閩江學院數(shù)學系 賢 鋒 林 鑫

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小學思維訓練中數(shù)學建模思想的運用探究

閩江學院數(shù)學系 賢 鋒 林 鑫

該文論述數(shù)學建模思想在小學思維訓練中的運用，通過結合一部分小學數(shù)學思維訓練的典型例題，依據(jù)大學建模知識，應用數(shù)學建模思想分析和解決這些問題，達到訓練小學生數(shù)學思維的目的。

數(shù)學建模思想 小學 思維訓練

1 概述

數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化以及空間模型等概念的一門科學。由此可見，數(shù)學模型是數(shù)學這門科學中尤為重要的一部分。數(shù)學建模是一個世界性的研究課題，它起源于上世紀70年代末的英國劍橋大學[1]。隨著科學技術的快速進步，數(shù)學模型受到現(xiàn)代人的關注越來越多，無論是生產、工作、各種活動，都離不開數(shù)學建模。而小學數(shù)學教學也應當與發(fā)展要求相適應，充分運用建模思想，培養(yǎng)小學生建模的意識和能力[2]。

建模思想強調的是對實際問題的抽象和概括，而小學階段的數(shù)學教學以實用性為主，突出了數(shù)學知識在生活中的應用。在小學數(shù)學教學中，由于學生的認知水平、知識程度不夠，難以對學生展開數(shù)學建模的教學。在2011版《數(shù)學課程標準》中，提出了培養(yǎng)學生體會數(shù)學建模的過程，樹立模型思想，但是在教學操作上的指導意見比較罕見。如何通過實踐體現(xiàn)課程標準的理念，正是值得我們思考的一個重要問題。數(shù)學思維訓練雖然在這些年來受到廣泛爭議，但不可否認的是，在訓練過程中很好地體現(xiàn)了數(shù)學建模思想的廣泛運用。本文以數(shù)學建模思想為立足點，嘗試探究其在數(shù)學思維訓練的運用，通過例題分析，結合大學數(shù)學建模知識，為小學思維訓練甚至小學數(shù)學建模教學提供一些應用基礎。

2 小學思維訓練中的數(shù)學模型

2.1 小學數(shù)學建模

小學數(shù)學建模的主體是小學生，是利用小學數(shù)學系統(tǒng)中的原理、法則等建立的數(shù)學模型。在小學，由于小學生的知識水平、認知能力有限，進行數(shù)學建模教學具有鮮明的階段性、初始性特征，不能有難度太高的專業(yè)知識，即要從學生熟悉的生活和已有的經驗出發(fā)，講究有趣味性并且容易理解，具有一定的實用性，和生活緊密相關，引導他們熟悉將實際問題初步抽象成數(shù)學模型并進行解釋與運用的過程，進而對數(shù)學學習產生更加深刻的理解[3]。

2.2 小學數(shù)學思維訓練

數(shù)學思維訓練（包括奧賽）在小學數(shù)學教學中還是有一定積極意義的，只是目前數(shù)學教育把思維訓練這一活動當作考量學生的工具，而不是真正為了學生的發(fā)展。數(shù)學思維訓練可以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，體驗到學習數(shù)學的意義和快樂。同時數(shù)學思維訓練也有助于挖掘學生的數(shù)學潛能，訓練出良好的數(shù)學思維，培養(yǎng)良好的數(shù)學品質，讓學生獲得發(fā)揮創(chuàng)新能力的空間，培養(yǎng)學生靈活運用數(shù)學的能力，促進人才的早期培養(yǎng)。

2.3 建模思想在數(shù)學思維訓練中的應用舉例

2.3.1幾何模型

圖1

分析 由常識可知，最內道為400米。所以在最內道應從終點處開始起跑。由圖1可知，跑道在直道處長度是一樣的，所以長度的差異就在彎道處，所以我們來分析左右兩個半圓跑道。由于左右兩個半圓形對稱?，F(xiàn)在我們把左右跑道從跑道中分離出來，得到圖2。把兩個半圓組合起來得到圖3。

