鄭其明

(南京化工職業(yè)技術學院，江蘇南京 210048)

0 引言

彩虹是常見的自然現(xiàn)象，常在夏日的雨后發(fā)生。對于彩虹形成的原因，早在十七世紀時，法國物理學家Rene Descartes就已經(jīng)用幾何光學的原理分析過［1］，此后物理學家通過波動光學和微分方程對彩虹原理解釋得更加精確［2］，但這些解釋對普通大學生而言很難理解。本文在基于光的折射定律的基礎上［3］，通過理論和實驗兩個角度，利用簡單的數(shù)學方法，對彩虹形成原因進行了解釋，讓學生更直觀地了解彩虹形成的原因，進而利用本文提出的原理，發(fā)展出一種測量液體折射率的新方法。

1 虹形成原因的理論分析

虹的形成是由于光線射入空氣中的小水滴，經(jīng)另一側內反射后，光線從同一側面折射出來，從而觀察到虹。由于陽光(白色光)是由7種單色光組成，不同單色光對水的折射率不同，白色光經(jīng)過水滴折射后，折射光線會分解成不同單色光，因此觀察到的虹是彩色的。最容易被觀察到的彩虹是經(jīng)過水滴一次內反射后形成的，其觀察角往往在與水平面成α=42°角處［4］(即彩虹形成的觀察最大角度)。在適當?shù)臈l件下肉眼也可以看到經(jīng)過多次內反射后形成的高階彩虹。由于高階彩虹形成原理比較復雜，本文只研究單階彩虹的情況。

在一般教材或相關資料中都會介紹到彩虹與水平面形成42°的角，但一般并不說明形成42°的角的原因和其物理意義，本文從理論和實驗兩個角度對此問題進行分析。

圖1 彩虹形成原理的光路示意圖

考慮一道單色光在小水滴內單次內反射的情形，如圖1所示，θ為入射角，φ為折射角，光線經(jīng)過水滴內反射和折射后的偏折角是入射角θ的函數(shù)，并隨著入射角的變化而變化，記作A(θ)。由圖可知，出射光線與水平線的夾角為α。有:

根據(jù)光的折射定律，設空氣的折射率為n，可得，sin θ=nsin φ，代入上式得:

同時由圖1可知，入射光線(或其延長線)到水滴中心寬度:h=Rsin θ，h隨著入射角θ的變化而變化，對具體小水滴而言，其半徑為常數(shù)，則有:

而A(θ)是關于 θ的函數(shù)，故有:對θ的導數(shù)即為A(θ)函數(shù)曲線上任意一點的斜率。所以，代入 dh=Rcos θdθ，可得:

由以上分析和式(2)可知，對一小段偏折出來的光線dA(θ)而言，所得到的入射光線的寬度越大，出射光線就越明亮，越容易通過肉眼觀察到。當dh/dA(θ)取最大值時，即A'(θ)為極小值時，出射光線將會最強。

對函數(shù)關系式(1)求極值，取光對水的折射率為n=1.333，以 θ為橫坐標，A(θ)為縱坐標，由數(shù)學軟件可得到如下函數(shù)圖像［5］(如圖2所示)。并由圖像2可得，A(θ)可取極小值138°，因此虹最大觀察角 αmax=π－A(θ)=42°。當然不同的單色光折射率不同，形成虹時其最大觀察角也不同，白色光形成虹時，各種單色光被分解開來，因此由陽光形成的虹是彩色的。

3 虹形成原因的實驗驗證

以上理論分析的結果可以通過實驗進行驗證。如圖3所示，取一個薄的圓柱形玻璃管注滿水，讓一束激光從玻璃管的一側射入，從玻璃管的同側和另一側都會有光線折射出來，改變入射光的角度，觀察從玻璃管的兩側折射出來的光線的角度和強度的變化。

圖2 偏折角與入射角的函數(shù)關系圖像

由實驗觀察的現(xiàn)象可知，當入射光的角度發(fā)生變化時，從兩側折射出來光線角度和強度都會產(chǎn)生變化。當從同側折射出來的光線與水平面夾角為最大時，這時從同側折射出來的光線強度最強、寬度最窄，其折射光線將形成一束明亮的細光束(如圖4(b)所示)，而在其他角度時，從同側折射出來的光線較寬，亮度也較暗(如圖4(a)所示)。本實驗過程中使用是綠色激光，其相對于純水的折射率為1.333，當從同側折射出的光線與水平面夾角為42°左右時，出射光的寬度最窄、強度最強。由實驗可以看出，當光線以不同角度入射時，經(jīng)過水滴反射和折射后，從不同側面折射出的光線的角度與強度都會產(chǎn)生變化，當從同側面折射出來的光線與水平面夾角為最大角度時，折射出來的光線的寬度最窄、強度最大，在這個角度上也就最容易看到折射出來的光線。在其它角度上觀察到的折射光線都比較弱，不容易觀察到。當然對于彩虹的形成而言，當陽光照射向水滴時，在折射光線與水平面成42°角度方位上就容易觀察到彩虹。若將本文實驗中使用的綠色激光換成一束白色自然光，就可以模擬彩虹形成的現(xiàn)象。

