趙樹林，吳德安，諸裕良，邵宇陽

（河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098；河海大學(xué) 海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098）

新的非線性彌散關(guān)系及其波浪變形數(shù)學(xué)模型

趙樹林，吳德安，諸裕良，邵宇陽

（河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210098；河海大學(xué) 海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098）

針對(duì)Hedges、Kirby、李瑞杰提出的修正非線性彌散關(guān)系在淺水區(qū)存在較大偏差的問題，給出了一個(gè)在整個(gè)水深范圍內(nèi)相對(duì)波速具有單值性的新的非線性彌散關(guān)系。它在深水區(qū)與二階Stokes波的彌散關(guān)系相一致，在淺水區(qū)較前人的修正式與Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系更加吻合，在中等水深區(qū)域與二階Stokes波的彌散關(guān)系及Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系的偏差也達(dá)到最小。為了避免非線性彌散關(guān)系引入緩坡方程而導(dǎo)致的迭代，采用顯式形式近似表達(dá)該非線性彌散關(guān)系，得到與其精度幾乎完全相同的顯式表達(dá)式。用該顯式表達(dá)式，結(jié)合弱非線性效應(yīng)的緩坡方程，得到考慮非線性彌散影響的波浪變形數(shù)學(xué)模型。用該模型對(duì)復(fù)雜地形進(jìn)行模擬，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值吻合很好。

新的非線性彌散關(guān)系；顯式近似；波浪變形模型

Biography：ZHAO Shu?lin（1989-）,male,master student.

由于實(shí)際地形環(huán)境的復(fù)雜性及波浪的非線性影響，采用線性波動(dòng)理論的波浪計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果往往存在較大的誤差，尤其是在極淺水域，主要原因是在計(jì)算淺水波浪傳播時(shí)忽略了非線性影響。而波浪的非線性彌散關(guān)系可以在一定程度上反映波浪傳播的非線性效應(yīng)，因此很多學(xué)者通過調(diào)整波浪的彌散關(guān)系來探討波浪傳播的非線性效應(yīng)，提出了各種非線性彌散關(guān)系并進(jìn)行了驗(yàn)證，有效地解決了線性波動(dòng)理論在實(shí)際應(yīng)用中誤差較大的問題。

二階Stokes波的非線性彌散關(guān)系［1］只適用于深水和中等水深，不適用于淺水水域。Hedges［2］提出了一個(gè)適用于淺水的非線性經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系，該經(jīng)驗(yàn)關(guān)系已被證明在淺水區(qū)精度很高［3-4］，但在深水區(qū)誤差較大。Kir?by和Dalrymple［5］構(gòu)造了一個(gè)適用于任意水深的非線性彌散關(guān)系式，將二階Stokes波的彌散關(guān)系和Hedges的經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系在中等水深處光滑銜接，但在中等水深處其相對(duì)波速出現(xiàn)最小值，與實(shí)際情況不符。為解決這一缺陷，Hedges［6］、Kirby和Dalrymple［7］分別給出了修正彌散關(guān)系，但在淺水區(qū)均與Hedges的經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系存在較大偏差，且表達(dá)形式復(fù)雜。此后，李瑞杰等［8-9］先后又提出了新的非線性彌散關(guān)系，精度有所提高，然而當(dāng)波陡較大時(shí)，在中淺水區(qū)與Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系的偏差仍較大。

本文充分比較和分析了現(xiàn)有非線性彌散關(guān)系，給出了一個(gè)新的非線性彌散關(guān)系。它在深水區(qū)與二階Stokes波的彌散關(guān)系相一致，在淺水區(qū)與Hedges的經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系很吻合，在中淺水深區(qū)域偏差也比前人結(jié)果小，波速隨相對(duì)水深的增大而單調(diào)減小，且形式簡單?？紤]到非線性彌散關(guān)系結(jié)合含非線性效應(yīng)的緩坡方程求解波浪變形問題時(shí)需要迭代運(yùn)算，往往導(dǎo)致計(jì)算量太大，本文采用顯式形式來近似表達(dá)非線性彌散關(guān)系，得到的顯式表達(dá)式與新的非線性彌散關(guān)系非常吻合。最后，用新的非線性彌散關(guān)系的顯式表達(dá)式結(jié)合含弱非線性效應(yīng)的緩坡方程，得到一個(gè)考慮非線性彌散影響的波浪變形模型。用該模型對(duì)復(fù)雜地形進(jìn)行模擬，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值吻合很好。

1 非線性波浪彌散關(guān)系

只適用于深水和中等水深的二階Stokes波彌散關(guān)系［1］如下

式中：σ為角頻率；g為重力加速度；h為水深；k為波數(shù)，ε=ka，a為振幅，參數(shù)D=［cosh（4kh）+8-2tanh2（kh）］/［8sinh4（kh）］。

