王春香，石宏民

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014010)

0 前言

齒輪的測(cè)繪和參數(shù)反求工作技術(shù)性很強(qiáng)，對(duì)測(cè)繪人員的齒輪設(shè)計(jì)、加工和檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)要求高。致使本地區(qū)的一些廠礦企業(yè)存在由于缺少對(duì)于齒輪參數(shù)提取方法研究的專業(yè)技術(shù)人員，在遇到有齒輪產(chǎn)品實(shí)物，而無原始設(shè)計(jì)圖紙的情況下，難以快速、準(zhǔn)確地反求出齒輪基本參數(shù)和其主要幾何尺寸的問題。為了解決現(xiàn)場(chǎng)存在的類似問題，以來源于某現(xiàn)場(chǎng)的尚未使用的漸開線圓柱斜齒輪產(chǎn)品為對(duì)象，基于實(shí)物逆向工程技術(shù)，研究了其基本參數(shù)和主要幾何尺寸的反求方法。目前，關(guān)于變位漸開線圓柱直齒輪基本參數(shù)的提取方法已經(jīng)有一定的研究成果［1-2］:文獻(xiàn)［1］基于較高精度量具采用傳統(tǒng)的測(cè)繪法和嚙合理論，結(jié)合汽車行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，反求了進(jìn)口啟動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)用高度變位圓柱漸開線直齒輪的參數(shù)。文獻(xiàn)［2］以三坐標(biāo)機(jī)在任意端面測(cè)得的少量齒廓線離散測(cè)點(diǎn)為依據(jù)，通過以三次多項(xiàng)式近似齒廓漸開線及利用測(cè)點(diǎn)的齒形誤差的方法擬合出基圓半徑，再以基圓推算模數(shù)，進(jìn)而利用模數(shù)、壓力角的組合可能試算模數(shù)和壓力角的方法借助計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)了反求一配對(duì)的高度變位直齒圓柱齒輪的參數(shù);并給出了一種實(shí)用的“基圓擬合算法”。前者是在齒輪的產(chǎn)出國(guó)、行業(yè)及用途背景及齒廓線線型已知為漸開線的前提下，易受到人為測(cè)量操作以及經(jīng)驗(yàn)的影響，而可能使齒輪參數(shù)提取的一次精確度不高，后者沒有充分利用數(shù)字化檢測(cè)的準(zhǔn)確、高效和便捷性，以及基圓半徑的擬合及反求計(jì)算需要進(jìn)行底層編程，使反求過程顯得較為復(fù)雜、效率不高。本文作者借鑒了文獻(xiàn)［2］中初始基圓半徑的修正方法，以能否反求出基圓半徑來判定齒輪的齒廓線是否為漸開線(不同之處在于初始基圓半徑的選取原則，且文獻(xiàn)［2］中為了用三次多項(xiàng)式擬合曲線，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系，進(jìn)行了大量的底層編程，而本文運(yùn)用曲線擬合工具箱，可以直接完成曲線擬合工作);結(jié)合文獻(xiàn)［2］的反求思路，充分利用數(shù)字化測(cè)量手段，并借助Matlab 語言及其曲線擬合工具箱，可以較為準(zhǔn)確、高效地提取一配對(duì)漸開線斜齒輪的參數(shù)。

1 反求步驟

1.1 反求思路

首先，依據(jù)輪齒點(diǎn)云確認(rèn)齒廓線為漸開線，在此基礎(chǔ)上，建立齒輪的端面齒形，利用PRO/E 軟件的測(cè)量功能，測(cè)量齒形相關(guān)的主要幾何尺寸(齒頂圓直徑、齒根圓直徑、齒全高、公法線長(zhǎng)度等)，進(jìn)而反求出基本參數(shù)(模數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)、頂隙系數(shù)、螺旋角等)。

