王 成，劉 輝，項昌樂

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

波動轉(zhuǎn)矩下漸開線直齒輪傳動齒廓修形研究

王 成，劉 輝，項昌樂

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

分析了齒輪轉(zhuǎn)速波動和齒面、齒背嚙合相位差對嚙合點的影響，結(jié)合單、雙齒嚙合和修形邊界條件并采用解析法計算嚙合剛度，建立了與齒輪實際運動狀態(tài)和嚙合狀態(tài)相關(guān)的非線性嚙合剛度模型，該模型可與齒輪非線性動力學(xué)方程實時反饋，更加準(zhǔn)確地描述齒輪傳動過程中的嚙合剛度。建立了考慮間隙、非線性嚙合剛度的2自由度單級齒輪傳動非線性動力學(xué)模型，在波動轉(zhuǎn)矩的作用下，對比研究齒廓修形參數(shù)對齒輪動態(tài)特性的影響。研究結(jié)果表明：修形量對齒輪動態(tài)特性影響顯著，存在最優(yōu)修形量使動載系數(shù)達(dá)到最??；當(dāng)修形量超過某臨界值齒輪產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊現(xiàn)象，齒輪動載荷明顯增加；外載荷一定，增加修形長度可降低動載系數(shù)最小值；波動轉(zhuǎn)矩作用下，齒輪的最大修形量為最小轉(zhuǎn)矩作用下單齒嚙合最高點的變形量。

齒輪傳動；齒廓修形；嚙合剛度；沖擊

隨著齒輪傳動系統(tǒng)向著高速、重載方向發(fā)展，在內(nèi)、外激勵共同作用下齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲加劇，嚴(yán)重影響齒輪傳動系統(tǒng)的可靠性。修形是降低齒輪傳動系統(tǒng)振動、噪聲和提高可靠性的關(guān)鍵技術(shù)，齒輪修形包括齒高方向的齒廓修形和齒寬方向的齒向修形兩方面，其中，齒廓修形是應(yīng)用最為廣泛的一種修形方式。齒廓修形可有效地緩和嚙合齒數(shù)變化時引起的嚙合剛度急劇變化，從而減小嚙合初始沖擊，降低齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲［1］。

國內(nèi)外學(xué)者對齒廓修形技術(shù)做了深入研究。Tavakoli等［2］研究了齒廓修形參數(shù)對齒輪靜態(tài)傳遞誤差（STE）的影響并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。Chen等［3］考慮修形、齒形誤差等因素，研究了齒廓修形對嚙合剛度和齒間載荷分配系數(shù)的影響。蔣進(jìn)科等［4］開展了以承載傳動誤差幅值、嚙入沖擊力與嚙合線向加速度均方根最小為目標(biāo)的齒輪修形優(yōu)化設(shè)計。孫月海等［5］考慮誤差等因素研究了定載荷作用下的齒廓修形準(zhǔn)則。朱才朝等［6］基于靜態(tài)修形以改善嚙合性能，并對修形結(jié)果進(jìn)行了試驗驗證。Bonori等［7］研究了靜態(tài)傳遞誤差峰峰值最小時對應(yīng)的最優(yōu)齒廓修形參數(shù)，并基于非線性動力學(xué)模進(jìn)行仿真驗證。唐增寶和朱傳敏等［8－9］考慮誤差和周期時變剛度等因素建立了齒輪非線性動力學(xué)模型，研究了齒輪動態(tài)性能最優(yōu)時對應(yīng)的最佳齒廓修形參數(shù)。Lin等［10］基于考慮周期時變嚙合剛度的線性時變齒輪動力學(xué)模型，研究了齒廓修形對齒輪系統(tǒng)動載荷的影響。Liu和郭家舜等［11－12］考慮周期時變剛度、間隙等因素建立了的齒輪動力學(xué)方程，研究了齒廓修形對齒輪系統(tǒng)動態(tài)傳遞誤差的影響。Marcello等［13］基于考慮周期時變剛度、間隙等因素的非線性動力學(xué)模型，采用優(yōu)化設(shè)計的方法研究了動態(tài)傳遞誤差最小時對應(yīng)的齒廓修形參數(shù)。