Hedges［2］通過對(duì)線性彌散關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，提出了一個(gè)適用于淺水的非線性彌散關(guān)系

許多研究［3-4,7］表明，式（2）在淺水區(qū)精度很高，但在中深水區(qū)誤差較大。

Kirby和Dalrymple［5］將式（1）和式（2）在中等水深處光滑銜接，構(gòu)造了一個(gè)適用于任意水深的非線性彌散關(guān)系

式中：f1=tanh5（kh），f2=［kh/sinh（kh）］4。式（3）在深水逼近于式（1），在淺水逼近于式（2），因此使用式（3）的彌散關(guān)系比單獨(dú)使用式（1）或式（2）計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確。

然而，在相對(duì)水深kh=1.5～2.5的中等水深區(qū)域，式（3）相對(duì)波速有隨相對(duì)水深增大而增大的趨勢，如圖2、圖3所示，這在實(shí)際中是不可能的。為此Hedges［6］提出了一個(gè)修正的非線性彌散關(guān)系

Kirby和Dalrymple［7］也提出了修正的非線性彌散關(guān)系

但是式（4）～式（6）的彌散關(guān)系在中淺水區(qū)都與式（2）存在較大的偏差，波陡較大時(shí)這種現(xiàn)象更加明顯，且其形式都過于復(fù)雜，不便于應(yīng)用。

為此，李瑞杰等［8-11］又先后提出如下的非線性彌散關(guān)系

與前人結(jié)果相比，式（7）、（8）和（9）的彌散關(guān)系與式（1）或（2）彌散關(guān)系的偏差進(jìn)一步縮小，其中以式（9）的彌散關(guān)系與式（1）和（2）最為逼近。然而當(dāng)波陡較大時(shí)，式（9）在中淺水區(qū)與Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系式（2）偏差仍較大。因此，本文根據(jù)tanh（kh）和kh/sinh（kh）的函數(shù)特性，分析了它們對(duì)非線性彌散關(guān)系的影響，并對(duì)前人彌散關(guān)系式進(jìn)行了比較分析，建議采用下面的非線性彌散關(guān)系

式（10）和式（11）即為新的非線性彌散關(guān)系。用c代表非線性波速，c0代表深水波速，則有c/c0=σ2/（gk）。再用cl代表線性波波速，則cl/c0=tanh（kh）。因此，可以用（c-cl）/c0考察以上各式的非線性影響，并對(duì)它們的精度進(jìn)行比較。

圖1給出了不同的波陡時(shí)新的彌散關(guān)系式（10）與二階 Stokes波的彌散關(guān)系式（1）及Hedges的經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系式（2）的比較?？梢钥闯鰧?duì)于不同的波陡，式（10）在淺水區(qū)與式（2）相一致，在深水區(qū)與式（1）相一致。在中等水深區(qū)域式（10）將式（1）和式（2）平滑銜接，相對(duì)波速?zèng)]有出現(xiàn)最小值的現(xiàn)象。尤其當(dāng)波陡較?。é?0.1）時(shí)，式（10）與式（1）、（2）更加逼近，精度很高。

圖2、圖3分別給出了ε=0.2和ε=0.3時(shí)各種非線性彌散關(guān)系隨相對(duì)水深變化的比較。可以看出，Kirby的彌散關(guān)系式（3）在相對(duì)水深kh=1.5～2.5的中等水深區(qū)域，相對(duì)波速有隨相對(duì)水深增大而增大的趨勢，與實(shí)際情況不符。Hedges 的修正彌散關(guān)系式（4）在中等水深區(qū)域與二階Stokes波的彌散關(guān)系式（1）及Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系式（2）偏差較大。Kirby的修正彌散關(guān)系式（6）在相對(duì)水深kh＜1的淺水區(qū)域，與式（2）偏差較大。李瑞杰的彌散關(guān)系式（9）在波陡較?。é?0.2）時(shí)精度較高，而當(dāng)波陡較大（ε=0.3）時(shí)，在相對(duì)水深kh＜1的淺水區(qū)域，與式（2）的偏差仍較大。當(dāng)波陡較小時(shí)，本文的彌散關(guān)系式（10）與式（9）精度相當(dāng)，較前人結(jié)果與式（1）及式（2）的偏差達(dá)到最??；而當(dāng)波陡較大時(shí)，本文的彌散關(guān)系式（10）在淺水區(qū)域比式（9）更逼近于Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系式（2）。

圖1 新的彌散關(guān)系與式（1）及式（2）彌散關(guān)系比較Fig.1Comparison of the new dispersion relation with Eq.（1）and Eq.（2）

圖2 各種非線性彌散關(guān)系隨相對(duì)水深變化的比較（ε=0.2）Fig.2 Comparison of various nonlinear dispersion relations at ε=0.2