1.2 點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理

點(diǎn)云是建立端面齒形和判斷廓線的重要依據(jù)，所以將Imageware 中的系統(tǒng)誤差有效數(shù)值設(shè)定為精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位，將齒輪點(diǎn)云的中心軸取定為z軸，精確取定方法是，利用齒輪的兩端軸點(diǎn)云分別擬合圓柱，取圓柱軸心線，再將二者軸心擬合為同一軸線，將此軸線與z軸對(duì)齊，取與z軸垂直的截面從齒寬部位(即輪齒的上端面和下端面之間)的上、中、下三部分截取齒輪點(diǎn)云;判斷齒廓線類型時(shí)，考慮到齒輪齒形多是漸開線以及齒輪修形的問題，為保證齒形特征正確，選取點(diǎn)云時(shí)，視總點(diǎn)數(shù)而定，需去除掉占齒全高點(diǎn)云約1/10 的根部點(diǎn)云。

依據(jù)點(diǎn)云建立齒輪的端面齒形時(shí)，點(diǎn)云的處理原則是:齒頂圓處3 點(diǎn)以上，齒根圓角處3 點(diǎn)以上，廓線點(diǎn)4 點(diǎn)以上，運(yùn)用圓弧擬合齒頂圓以及齒根圓角，使用依公差構(gòu)造曲線命令擬合齒廓線(* .imw)，分別將各輪齒保存為IGS 格式，運(yùn)用PROE 軟件打開文件，在草繪命令中已經(jīng)默認(rèn)齒輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以原點(diǎn)為中心，作圓分別與齒頂圓弧、齒根圓弧相切，其直徑即為測(cè)量得到的齒頂圓直徑、齒根圓直徑，由于草繪中沒有陣列命令，只能根據(jù)齒輪齒數(shù)計(jì)算輪齒間的角度，作復(fù)制旋轉(zhuǎn)，進(jìn)一步測(cè)量公法線長(zhǎng)度。

1.3 判定齒廓為漸開線的方法

第一步:初始基圓半徑的確定

假設(shè)反求齒輪為漸開線齒輪，漸開線上任意點(diǎn)的法線與基圓相切，且齒輪中心到法線的垂直距離為基圓半徑，則確定初始基圓半徑需要在齒廓上選取一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇、偶數(shù)的不同確定基圓半徑時(shí)，基準(zhǔn)點(diǎn)的選取方法也不相同。

若為奇數(shù)時(shí)，如圖1所示，連接中間點(diǎn)兩旁的點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB所在直線為m，過AB中點(diǎn)作直線m的垂線n，n與測(cè)點(diǎn)擬合曲線交于點(diǎn)O1(即為擬合初始基圓半徑的基準(zhǔn)點(diǎn));若為偶數(shù)時(shí)，取中間兩點(diǎn)A和B，其他作法同上。其中n即為擬合漸開線的法線，取坐標(biāo)原點(diǎn)O到n的距離為初始基圓半徑。

圖1 初始基圓半徑

第二步:初始漸開線的生成

通過初始基圓半徑按漸開線形成原理生成初始漸開線(第一個(gè)新生漸開線)，與測(cè)點(diǎn)擬合曲線建立了誤差分析依據(jù)。

第三步:根據(jù)齒形誤差(Δ，見圖2所示)修正基圓

如圖2所示，新生漸開線O1P0與測(cè)點(diǎn)擬合曲線O1P交于點(diǎn)O1，點(diǎn)P為點(diǎn)O1附近的一測(cè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作初始基圓的切線PB，交曲線O1P0于點(diǎn)P0，設(shè)虛線與的夾角為調(diào)整角Δθ，線段為齒形誤差Δ，由于Δ ?Δθ·，則以O(shè)1為基點(diǎn)，將曲線O1P0向曲線O1P旋轉(zhuǎn)Δθ，同時(shí)調(diào)整法線，取原點(diǎn)O到法線的距離為新生基圓半徑，以此半徑再次生成了漸開線，重復(fù)以上步驟，直至調(diào)整角Δθ 和齒形誤差Δ 趨近于零，且小于給定誤差ε=10-q，根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)q值大于4 以后，迭代較為穩(wěn)定;當(dāng)q值大于12 以后，迭代結(jié)果非常理想。

圖2 誤差原理

第四步:齒形分析

按以上原理，依據(jù)齒廓線測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab 軟件的曲線擬合工具箱和圖形功能，若可以得出較為穩(wěn)定的基圓半徑值，且調(diào)整角和齒形誤差極為接近0 值，則可判定齒廓為漸開線性質(zhì);否則，不是漸開線。