以往基于齒輪動態(tài)特性的齒廓修形研究中［8－13］，嚙合剛度模型均采用靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)的方法獲得，嚙合剛度呈現(xiàn)出周期時變特性。實際上，齒輪傳動過程中的嚙合剛度不僅與修形參數(shù)有關(guān)還與齒輪實際運動狀態(tài)和嚙合狀態(tài)相關(guān)，例如齒輪波動轉(zhuǎn)速，齒面、齒背嚙合狀態(tài)變化等。本文考慮了齒輪轉(zhuǎn)速波動和齒面、齒背嚙合相位差對嚙合點的影響，結(jié)合解析法計算嚙合剛度，建立了與齒輪實際運動狀態(tài)和嚙合狀態(tài)相關(guān)的非線性嚙合剛度模型，該模型可與齒輪非線性動力學(xué)方程實時反饋。建立了考慮間隙、非線性嚙合剛度模型以及波動轉(zhuǎn)矩的2自由度單級齒輪傳動非線性動力學(xué)模型。在動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，首先，對比分析了修形量、修形長度對齒輪動態(tài)特性的影響規(guī)律，最后，提出了波動轉(zhuǎn)矩作用下最大修形量的選取準(zhǔn)則。

1 單級齒輪傳動非線性動力學(xué)模型

假設(shè)齒輪傳動的扭轉(zhuǎn)模態(tài)對應(yīng)的固有頻率遠(yuǎn)離齒輪中心支撐大變形模態(tài)對應(yīng)的固有頻率，齒輪的中心位置可視為剛性支撐［14］。圖1為單級齒輪傳動扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，J1，J2和θ1，θ2分別為齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)自由度；rb1和rb2分別為齒輪1和齒輪2的基圓半徑；ct1和ct2分別為齒輪1和齒輪2的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；T1和T2分別為齒輪1和齒輪2的驅(qū)動力矩和負(fù)載力矩；b為單邊齒側(cè)間隙；α為齒輪副嚙合角；齒輪副通過沿著嚙合線AB方向的嚙合剛度km和嚙合阻尼cm耦合在一起。

單級齒輪傳動的動態(tài)傳遞誤差（DTE）Δ為

圖1 單級齒輪傳動扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamicmodel of spur gear pair

式中：g為修形和輪齒制造誤差等引起的齒形偏差。

單級齒輪傳動非線性動力學(xué)方程為

式中：km為非線性嚙合剛度模型（詳細(xì)分析見第2節(jié)），cm為嚙合阻尼，f（b，Δ），f1（b，Δ）分別為間隙和速度非線性函數(shù)［15］。

由于間隙的存在，齒輪可能產(chǎn)生三種嚙合狀態(tài)：齒面嚙合、脫齒和齒背嚙合。脫齒產(chǎn)生時，齒輪為單邊沖擊；齒背嚙合產(chǎn)生時，齒輪為雙邊沖擊，如圖2所示。

圖2 間隙非線性函數(shù)Fig.2 Nonlinear backlash function

2 非線性嚙合剛度模型

計算齒輪傳動過程中任意時刻齒輪副的嚙合剛度，首先應(yīng)確定任意時刻嚙合點的位置。

2.1 任意時刻嚙合點的位置

齒面嚙合狀態(tài)，嚙合點壓力角與齒輪1轉(zhuǎn)速的關(guān)系如圖3所示，固定坐標(biāo)系o1xy如圖1所示。對齒輪副嚙合點P進(jìn)行瞬時速度分析。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o1εη的中心在齒輪1中心位置且隨齒輪1旋轉(zhuǎn)，嚙合點P為動點。由速度分析可得嚙合點壓力角α1i與齒輪轉(zhuǎn)速ω1之間滿足

式中：α10為常數(shù)，為初始嚙合位置嚙合點壓力角。

圖3 嚙合點壓力角與齒輪1轉(zhuǎn)速的關(guān)系Fig.3 Relationship between mesh point pressure angle and rotation speed

