振的影響。

1 力學(xué)模型及控制方程

圖1為外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)下兩端固定輸流管道力學(xué)模型。實(shí)際上無(wú)論外部周期力或支承簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一定變換后均可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。

圖1 外部激勵(lì)下輸流管道模型Fig．1 Model of a fluid-conveying pipe under external excitation

設(shè)管道軸線為x軸，管道只發(fā)生橫向面內(nèi)振動(dòng)y（x，t），U為管內(nèi)定常流速，F(xiàn)為外激勵(lì)單位長(zhǎng)度幅值，Φ為頻率。管道單元、流體單元受力可用牛頓法推導(dǎo)出其橫向振動(dòng)控制方程［15］為

式中：EI，A1，N，L，m分別為管道彎曲剛度、管壁橫截面積、預(yù)緊力、長(zhǎng)度及單位長(zhǎng)度質(zhì)量；M，A分別為管內(nèi)流體單位長(zhǎng)度質(zhì)量及通流截面積。

式中：（ ）′，（·）分別表示?（ ）／?ξ及?（ ）／?τ。

由式（3）及研究結(jié)果［15，20－21］知，用2階Galerkin法離散管道系統(tǒng)精度已足夠。本文取

式中：ψi（ξ），qi（τ）（i＝1，2）為兩端固定梁前兩階特征函數(shù)及廣義坐標(biāo)。

輸流管道為細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，其外部激勵(lì)通常非同相位（因激勵(lì)幅值較小，忽略非同相位激勵(lì)引起的波長(zhǎng)效應(yīng)），本文考慮二維激振力、模態(tài)cosφ及sinφ正交，故其相位差為π／2；設(shè)激勵(lì)幅值列陣，外部激勵(lì)F cos（Φt）通過(guò)式（2）無(wú)量綱后為［f1cosφ，f2sinφ］T，將式（4）代入式（3），用振型正交性可得二元二階常微分方程組為

2 用多元L－P法求解

為用多元L－P攝動(dòng)法，令式（5）引入攝動(dòng)小參數(shù)ε，變?yōu)?/p>

式中：ωn為獨(dú)立非線性響應(yīng)頻率；τn為多個(gè)不同時(shí)間變量。則qn由單個(gè)時(shí)間變量τ的函數(shù)變?yōu)槎鄠€(gè)獨(dú)立時(shí)間變量τn的函數(shù)（本文n＝2）。將qn（τ1，τ2，ε）與ωn（ε）展開(kāi)為ε的冪級(jí)數(shù)為

式中：ω10，ω20為系統(tǒng)前兩階固有頻率；ωnk（k＝1，2，…）為待定參數(shù)。

qn對(duì)無(wú)量綱時(shí)間變量τ的一、二階導(dǎo)數(shù)為

由式（12）得q10，q20代入式（13），消去長(zhǎng)期項(xiàng)獲得可解性條件，從而獲得外激勵(lì)頻率與響應(yīng)振幅之關(guān)系。

考慮外激勵(lì)頻率Ω在前兩固有頻率中間值附近及內(nèi)共振，有

為消去長(zhǎng)期項(xiàng)，應(yīng)使B11，B12，B21，B22全部為零，但由此所得方程組會(huì)因不相容無(wú)法求解。因此設(shè)q11，q21特解為

將式（20）代入式（19），比較cosτ1，cosτ2，sinτ1，sinτ2各項(xiàng)系數(shù)，可得以E11，E12，E21，E22為未知量的方程組，其非零解條件為

判別式值可出現(xiàn)幾種根，即①若Δ＞0，有1個(gè)實(shí)根與1對(duì)共軛虛根；②Δ＝0，且P＝Q＝0，有3個(gè)零根；③Δ＝0，且P≠0，Q≠0，有3個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等；④Δ＜0，有3個(gè)不等實(shí)根?？捎蓪?shí)根個(gè)數(shù)分析系統(tǒng)的內(nèi)共振。

3 IHB法驗(yàn)證

為驗(yàn)證多元L－P法的有效性，本文用半解析、半數(shù)值法－增量諧波平衡法（Incremental Harmonic Balancemethod，IHB法）重新求解管道系統(tǒng)受迫振動(dòng)響應(yīng)。IHB法由Lau等［22］提出，并在具有三次非線性及陀螺特性等強(qiáng)非線性系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。該法將數(shù)值分析中的增量法與傳統(tǒng)諧波平衡法有機(jī)結(jié)合，且對(duì)所研究系統(tǒng)非線性的強(qiáng)、弱無(wú)限制，為研究非線性振動(dòng)尤其強(qiáng)非線性振動(dòng)的有效方法。梁峰等［3］曾利用IHB法研究輸流管道系統(tǒng)參數(shù)共振響應(yīng)，獲得精確結(jié)果。此處用該方法對(duì)多元L－P法結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。限于篇幅，略去求解過(guò)程。