2 非線性彌散關(guān)系的顯式近似

圖3 各種非線性彌散關(guān)系隨相對(duì)水深變化的比較（ε=0.3）Fig.3 Comparison of various nonlinear dispersion relations at ε=0.3

為了避免在緩坡方程中由于非線性彌散關(guān)系的引入而導(dǎo)致的迭代，將新的非線性彌散關(guān)系式（10）在ε=0處關(guān)于ε做Taylor級(jí)數(shù)展開，略去4階以上小量，可寫成下面的顯式表達(dá)式

式（12）和式（13）即為新的非線性彌散關(guān)系式（10）的顯式表達(dá)式。圖4為不同的波陡時(shí)顯式近似式（12）與式（10）的比較，可以看出式（12）的顯式表達(dá)式與式（10）非常吻合。

3 考慮非線性彌散影響的波浪變形模型

式中：=gktanh（kh）為線性彌散關(guān)系。再根據(jù)含非線性項(xiàng)的緩坡方程可得［12-15］

圖4 不同的波陡時(shí)顯式近似式與式（10）的比較Fig.4 Comparison of explicit approximation with the new dispersion relation

采用前進(jìn)波假設(shè)，令η=a（x,y）eiS（x,y），代入式（15）分離實(shí)部和虛部分別得

由波浪位相函數(shù)梯度的無旋性?×（?S）=0得

式中：θ為波向角。式（16）～式（18）構(gòu)成一個(gè)考慮非線性彌散影響的波浪變形數(shù)學(xué)模型。若令式（16）中F=0，則忽略非線性彌散影響，相應(yīng)地構(gòu)成線性波浪變形數(shù)學(xué)模型。

4 模型應(yīng)用及結(jié)果分析

采用Yoo&O′Connor雙橢圓試驗(yàn)［16］對(duì)文中的波浪變形數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)地形及測量斷面布置如圖5，斜坡坡度為1：50，斜坡梯度方向與x軸夾角為20°。波浪沿x軸正方向入射，振幅a0=0.024 5 m，周期T0=1.0 s。

圖6給出了斷面1～8相對(duì)振幅數(shù)模計(jì)算值與實(shí)測值的對(duì)比。斷面1～5較清晰地反映了波浪傳播經(jīng)過兩個(gè)淺灘后分別出現(xiàn)波高增大的現(xiàn)象，線性解相對(duì)振幅波動(dòng)幅度比實(shí)測值偏大，反映了線性數(shù)學(xué)模型對(duì)于復(fù)雜地形的變化較為敏感；而非線性解相對(duì)振幅波動(dòng)幅度與實(shí)測值較為一致。斷面6在18＜x＜24的區(qū)域線性數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值差異較大，而非線性數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值吻合的較好。斷面8無論是線性模型還是非線性模型的計(jì)算結(jié)果都出現(xiàn)了較大的偏差，原因可能是波浪經(jīng)橢圓淺灘后產(chǎn)生了駐波，具體的原因和解決方法還有待進(jìn)一步研究。

圖5 實(shí)驗(yàn)地形及測量斷面布置Fig.5 Laboratory topography and gauge section layout

總體而言，非線性模型的計(jì)算結(jié)果要優(yōu)于線性模型的計(jì)算結(jié)果，具有較好地?cái)M合精度。由此可見，非線性影響在復(fù)雜地形的波浪變形中是不能忽略的，考慮波浪的非線性影響可以得出與試驗(yàn)數(shù)據(jù)更為相符的結(jié)果。

圖6 斷面1～8相對(duì)振幅計(jì)算值與實(shí)測值對(duì)比Fig.6 Comparison of computing relative wave amplitudes with measured data at section 1～8

5 結(jié)語

文中給出一個(gè)新的非線性彌散關(guān)系，它在深水區(qū)與二階Stokes波的彌散關(guān)系相一致，在淺水區(qū)與Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系相吻合，在中等水深處光滑銜接，相對(duì)波速在整個(gè)水深范圍內(nèi)具有單值性。與前人的修正式相比，當(dāng)波陡較大時(shí)，本文的非線性彌散關(guān)系在淺水區(qū)與Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系更加吻合；而當(dāng)波陡較小時(shí)，本文的非線性彌散關(guān)系與李瑞杰（2004年）的彌散關(guān)系精度相當(dāng)，在中等水深區(qū)域與二階Stokes波的彌散關(guān)系及Hedges經(jīng)驗(yàn)彌散關(guān)系的偏差達(dá)到最小。

采用顯式形式近似表達(dá)新的非線性彌散關(guān)系，得到了與該非線性彌散關(guān)系精度幾乎完全相同的顯示表達(dá)式。再用該顯式表達(dá)式結(jié)合弱非線性效應(yīng)的緩坡方程，得到考慮非線性彌散影響的波浪變形數(shù)學(xué)模型。采用Yoo&O′Connor雙橢圓試驗(yàn)對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測值吻合很好，表明新的非線性彌散關(guān)系得到的波浪變形數(shù)學(xué)模型對(duì)復(fù)雜地形具有較高的模擬精度。

［1］Whitham G B.Non?linear dispersion of water waves［J］.Fluid Meeh.,1967,27（2）：399-412.