若齒輪處于齒背嚙合狀態(tài)，齒輪1的位置不變，齒面、齒背嚙合點的壓力角之間存在相位差［16］，如圖4所示，其中虛線代表齒背嚙合狀態(tài)的嚙合線。

圖4 齒面、齒背嚙合狀態(tài)嚙合點壓力角Fig.4 Relationship between pressure angles of backside and frontside contact

2.2 單、雙齒嚙合與修形區(qū)邊界條件

判斷單齒嚙合和雙齒嚙合條件，需確定αa、αb、αc和αd四個參數(shù)，如圖5所示。同一齒輪各輪齒的單、雙齒嚙合邊界條件相同，其中，αa為齒頂圓壓力角，αd由幾何關(guān)系可得

如果輪齒存在齒廓修形，在單、雙齒嚙合邊界條件的基礎(chǔ)上需要增加修形區(qū)邊界條件，如圖6所示。α1

圖5 單、雙齒嚙合邊界條件Fig.5 Boundary conditions of single-tooth-meshing and double-tooth-meshing

為齒輪1的修形區(qū)邊界條件，等于修形起始點的壓力角，α1與修形長度L相關(guān)，C為修形量。當(dāng)齒輪嚙合進(jìn)入齒輪2的修形區(qū)，由幾何關(guān)系可得另一個邊界條件α2

式中：α′2為齒輪2修形起始點的壓力角，與齒輪2的修形長度相關(guān)。

圖6 修形區(qū)邊界條件Fig.6 Boundary conditions of profilemodification area

2.3 非線性嚙合剛度模型

結(jié)合2.1節(jié)和2.2節(jié)分析得到的嚙合點位置和單、雙齒嚙合與修形區(qū)邊界條件，并采用解析法計算嚙合剛度，提出非線性嚙合剛度模型km

式中：α1i與齒輪的波動轉(zhuǎn)速相關(guān)（式（1）），α′1i為α1i的函數(shù)（式（3）），kmf、kmb分別為齒面、齒背嚙合狀態(tài)的嚙合剛度，它們均與嚙合點的位置相關(guān)，為嚙合點壓力角的函數(shù)。

式中：ks為單齒嚙合區(qū)的單對齒嚙合剛度，ks1，ks2分別為雙齒嚙合區(qū)不同齒對的單對齒嚙合剛度，修形區(qū)的嚙合剛度kmp，采用文獻(xiàn)［3］方法計算。

本文采用解析法計算單對齒嚙合剛度ks

式中：δB為輪齒本身的變形，采用Weber法并結(jié)合Cornell的判斷條件計算［17－18］；δM為輪體的附加變形，采用二維解析計算模型計算［19］；δC為輪齒之間的接觸變形，采用赫茲接觸模型計算［20］。

單級齒輪傳動非線性動力學(xué)方程仿真流程如圖7所示。

圖7 單級齒輪傳動非線性動力學(xué)方程仿真流程Fig.7 Numerical simulation flowchart of nonlinear dynamic model of spur gears

3 修形對齒輪傳動動態(tài)特性的影響

不失一般性，為了便于齒輪加工，采用線性修形即關(guān)于漸開線展角的線性函數(shù)。對齒輪進(jìn)行齒根修形相當(dāng)于對相嚙合齒輪的齒頂進(jìn)行修形，且齒根修形會減弱齒根的強(qiáng)度［1］，因此僅對輪齒進(jìn)行齒頂修形。

采用4階定步長龍格庫塔法求解單級齒輪傳動的非線性動力學(xué)方程。單級齒輪傳動參數(shù)如表1所示。

表1 單級齒輪傳動參數(shù)Tab.1 Parameters of spur gear pair

3.1 修形參數(shù)對齒輪傳動動態(tài)特性的影響

單級齒輪傳動的輸入轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩為T1＝500＋100sin（200πt）Nm，初始嚙合狀態(tài)為齒面嚙合并從齒輪2的齒頂進(jìn)入嚙合。各齒輪齒面、齒背修形參數(shù)相同。