4 算例分析

結(jié)合數(shù)值算例分析輸流管道含內(nèi)共振組合共振響應(yīng)。算例參數(shù)［14－15］為Mr＝0．447，T＝15，u＝4．75，γ＝5 000。求得管道系統(tǒng)固有頻率及它系統(tǒng)參數(shù)值為

由于ω20≈3ω10，系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生內(nèi)共振。由式（28）、（29）可得P，Q均為a10，f1，f2的復(fù)雜函數(shù)。由判別式（30）看出?acr或a10＜－acr時(shí)有Δ＞0，式（27）僅1個(gè)實(shí)根，即對(duì)給定的a10值，僅1個(gè)外激勵(lì)頻率Ω值與其對(duì)應(yīng)；當(dāng)時(shí)有Δ＜0，式（27）有3個(gè)不等實(shí)根，對(duì)給定的a10值，有3個(gè)外激勵(lì)頻率Ω值與其對(duì)應(yīng)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈內(nèi)共振。acr為f1，f2的復(fù)雜函數(shù)，f1，f2越大acr值越小。取f1＝f2＝0．4進(jìn)行分析，求得f10＝－3．967 39×10－4，f20＝9．356 74×10－5。而據(jù)p1，p2，f10，f20值，對(duì)式（23）、（24）數(shù)值求解比較式（16）中各諧波項(xiàng)幅值知，系統(tǒng)響應(yīng)主要發(fā)生于q1的cosτ1項(xiàng)及q2的sinτ2項(xiàng)，故只分析a10及p2a20兩項(xiàng)幅值。

f1＝f2＝0．4時(shí)a10及p2a20隨激勵(lì)頻率Ω變化見(jiàn)圖2。由圖2看出，響應(yīng)曲線中出現(xiàn)環(huán)狀，即在一定幅值范圍內(nèi)1個(gè)振幅值對(duì)應(yīng)3個(gè)頻率值，說(shuō)明系統(tǒng)已發(fā)生內(nèi)共振；各模態(tài)響應(yīng)圖上、下兩半平面基本對(duì)稱(chēng)，表明均已發(fā)生內(nèi)共振；a10，a20均有兩個(gè)解，每個(gè)解橫跨上、下兩半平面；振動(dòng)響應(yīng)只發(fā)生在Ω＞2ω10即外激勵(lì)頻率大于2倍的第一階固有頻率區(qū)域；外激勵(lì)幅值較小時(shí)在Ω≈2ω10（Ω＞2ω10）區(qū)域附近a10及a20呈明顯內(nèi)部共振特征，兩模態(tài)相互激勵(lì)，大小相互轉(zhuǎn)換。說(shuō)明出現(xiàn)內(nèi)共振過(guò)程中兩模態(tài)間已進(jìn)行能量交換。圖2中利用IHB法求解響應(yīng)結(jié)果驗(yàn)證多元L－P法結(jié)果并對(duì)比知，二者響應(yīng)振幅較小時(shí)較吻合，但隨振幅增大二者差別逐漸增大。原因?yàn)槎嘣狶－P法為攝動(dòng)法，僅適合求解弱非線性振動(dòng)問(wèn)題，而IHB法為半解析半數(shù)值方法，對(duì)強(qiáng)、弱非線性振動(dòng)均適用，故二者在小振幅時(shí)能吻合，振幅增大時(shí)多元L－P法結(jié)果誤差亦增大。

圖3、圖4為改變激勵(lì)幅值后兩模態(tài)響應(yīng)曲線。由圖3看出，f1＝f2＝2時(shí)a10及p2a20曲線中環(huán)狀部分（發(fā)生內(nèi)共振區(qū)域）明顯減小；由圖4看出，f1＝f2＝4時(shí)兩模態(tài)內(nèi)共振已完全消失。說(shuō)明隨激勵(lì)幅值增大acr值減小，系統(tǒng)內(nèi)共振發(fā)生趨勢(shì)降低。激勵(lì)幅值大于某個(gè)臨界值后內(nèi)共振不再發(fā)生。響應(yīng)曲線形態(tài)也會(huì)隨激勵(lì)幅值增大發(fā)生變化，均體現(xiàn)伴隨內(nèi)共振的組合共振響應(yīng)特點(diǎn)。