圖2

圖3

不妨假設，運動員跑步時，都跑在各自跑道的中間位置，即圖3中的虛線。所以如果三位運動員在各自跑完自己所在的跑道，他們之間的賽程差距就是圖3中虛線的三個圓形軌道周長之差。設最內道所對應的跑步軌跡半徑為，則中間道所對應的跑步軌跡半徑為(R+1)，最外道所對應的跑步軌跡半徑為(R+2)。最內道的在彎道跑過的路程S1為2，而如果在中間道跑完跑道全程的路程為2(1)，最外道跑完跑道全程的路程為2(2)。

所以最內道次運動員的起點設置在終點線，中間道次運動員的起點應該設置在終點線前2米(即6.28米處)，最外道運動員的起點應該設置在終點線前4米(即12.56米)處。

正如本題所示，小學思維訓練中的幾何模型是比較常用的，這一類題目總是和生活場景結合一起。在生活中找到幾何問題的對象，本題為跑道，通過對跑道的分析和簡化，將實際問題轉化為幾何問題，運用數(shù)學中的幾何知識，進行分析，得到數(shù)學結果，代入實際問題，得到實際結果。最后將建模得到的結果，代入實際對象（跑道）進行檢驗。

2.3.2函數(shù)模型

例2 甲與乙同時從A出發(fā)到B，甲一開始以時速4km的速度走路，中途改乘時速42km的公交車。乙則是以時速12km的速度騎自行車。結果甲比乙早到了10分鐘，參考圖4，求A、B兩地間的距離。

圖4

圖5

分析本題可以將圖4，以為原點，路程為軸，時間軸為軸建立坐標系如圖5。

30，則點的坐標為(45,3)

所以點坐標為(71,14.2)

由于橫坐標表示時間，縱坐標表示距離。從A地到B地，乙花了71分鐘，以時速12km，行駛的路程為14.2km。所以A、B兩地相距14.2km。

本題為路程問題。通過對題中所給的路程圖示，結合函數(shù)知識，建立函數(shù)圖像的模型。把速度用斜率表示，縱坐標表示路程，橫坐標表示時間，建立直角坐標系。通過題中所給的已知條件，得到函數(shù)圖像中點的坐標。通過點坐標和函數(shù)解析式相互代入計算，得到我們需要的點坐標，它的縱坐標就是我們需要的兩地距離。將得到的結果代入原題檢驗，檢查是否滿足題意。

2.3.3圖論模型

例3 如圖6，這是一張路線圖，由于路況不同，汽車通過這些路線時，速度也不同。每段路上的數(shù)是汽車通過這段路所需的時間（單位：分鐘）。請問汽車從A點開往B點，最快需要多少分鐘？

圖6

第一輪（T）標號：

圖7

第一輪標號結束，0變成標號，即1，進行下一輪重新標號。

第二輪（T）標號：

3變成符號，此時0,1,3。第二輪標號結束。

第三輪（T）標號：

第四輪（T）標號：

至此，全部結點都已標號。

所以從0到5到最短路長13，最短路是0→1→2→5。

將模型還原到實際問題，即從A點到B點最快需要13分鐘。

這是數(shù)學思維訓練中一道簡單的規(guī)劃問題。由于該問題求的是兩定點的最快路徑（通過兩定點間最短時間），即時間的最短路徑。所以我們可以結合圖論中最短路徑的知識，建立圖論模型。通過算法，計算出模型中的最短路徑，即實際問題中時間的最短路徑。結合路線圖，可以檢驗該路徑是否最快到達，即可檢驗出模型的可行性。

2.3.4線性代數(shù)模型

例4 甲、乙各有100顆蘋果。如果進行這樣一次交換：甲取自己蘋果的40%給乙，而乙取自己蘋果的70%給甲。問，進行一次交換后，甲乙各有多少個蘋果?在第一次交換的基礎上，再進行這樣一次交換，結果又如何?