在修形長度一定的情況下，分析修形量對齒輪傳動動態(tài)特性的影響。修形長度為1 mm，修形量為0～0.1 mm，取值間隔為0.002 mm，其中，修形量為0代表齒輪無修形。齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律如圖8所示。隨著修形量的增加，動載系數(shù)的變化趨勢呈現(xiàn)‘V’型，存在最優(yōu)修形量使得齒輪的動載系數(shù)達(dá)到最小，對應(yīng)的修形量為0.022 mm，最小動載系數(shù)為1.548。當(dāng)輪齒修形量大于0.042 mm，齒輪的動載系數(shù)超過無修形齒輪的動載系數(shù)2.364。當(dāng)修形量超過0.088 mm，齒輪動載系數(shù)存在較大的跳躍，較無修形齒輪動載系數(shù)增加一倍左右，齒輪傳動動載荷明顯增加，由后面的分析可知該修形區(qū)間內(nèi)齒輪產(chǎn)生雙邊沖擊。

齒輪動態(tài)傳遞誤差峰峰值隨修形量的變化規(guī)律如圖9所示。隨著修形量的增加，動態(tài)傳遞誤差峰峰值變化趨勢呈現(xiàn)‘V’型，動態(tài)傳遞誤差峰峰值達(dá)到最小所對應(yīng)的修形量為0.006 mm，該值小于動載系數(shù)達(dá)到最小所對應(yīng)的修形量0.022 mm。當(dāng)輪齒修形量大于0.012mm，修形齒輪動態(tài)傳遞誤差峰峰值大于無修形齒輪的動態(tài)傳遞誤差峰峰值。當(dāng)修形量超過0.088 mm，齒輪的動態(tài)傳遞誤差峰峰值同樣存在較大的跳躍。

圖10為齒輪動態(tài)傳遞誤差最大值、最小值隨修形量的變化規(guī)律。當(dāng)修形量在0～0.048 mm之間，齒輪動態(tài)傳遞誤差最小值大于單邊齒側(cè)間隙0.05 mm，齒輪始終保持嚙合狀態(tài)并不存在沖擊現(xiàn)象。當(dāng)修形量在0.048 mm～0.088 mm之間，齒輪的動態(tài)傳遞誤差最小值小于單邊齒側(cè)間隙0.05 mm，齒輪產(chǎn)生單邊沖擊。進(jìn)一步增加修形量到0.088 mm～0.1 mm之間，動態(tài)傳遞誤差最小值小于－0.05 mm，齒輪產(chǎn)生雙邊沖擊，這是造成圖8中動載系數(shù)存在較大跳躍的主要原因。結(jié)合圖8和圖9，當(dāng)齒輪的修形量大于0.048 mm，修形齒輪產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊，齒輪的動載系數(shù)較大，且大于無修形齒輪的動載系數(shù)。綜上所述，修形量的大小對齒輪傳動的動態(tài)特性影響顯著，存在最優(yōu)修形量使得齒輪的動載系數(shù)達(dá)到最小。存在某臨界修形量，當(dāng)修形量超過該臨界值，齒輪傳動產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊現(xiàn)象，此時齒輪動載荷較無修形齒輪動載荷明顯增加。

圖8 動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律Fig.8 Influence of amount of modification on dynamic load factor

圖9 動態(tài)傳遞誤差峰峰值隨修形量的變化規(guī)律Fig.9 Influence of amount of modification on peak to peak value of dynamic transmission error

圖10 動態(tài)傳遞誤差最大值、最小值隨修形量的變化規(guī)律Fig.10 Influence of amount ofmodification on maximum and minimum value of dynamic transmission error