1.4 幾何尺寸的測(cè)量和基本參數(shù)的反求

判定了齒輪類型之后，則可以明確其基本參數(shù)包括:齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、齒頂高系數(shù)、頂隙系數(shù)、螺旋角、變位系數(shù);利用proe 中的數(shù)字化測(cè)量功能，需要測(cè)量的主要幾何尺寸包括:齒頂圓直徑、齒根圓直徑、齒全高、公法線長(zhǎng)度等。設(shè)定精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位，取平均值為最終數(shù)值。公法線長(zhǎng)度的跨測(cè)齒數(shù)由經(jīng)驗(yàn)公式(k=z/9 +0.5)初定，測(cè)量得出的齒全高根據(jù)齒輪齒高(表1)，可以查出齒頂高系數(shù)與頂隙系數(shù)c*，基圓齒距可以根據(jù)公法線長(zhǎng)度求得，公式如下:pb=Wn+1-Wn，并基于基圓齒距(表2)得出對(duì)應(yīng)的模數(shù)和壓力角。

表1 部分齒輪齒高表［3］

表2 部分基圓齒距(基節(jié))數(shù)據(jù)表［3］

1.5 變位的反求

表3 為文獻(xiàn)［4］(機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè))中斜齒輪的公法線長(zhǎng)度計(jì)算公式，從計(jì)算公式中可以看出，公法線長(zhǎng)度與變位系數(shù)是密不可分的，根據(jù)表6 計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪的公法線長(zhǎng)度W，并求出公法線長(zhǎng)度的上、下偏差Ewms和Ewmi［4］;測(cè)得公法線的實(shí)際長(zhǎng)度W'，如果W'落在偏差范圍內(nèi)，則說明齒輪符合標(biāo)準(zhǔn)齒輪的切制要求;若W'落在偏差范圍外，則齒輪為變位齒輪。

表3 公法線長(zhǎng)度計(jì)算公式［4］

2 反求實(shí)例

如圖3(a)所示，通過實(shí)物照片可直觀判斷這對(duì)齒輪為外嚙合斜齒圓柱齒輪，齒數(shù)z1=24，z2=27;圖3(b)是在Imageware 軟件中讀取的齒輪點(diǎn)云模型。

圖3 齒輪實(shí)物及其點(diǎn)云

2.1 點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理

將齒輪軸心取定為z軸的效果如圖4所示，根據(jù)每個(gè)截面齒廓線點(diǎn)云完整性(即點(diǎn)云數(shù)量較多且分布均勻)的不同，3 個(gè)截面選取的輪齒個(gè)數(shù)分別為:4 個(gè)、5 個(gè)、4 個(gè)，且選取同一輪齒的雙側(cè)廓線點(diǎn)云作為研究對(duì)象。圖5 是Matlab 中讀取的部分廓線坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，考慮到找O1點(diǎn)的規(guī)則不同以及測(cè)點(diǎn)處理方法的可行性，需要選取同一輪齒兩側(cè)齒廓的測(cè)點(diǎn)，且測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)要存在奇數(shù)和偶數(shù)。

圖4 點(diǎn)云對(duì)齊效果

圖5 小齒輪齒面測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)

部分輪齒的齒形擬合效果如圖6所示。

圖6 擬合后的齒形

2.2 判定齒廓線是否為漸開線

設(shè)定誤差ε=10-12，圖7(a)中的基圓半徑值穩(wěn)定在64.35 mm，圖7(b)中調(diào)整角趨近于零值，則說明齒輪的齒廓線符合漸開線的生成原理，則這對(duì)齒輪為漸開線斜齒圓柱齒輪。

圖7 基圓半徑反求

表4 為小齒輪截面2 中5 個(gè)輪齒的基圓半徑擬合結(jié)果，同理，可求出大齒輪的基圓半徑值，則對(duì)二者的基圓半徑取平均值如下:

小齒輪基圓半徑rb1=56.859 mm大齒輪基圓半徑rb2=64.789 mm

表4 小齒輪基圓半徑反求 mm

2.3 端面模型的測(cè)量以及參數(shù)的反求

既然判定了齒輪為漸開線斜齒圓柱齒輪，圖8 中即為部分測(cè)量的齒頂圓與齒根圓直徑尺寸，設(shè)定精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位，取平均值為最終數(shù)值。