這是數(shù)學思維訓練中關于分數(shù)和百分數(shù)的題目。這個問題通過可以建立線性代數(shù)模型來解決：

由題可寫出2×2矩陣，表示一次交換。

在矩陣中，

11=0.6表示進行一次交換，甲剩下自己的(1-40%)=60%；

12=0.7表示進行一次交換，甲獲得乙的70%；

21=0.4表示進行一次交換，乙獲得甲的40%；

22=0.3表示進行一次交換，乙剩下自己的(1-70%)=30%

（即第一列表示甲原來的蘋果，第二列表示乙原來的蘋果；第一行表示交換之后甲的蘋果，第二行表示交換后乙的蘋果）。

則一次交換后，甲、乙的蘋果數(shù)表示為：

即交換一次之后，甲的蘋果數(shù)量為130，乙的蘋果數(shù)量為70。

所以在第一次交換的基礎上再進行一次交換后的結果如下：

所以在第一次交換的基礎上，再進行一次這樣的交易，結果是：甲的蘋果數(shù)量為127，乙的蘋果數(shù)量為73。

這個問題雖然是簡單的百分比計算。但是考慮的要進行多次同樣的交換，我們可以通過建立線性代數(shù)模型，將交換關系用矩陣表示，用二維向量表示兩人各自的蘋果數(shù)量，通過計算矩陣和向量的乘積，得到交換后的二維向量，即得到交換后甲、乙兩人的蘋果數(shù)量。同理，進行第二次交換也一樣的。最后，用得到的結果檢驗模型的正確性。

2.3.5數(shù)學規(guī)劃模型

例5 某地區(qū)有甲、乙兩個自來水廠，分別向A、B、C三個村莊供水。按需求，A村需要45噸，B村需要75噸，C村需要40噸?，F(xiàn)在甲自來水廠存水60噸，乙自來水廠存水100噸。甲、乙兩廠與A村、B村、C村的距離如圖8所示。已知每噸水每千米輸送的費用為1元，怎么安排可以使輸送費用最低?并求出最低的費用。

圖8

模型求解(輸入軟件)：

求解得到的輸送方案為：甲自來水廠向C村輸送40噸，向B村輸送20噸；乙自來水廠向A村輸送45噸，向B村輸送55噸。

3 結論

培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想是素質教育的要求。雖然數(shù)學建模知識只有在大學期間才會正式涉及，但是對于處于小學階段的學生來說，此時處于能力發(fā)展的重要階段，也少不了數(shù)學建模思想的學習。也許在許多人的認識中，數(shù)學思維訓練只是鍛煉學生的解題能力，培養(yǎng)學生的解題技巧，缺乏對問題本質的分析。正如本文所述，數(shù)學建模思想也可以廣泛運用在小學思維訓練中。

數(shù)學建模教學可以培養(yǎng)學生的洞察能力、數(shù)學語言翻譯能力、綜合應用分析能力、聯(lián)想能力及各種當代科技最新成果的使用能力[4]。筆者建議在小學數(shù)學思維訓練教學中，教師應該加強對學生數(shù)學建模思想運用的引導，讓學生真正學會分析問題，從問題的本質來思考問題，而不僅僅是簡單地對解法進行學習，這樣才能實現(xiàn)《數(shù)學課程標準》中的既定目標。

[1] 郭淑英. 對數(shù)學建模的幾點認識[J]. 山東教育，2010(28)：43.

[2] 王亮. 建模思想在小學數(shù)學中的應用探討[J]. 教師，2012(15)：43-44.

[3] 陳永琴. 對數(shù)學建模的幾點思考[J]. 數(shù)學學習與研究，2013(14)：136.

[4] 劉瑞芹，王文祥. 數(shù)學建模[M]. 北京: 煤炭工業(yè)出版社，2009.