修形量分別為0.006mm和0.022 mm的修形齒輪與無修形齒輪的嚙合剛度、嚙合力和動態(tài)傳遞誤差時域?qū)Ρ冉Y(jié)果分別如圖11，圖12和圖13所示，其中，0.006 mm為動態(tài)傳遞誤差峰峰值最小時對應(yīng)的修形量，0.022 mm為動載系數(shù)最小時對應(yīng)的修形量。由圖11可以看出，無修形齒輪嚙合剛度在單、雙齒嚙合過渡時刻，嚙合剛度變化明顯具有階躍性，修形齒輪的嚙合剛度在單、雙齒過渡時刻，嚙合剛度的階躍特性均明顯緩和，其中，修形量為0.022 mm的修形齒輪的緩和效果更為明顯。由圖12可以看出，修形齒輪的嚙入沖擊載荷顯著降低，兩種修形量下修形齒輪的嚙合力最大值較無修形齒輪嚙合力最大值分別降低了11.2%和 34.5%。由圖13可以看出，修形齒輪和無修形齒輪相比，雙齒嚙合區(qū)內(nèi)動態(tài)傳遞誤差的波動范圍降低，單齒嚙合區(qū)內(nèi)動態(tài)傳遞誤差增加，結(jié)合圖12可以看出，修形齒輪在單齒嚙合區(qū)的嚙合力也隨之增加。結(jié)合圖12和圖13可知，與修形量為0.006 mm的修形齒輪相比，修形量為0.022 mm的修形齒輪的最大嚙入沖擊載荷明顯降低，但單齒嚙合區(qū)的嚙合力有所增加導(dǎo)致動態(tài)傳遞誤差增加。因此，0.022 mm不是動態(tài)傳遞誤差峰峰值最小時對應(yīng)的修形量，而0.006 mm是動態(tài)傳遞誤差最小時對應(yīng)的修形量但最大嚙入沖擊載荷并非最小，從而導(dǎo)致動載系數(shù)最小時對應(yīng)的修形量與動態(tài)傳遞誤差峰峰值最小時對應(yīng)的修形量存在差別。

圖11 嚙合剛度時域曲線Fig.11 Time domain response ofmesh stiffness

圖12 嚙合力時域曲線Fig.12 Time domain response of gearmesh force

圖13 動態(tài)傳遞誤差時域曲線Fig.13 Time domain response of dynamic transmission error

下面分析修形長度對單級齒輪動態(tài)特性的影響，針對表1中齒輪，單齒嚙合最高點（如圖6所示）對應(yīng)修形長度為L＝2.67 mm。本文修形長度取值均小于最大修形長度，即修形起始點高于單齒嚙合最高點，L1＝1 mm，L2＝1.5 mm，L3＝2.0 mm和L4＝2.5 mm。

圖14和圖15分別為不同修形長度齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律。隨著修形長度的增加，動載系數(shù)達(dá)到最小的最優(yōu)修形量無明顯的變化，分別為0.022 mm和0.02 mm，對應(yīng)動載系數(shù)最小值逐漸降低，分別為1.547，1.47，1.335和1.229。當(dāng)修形長度為2 mm，齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化趨勢較其它3種情況平緩并不存在跳躍現(xiàn)象，由圖16可知，該修形量0～0.1 mm區(qū)間內(nèi)齒輪并沒有發(fā)生雙邊沖擊。進(jìn)一步放大如圖17所示，對于前三種情況，隨著修形長度的增加，臨界修形量也相應(yīng)增加，當(dāng)輪齒修形長度為2.5 mm，臨界修形量反而降低，且小于前三種情況。

圖14 不同修形長度齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律Fig.14 Influence of amount ofmodification on dynamic load factor with different length ofmodification

圖15 不同修形長度齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律（局部放大）Fig.15 Influence of amount ofmodification on dynamic load factor with different length ofmodification（enlarged）

圖16 不同修形長度齒輪動態(tài)傳遞誤差最小值隨修形量的變化規(guī)律Fig.16 Influence of amount ofmodification onm inimum dynamic transmission error with different length ofmodification

圖17 不同修形長度齒輪動態(tài)傳遞誤差最小值隨修形量的變化規(guī)律（局部放大）Fig.17 Influence of amount ofmodification onminimum dynamic transmission error with different length ofmodification（enlarged）

圖18 不同波動轉(zhuǎn)矩下齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律Fig.18 Influence of amount of modification on dynamic load factor with different fluctuation torque

圖19 不同波動轉(zhuǎn)矩下動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律（局部放大）Fig.19 Influence of amount ofmodification on dynamic load factor with different fluctuation torque（enlarged）