［2］Hedges T S.An empirical modification to linear wave theory［J］.Proc.Inst.Civ.Eng，1976,61：575-579.

［3］Booij N.Gravity waves on water with non?uniform depth and current［R］.Dept.Civ.Eng：Delft University of Technology,1981.

［4］ Dingemans M W.Water wave propagation over uneven bottoms［M］.Singapore：World Scientific,1997.

［5］Kirby J T,Dalrymple R A.An approximate model for nonlinear dispersion in monochromatic wave propagation models［J］.Coast?al Eng.,1986（9）：545-561.

［6］Hedges T S.An approximate model for nonlinear dispersion in monochramatic wave propagation models［J］.Coastal Eng.,1987（13）：23-54.

［7］Kirby J T,Dalrymple R A.An approximate model for nonlinear dispersion in monochramatic wave propagation models［J］.Coast?al Eng.,1987（11）：89-92.

［8］李瑞杰,LEE D Y,諸裕良.非線性彌散效應(yīng)及其對(duì)波浪變形的影響［J］.海洋工程,2001,19（4）：46-51.

LI R J,LEE D Y,ZHU Y L.Nonlinear dispersion effect on wave transformation［J］.The Ocean Engineering,2001,19（4）：46-51.

［9］Li Ruijie,Dong?Young Lee.Nonlinear dispersion effect on wave transformation［J］.China Ocean Engineering,2000,14（3）：375-384.

［10］Li Ruijie,Yan Yi xin,Cao Hongsheng.Nonlinear dispersion relation in wave transformation［J］.China Ocean Engineering,2003,17（1）：117-122.

［11］李瑞杰,張揚(yáng),曹宏生.波浪非線性彌散關(guān)系及其應(yīng)用［J］.海洋工程,2004,22（11）：20-24.

［12］洪廣文,馮衛(wèi)兵，張洪生，等.海岸河口水域波浪傳播數(shù)值模擬［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào),1999（2）：1-9.

HONG G W,FENG W B,ZHANG H S,et al.Numerical Modelling of Wave Propagation in Water of Varying Topography and Cur?rent［J］.Journal of Hohai University,1999（2）：1-9.

［13］KIRBYJT,DALRYMPLERA.Verification of parabolic equation for propagation of weakly of nonlinear waves［J］.Coastal Engineer?ing,1984（8）：219-232.

［14］Li Rujie,Wang Houjie.A modified from of mild slope equation with weakly nonlinear effect［J］.China Ocean Engineering,1999,13（3）：327-333.

［15］李瑞杰,王爰群,王厚杰.波浪在淺水傳播中的弱非線性效應(yīng)［J］.海洋工程,2000,18（3）：30-33.

［16］Yoo D,OcConnor B A.Diffraction of waves in caustics［J］.J.Wtrwy.,Port,Coast and Oc.Engrg.ASCE,1988,114（6）：731-751.

Nonlinear dispersion relation and wave transformation model

ZHAO Shu?lin,WU De?an,ZHU Yu?liang,SHAO Yu?yang
（College of Harbor,Coastal and Offshore Engineering,Hohai University,Nanjing210098,China;Key Laboratory of Coastal Disaster and Defence,Ministry of Education,Hohai University,Nanjing210098,China）

Due to the larger deviation in shallow water of the nonlinear dispersion relations modified by Hedg?es,Kirby and Li Ruijie,a new nonlinear dispersion relation,whose relative wave velocity was monotonic in the en?tire depth,was presented in this paper.It is consistent with the dispersion relation of second order stokes wave in deep water,and is closer to Hedges′empirical one than previous modified relations in shallow water.In moderate depth water,its deviation is also minimal.In order to avoid iterations due to the introduction of nonlinear dispersion relation to the mild slope equation,an explicit form was adopted to approximately express the new nonlinear disper?sion relation.And the accuracy of the two was almost identical.The explicit expression,along with the mild slope equation,could constitute a wave transformation model,which included nonlinear dispersion effects.Using the new model to simulate a complicated seabed,the calculation results are in good agreement with the measured values.

new nonlinear dispersion relation;explicit approximation;wave transformation model

TV 139.2+5

A

1005-8443（2014）03-0203-06

2013-08-06；

2013-10-14

趙樹林（1989-），男，山東省煙臺(tái)人，碩士研究生，主要從事河口海岸動(dòng)力學(xué)研究。