圖2 f1＝f2＝0．4時(shí)幅－頻響應(yīng)曲線Fig．2 Frequency-amplitude curves for f1＝f2＝0．4

圖3 f1＝f2＝2時(shí)幅－頻響應(yīng)曲線Fig．3 Frequency-amplitude curves for f1＝f2＝2

圖4 f1＝f2＝4時(shí)幅－頻響應(yīng)曲線Fig．4 Frequency-amp litude curves for f1＝f2＝4

由式（23）、（24）知，外激勵(lì)幅值f1，f2不都為零，則響應(yīng)振幅a10不為零，a20只在某一激勵(lì)頻率Ω＝Ω1處可能為零。Ω1可由式（23）、（24）令a20＝0求得，亦為f1，f2的函數(shù)。第1模態(tài)a10的頻率為Ω／2，其振動(dòng)為次諧波振動(dòng)，存在于整個(gè)頻率域；第2模態(tài)a20的頻率為3Ω／2，其振動(dòng)為超次諧波振動(dòng)，存在于除Ω1的頻率域；在Ω＝Ω1處是否存在尚需額外條件判斷；第3模態(tài)f10的頻率為Ω，其振動(dòng)為恒定振幅的基諧波振動(dòng)，存在于整個(gè)頻率域。系統(tǒng)實(shí)際響應(yīng)為3種振動(dòng)的疊加。

5 結(jié) 論

本文用多元L－P法并結(jié)合數(shù)值算例對(duì)外激勵(lì)作用下兩端固定輸流管道伴隨內(nèi)共振組合共振響應(yīng)進(jìn)行研究、分析，結(jié)論如下：

（1）對(duì)外部周期激勵(lì)的兩端固定輸流管道，當(dāng)系統(tǒng)第二階固有頻率約為第一階的3倍且激勵(lì)頻率接近前兩階固有頻率中間值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生含強(qiáng)烈內(nèi)部共振的組合共振。此時(shí)前兩階模態(tài)相互激勵(lì)，振幅相互交換，致系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為更豐富、復(fù)雜。

（2）外激勵(lì)幅值為影響內(nèi)共振的關(guān)鍵因素。隨激勵(lì)幅值增大內(nèi)共振發(fā)生趨勢(shì)降低，響應(yīng)形態(tài)亦發(fā)生變化。激勵(lì)幅值超過(guò)某臨界值后內(nèi)共振完全消失。管道系統(tǒng)受迫振動(dòng)響應(yīng)通常由基諧波、次諧波及超次諧波振動(dòng)疊加產(chǎn)生。

（3）利用增量諧波平衡法對(duì)多元L－P法結(jié)果驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，二者結(jié)果在小響應(yīng)振幅時(shí)吻合較好，表明多元L－P法在分析多模態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（弱）非線性振動(dòng)問(wèn)題的有效性。

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Nonlinear vibration of a fluid-conveying pipe under external excitation accom panied with internal resonance

LIANG Feng，BAO Ri-dong，JIN Ying，SU Yong
（School of Energy and Power Engineering，Shenyang University of Chemical Technology，Shenyang 110142，China）

An external periodic load was considered to act on a fluid-conveying pipe clamped at both ends，and the nonlinear forced vibration of such a system was explored by the multidimensional Lindstedt-Poincaré（MDLP）method．According to the analysis，when the second natural frequency of the system is nearly thrice the firstone，and the excitation frequency is nearly at the middle of first two natural frequencies，accompanied internal resonance may occur to form a combination resonance．The characteristics of the response were discussed，and the motions of first two modes were investigated in detail．The influence of excitation amplitude on the internal resonance was analyzed．Some numerical examples reveal the rich and complex dynamic behaviors caused by internal resonance and show that the occurrence tendency of internal resonance will die down and the responsemodeswill vary with the increase of excitation amplitude．The convenience and efficiency of the MDLPmethod in predicting nonlinear dynamics are demonstrated by the results of the study．

fluid-conveying pipe；nonlinear vibration；internal resonance；external periodic excitation；multidimensional Lindstedt-Poincarémethod

O326

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．026

國(guó)家自然科學(xué)基金（51275315）；遼寧省教育廳科研項(xiàng)目（L2013160）

2013－08－08 修改稿收到日期：2013－12－04

梁峰男，博士，講師，1979年8月生