3.2 不同波動轉(zhuǎn)矩下修形量對齒輪動態(tài)特性的影響

本節(jié)研究不同波動轉(zhuǎn)矩下修形量對齒輪動態(tài)特性的影響。單級齒輪傳動的輸入平均扭矩為500 Nm，波動轉(zhuǎn)矩分為三種情況：第一種情況，波動轉(zhuǎn)矩為平均轉(zhuǎn)矩的0%；第二種情況，波動轉(zhuǎn)矩為平均轉(zhuǎn)矩的20%；第三種情況，波動轉(zhuǎn)矩為平均轉(zhuǎn)矩的40%，即波動轉(zhuǎn)矩分別為0 Nm，100 Nm和200 Nm。齒輪傳動的輸入轉(zhuǎn)速，初始嚙合狀態(tài)與3.1節(jié)相同，修形長度均取為1 mm。

不同波動轉(zhuǎn)矩下齒輪動載系數(shù)隨修形量的變化規(guī)律如圖18所示。同等修形量下齒輪的動載系數(shù)隨著波動轉(zhuǎn)矩的增加而增加。不同波動轉(zhuǎn)矩下，動載系數(shù)隨修形量的變化均呈現(xiàn)‘V’型變化。當(dāng)波動轉(zhuǎn)矩為平均轉(zhuǎn)矩的40%，動載系數(shù)發(fā)生跳躍變化對應(yīng)的修形量為0.07 mm，低于前兩種情況對應(yīng)的修形量0.088 mm，動載系數(shù)的跳躍變化均由雙邊沖擊引起。進(jìn)一步放大圖像如圖19，隨著波動轉(zhuǎn)矩的增加，齒輪動載系數(shù)最小對應(yīng)的最優(yōu)修形量逐漸增加分別為0.018 mm，0.022 mm和0.024 mm，動載系數(shù)分別為1.328，1.548和1.725。

圖20為不同波動轉(zhuǎn)矩下齒輪動態(tài)傳遞誤差最小值隨修形量的變化規(guī)律。當(dāng)波動轉(zhuǎn)矩為平均轉(zhuǎn)矩的40%，齒輪雙邊沖擊產(chǎn)生對應(yīng)的最小修形量小于前兩種情況。進(jìn)一步放大圖像如圖21，隨著波動轉(zhuǎn)矩的增加，造成齒輪產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊的臨界修形量逐漸降低。

圖20 不同波動轉(zhuǎn)矩下動態(tài)傳遞誤差最小值隨修形量變化規(guī)律Fig.20 Influence of amount ofmodification on minimum dynamic transmission error with different fluctuation torque

以往的研究中，最大修形量選取準(zhǔn)則多采用兩種方法。第一種方法，在一些修形的準(zhǔn)則中最大修形量推薦為［3］，Cmax＝0.02 m，其中m代表模數(shù)。第二種方法，最大修形量選擇為定常設(shè)計載荷作用下單齒嚙合最高點的變形［10］。

以本文研究的單級齒輪傳動為例，采用第一種方法選取最大修形量Cmax＝0.06 mm。由圖18和圖21可知，三種波動轉(zhuǎn)矩作用，該修形量對應(yīng)的齒輪傳動均產(chǎn)生了單邊沖擊現(xiàn)象，齒輪傳動動載系數(shù)較大，且大于無修形齒輪的動載系數(shù)。采用第二種方法選取最大修形量，當(dāng)齒輪傳動輸入轉(zhuǎn)矩?zé)o波動（第一種情況）單齒嚙合最高點的變形為：Cmax＝0.048 mm，該修形量對應(yīng)的動載系數(shù)小于修形量0.06 mm對應(yīng)的動載系數(shù)。對于第二種和第三種波動轉(zhuǎn)矩情況，齒輪1上分別施加最小轉(zhuǎn)矩Tmin，平均轉(zhuǎn)矩Tmean，最大轉(zhuǎn)矩Tmax。第二種情況，單齒嚙合最高點的變形分別為：Cmax1＝0.038 mm，Cmax2＝0.048 mm，Cmax3＝0.058 mm；第三種情況，單齒嚙合最高點的變形分別為：Cmax1＝0.028 mm，Cmax2＝0.048 mm，Cmax3＝0.068 mm。若采用Cmax3作為修形量，兩種波動轉(zhuǎn)矩下修形齒輪會產(chǎn)生單邊沖擊，齒輪動載荷較大。采用Cmax2作為修形量，盡管兩種波動轉(zhuǎn)矩下齒輪均沒有發(fā)生單邊或雙邊沖擊現(xiàn)象，但齒輪的動載荷仍較大。采用Cmax1作為修形量，兩種波動轉(zhuǎn)矩下齒輪的動載荷均較小，且最優(yōu)修形量均小于Cmax1。因此，在針對波動轉(zhuǎn)矩作用下的齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行齒廓修形研究和優(yōu)化設(shè)計，最大修形量為理論最小轉(zhuǎn)矩作用下單齒嚙合最高點的變形量。