圖3 激光射入注滿水的薄圓柱形玻璃管時的情形

4 利用虹形成原理測量液體的折射率

根據(jù)上面對虹形成的原因分析過程可以看出，當折射率不同時，從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax也不同。如果能測量出從水滴中折射出來的光線與水平面最大夾角αmax，并得出最大夾角與液體折射率之間的關系，就可得到一種全新的測量折射率的方法。

圖4 從圓柱體同側折射出光線寬度與強度隨出射光角度的變化

在上述分析中已經(jīng)得出關系式(1)。又由圖1可知:sin θ=h/R，設 sin θ=h/R=，其中R為水滴的半徑。代入式(1)可得:

其中，n為液體的折射率，對于已知液體而言，其折射率為常數(shù)，α隨著變化而變化。

當dα/d=0時，α取最大值。當α取最大值時，由上式可得。代入式(3)得:

由式(4)可知，取不同的折射率為n的液體可得到不同的αmax，利用數(shù)學軟件可繪制出(4)式的函數(shù)圖像［5］，如圖5所示，并可列出相應的數(shù)據(jù)表，如表1所示。

圖5 αmax與折射率的函數(shù)關系

表1 αmax與折射率的數(shù)值關系

圖5為αmax與折射率n的函數(shù)關系圖。如果光束照射過某液滴的αmax可以被精確測量，那么由式(4)的關系式可推得出此液體的折射率n。由于圖5應用在實際的測量上很不方便，于是為了方便由αmax的量測查出與其相對應的折射率n的值，利用圖5的結果制作了表1。只要測量出某一液體的αmax，就可以利用表1查出此液體相對應的折射率n。與傳統(tǒng)測量液體的折射率方法相比，利用此方法測量液體折射率有以下幾個優(yōu)點:

(1)由式(4)推導過程可知，該公式推導沒有取近似，不存在系統(tǒng)誤差，并且αmax與n具有嚴格一對一關系，因此只要測量一個參數(shù)αmax就能夠計算出液體折射率，需要測量參數(shù)少，測量誤差就小，測量結果的精度就高。

(2)參數(shù)αmax是光從水滴中折射時出來時，折射光線與水平面最大夾角，此時折射光線最窄、最強，容易通過視覺確定其位置，因此參數(shù)αmax比較容易準確測量。在條件許可時αmax容易實現(xiàn)自動測量，可以減少由于人為因素造成的誤差。

(3)該測量所需要的儀器少，實驗裝置結構簡單，一般實驗室都能進行此測量。

(4)在進行測量時，既可以固定液體，測量不同單色光對同一種液體的折射率，又可以改變液體，測量同一種光對不同液體的折射率，測量方便易行。

在常溫下，通過實驗測得綠色激光對飽和食鹽水的αmax值為35°，查所對應的折射率表，可以得到，綠光對飽和食鹽水折射率:

與用其他方法測量的結果相比較，運用本文提出方法測量的結果的準確性更高。

同時由式(4)可知，αmax與水滴的半徑無關，只與液體的折射率有關。在彩虹形成時，空氣中小水滴的半徑并不相同，但由于是同種液體，所有小水滴形成的αmax都約是42°，根據(jù)幾何學原理，很容易證明出來所觀察到的虹常常是圓弧形。只不過當水滴半徑越大，觀察到的虹越明亮。

5 結語

虹是一種常見的自然現(xiàn)象，但要從理論上對虹進行準確的解釋是不容易的，本文從理論和實驗兩個角度解釋了虹形成的原因，文中理論推導過程中使用的數(shù)學工具簡單，避開了復雜的數(shù)學技巧，容易為普通大學生掌握和應用，本文的實驗驗證也容易在實驗室開展，并且在理論和實驗的基礎上發(fā)展出更為精確的一種測量折射率的新方法。本文提出的方法對拓展學生知識面，引導學生運用物理學與數(shù)學原理對自然現(xiàn)象進行解釋，提升學生運用知識的能力是十分有益的。同時本文提出的測量折射率的新方法，對液體折射率測量同樣有著實際意義。

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