圖21 不同波動轉(zhuǎn)矩下動態(tài)傳遞誤差最小值隨修形量變化規(guī)律（局部放大）Fig.21 Influence of amount ofmodification on minimum dynamic transm ission error with different fluctuation torque（enlarged）

4 結(jié) 論

（1）考慮齒輪轉(zhuǎn)速波動，齒廓修形和齒面、齒背嚙合相位差，結(jié)合解析法計算嚙合剛度，建立了與齒輪實際運動狀態(tài)和嚙合狀態(tài)相關(guān)的非線性嚙合剛度模型，該模型可與齒輪非線性動力學(xué)方程實時反饋，更加準(zhǔn)確地描述了齒輪傳動過程中的嚙合剛度。

（2）修形量的大小對齒輪的動態(tài)特性影響顯著，存在最優(yōu)修形量使得齒輪傳動動載系數(shù)達(dá)到最小，但與動態(tài)傳遞誤差峰峰值最小時對應(yīng)的修形量存在差別。

（3）存在臨界修形量，當(dāng)修形量超過該臨界值，齒輪傳動產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊現(xiàn)象，齒輪的動載荷增加，雙邊沖擊產(chǎn)生時動載系數(shù)增加顯著。

（4）外載荷一定，增加修形長度可降低動載系數(shù)最小值。

（5）隨著波動轉(zhuǎn)矩的增加，動載系數(shù)達(dá)到最小時的最優(yōu)修形量逐漸增加，而齒輪產(chǎn)生單邊或雙邊沖擊的臨界修形量逐漸降低。

（6）波動轉(zhuǎn)矩作用下，齒輪的最大修形量為最小轉(zhuǎn)矩作用下單齒嚙合最高點的變形量。

［1］仙波正駐.高強(qiáng)度齒輪設(shè)計［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1981.

［2］TavakoliMS，Houser D R.Optimum profilemodifications for the m inimization of static transmission errors of spur gears［J］.Journal ofMechanisms Transmissions and Automation in Design，1986，108：86－95.

［3］Chen Z G，Shao Y M.Mesh stiffness calculation of a spur gear pair with tooth profile modification and tooth root crack［J］.Mechanism and Machine Theory，2013，62：63－74.

［4］蔣進(jìn)科，方宗德，王峰.降低斜齒輪噪聲的對角修形優(yōu)化設(shè)計［J］.振動與沖擊，2014，33（7）：63－67.

JIANG Jin-ke，F(xiàn)ANG Zong-de，WANG Feng.Optimal design with diagonalmodification for reducing helical gear noise［J］.Journal of Vibration and Shock.2014，33（7）：63－67.

［5］孫月海，張策，葛楠.含誤差的直齒輪的齒廓修形［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2009，39（12）：91－94.

SUN Yue-hai，ZHANG Ce，GE Nan.Tooth profile modification for spur gear with manufacturing error［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2009，39（12）：91－94.

［6］朱才朝，陳爽，馬飛，等.輪齒修形對兆瓦級風(fēng)電齒輪箱動態(tài)特性影響［J］.振動與沖擊，2013，32（7）：123－128.

ZHU Cai-chao，CHEN Shuang，MA Fei，et al.Effect of gear teeth modification on dynamic characteristics of a megawatt level wind turbine gearbox［J］.Journal of Vibration and Shock.2013，32（7）：123－128.

［7］Bonori G，Barbieri M，Pellicano M.Optimum profile modifications of spur gears by means of genetic algorithms［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，313（3）：603－616.

［8］唐增寶，鐘毅芳，陳久榮.修形齒輪的最佳修形量和修形長度的確定［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報，1995，23（2）：125－128.

TANG Zeng-bao，ZHONG Yi-fang，CHEN Jiu-rong.Determination of the optimum modifieative number and length for gear profile［J］.Journal of Huazhong University，1995，23（2）：125－128.

［9］朱傳敏，宋孔杰，田志仁.齒輪修形的優(yōu)化設(shè)計與試驗研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報，1998，34（4）：63－68.

ZHU Chuan-min，SONG Kong-jie，TINA Zhi-ren.Optimum design and experiment study on the gear profile modification［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，1998，34（4）：63－68.

［10］Lin H H，Oawale F B，Townsend D P.Dynamic loading of spur gears with linear or parabolic tooth profile modifications［J］.Mechanism and Machine Theory，1994，29（8）：1115－1129.

［11］Liu G，Parker R G.Dynamic modeling and analysis of tooth profilemodification formultimesh gear vibration［J］.Journal of Mechanical Design，2008，130：1－13.

［12］郭家舜，王三民，王穎.基于解析解的人字齒輪齒廓修形動態(tài)分析［J］.航空動力學(xué)報，2013，28（3）：613－620.

GUO Jia-shun，WANG San-min，WANG Ying.Dynamic analysis of tooth profile modification to heeringbone gears based on analytical solutons［J］.Journal of Aerispace Power，2013，28（3）：613－620.

［13］Marcello F，F(xiàn)arhad S S，Gabrieie B，et al.Dynamic optimization of spur gears［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46：544－557.

［14］Eritenel T，Parker R G.Nonlinear vibration of gears with tooth surface modifications［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2013，135：1－11.

［15］李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［16］Chen Z G，Shao Y M，Lin T C.Nonlinear dynamic simulation of gear response under the idling condition［J］.International Journal of Automotive Technology，2012，13：541－552.

［17］孫甜甜.車輛動力傳動軸系彎扭耦合振動特性研究［D］.北京：北京理工大學(xué)，2009.

［18］Cornell R W.Compliance and stress sensitivity of spur gear teeth［J］，Journal of Mechanical Design，1981，103：447－458.

［19］Sainsot P，Velex P，Duverger O.Contribution of gear body to tooth deflections-a new bi-dimensional analytical formula［J］.Journal of Mechanical Design，2004，126：748－752.

［20］Chen ZG，Shao Y M.Dynamic simulation of spur gear with tooth root crack propagating along tooth width and crack depth［J］.Engineering Failure Analysis，2011，18：2149－2164.

In fluences of p rofilem odification on dynamic characteristics of involute spur gears under a fluctuating torque

WANGCheng，LIU Hui，XIANGChang-le
（School ofMechanical and Vehicular Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The influences of rotating speed fluctuation and the phase shift between forward and backward contact on mesh point position were analyzed.Combining boundary conditions of single-tooth meshing，double-tooth meshing，and profilemodification and using the analytical method to calculate mesh stiffness，a nonlinear mesh stiffness model was established to achieve a real-time feedback with the nonlinear dynamic model of spur gears and produce a more precise mathematicalmodel of gear meshing process.A 2-DOF nonlinear dynamic model of a spur gear pair with input torque fluctuation was established by taking backlash and nonlinearmesh stiffness into account.Based on the nonlinear dynamic model，the influence ofprofilemodification on the dynamic behavior of the spur gear pairwas studied.The resluts showed that the amountof profilemodification significantly affects the dynamic characteristics of the spur gear pair，and an optimal amount of profile modification exists to make the dynamic load factor reach the minimum；when the amount of profile modification exceeds a certain critical value，single-side-impact or double-side-impact occurs and the gear dynamic loads significantly increase；increasing the length of profile modification can reduce the minimum value of the dynamic load factor under a certain input torque；themaximum amount of profilemodification should be the combined tooth deformation at the highest point of single tooth contact under the minimum input torque.

gear transmission；profilemodification；mesh stiffness；impact

TH132

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.006

國家自然科學(xué)基金資助項目（51375047）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃資助（NCET－12－0043）

2014－05－29 修改稿收到日期：2014－08－14

王成男，博士生，1987年生

劉輝女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1975年生