圖8 幾何尺寸的測(cè)量

根據(jù)公式計(jì)算跨齒數(shù):小齒輪k=3;大齒輪k=4。

端面模型測(cè)量的主要幾何尺寸數(shù)據(jù)取平均值如表5所示。

表5 主要幾何尺寸測(cè)量數(shù)據(jù)

在齒輪齒高表1 中，齒全高接近11.25，則取齒全高為h=11.25，對(duì)應(yīng)的模數(shù)mn=5、齒頂高系數(shù)、頂隙系數(shù)。

計(jì)算得出基圓齒距數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 基圓齒距值計(jì)算

則由基圓齒距表2 可知模數(shù)mn=5、壓力角αn=20°。

2.4 變位的反求

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中公法線上、下偏差的計(jì)算方法以及實(shí)例的應(yīng)用，總結(jié)了6—8 級(jí)公法線長(zhǎng)度上、下偏差值，如表7所示。

表7 公法線的上、下偏差

根據(jù)齒輪的齒形特征、使用環(huán)境、粗糙度等判斷齒輪的精度等級(jí)大約為6 級(jí)，則選取公法線長(zhǎng)度的上、下偏差分別為-0.144 和-0.198。

根據(jù)公式計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)斜齒圓柱齒輪的跨齒數(shù)、中間變量(W'、z')、公法線長(zhǎng)度以及上、下偏差，還有實(shí)際測(cè)量的公法線長(zhǎng)度值，如表8所示，則判定齒輪為標(biāo)準(zhǔn)漸開線斜齒圓柱齒輪。

表8 小齒輪的變位判定

2.5 螺旋角的反求

表3 中，代入中間變量后，變位斜齒輪的公法線長(zhǎng)度Wk的計(jì)算公式如下:

Wk=mncos αn［π(k-0.5)+ z'·inv αn+2xn·tan αn］

于是推導(dǎo)出端面壓力角αt

則可求出螺旋角

為了驗(yàn)證齒輪參數(shù)反求方法的可行性，將反求參數(shù)與已知的齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，表9 為反求參數(shù)與理論參數(shù)的比較，表10 為反求幾何尺寸與理論幾何尺寸的比較。

表9 反求參數(shù)與理論參數(shù)的比較

表10 反求幾何尺寸與理論幾何尺寸的比較

齒輪原始設(shè)計(jì)參數(shù)中取6 級(jí)精度，在高精度的齒輪機(jī)床上范成加工，齒面最終精加工需要精密磨齒或剃齒，齒面粗糙度1.6，齒根粗糙度3.2，用于在高速下平穩(wěn)地回轉(zhuǎn)，并要求有最高的效率和低噪聲的齒輪。根據(jù)表9 和表10 的結(jié)果驗(yàn)證可知，所求參數(shù)基本控制在不影響齒輪實(shí)際應(yīng)用的前提下，符合齒輪實(shí)際測(cè)量要求。

3 結(jié)論

基于實(shí)物逆向工程技術(shù)、齒輪實(shí)際測(cè)繪理論、數(shù)值分析理論等深入地研究了漸開線斜齒圓柱齒輪的參數(shù)提取途徑，在借鑒文獻(xiàn)［2］中基圓半徑反求算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并綜合利用了Matlab 語言及其工具箱、三維CAD/CAM 軟件系統(tǒng)PRO/E 和Imageware 逆向軟件系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了斜齒輪的齒形定性和主要幾何參數(shù)反求。和已有的方法相比，即無需使用實(shí)物高精度量具、又避開了利用高級(jí)語言進(jìn)行底層編程的復(fù)雜勞動(dòng)，在幾何尺寸計(jì)算時(shí)采用計(jì)算機(jī)編程，可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)、高精度、重復(fù)計(jì)算;相對(duì)而言具有較高的效率、易用性及可操作性，并減少了人為主觀判斷因素的影響。

反求結(jié)果和實(shí)際設(shè)計(jì)參數(shù)之間的誤差的產(chǎn)生和所測(cè)點(diǎn)云的質(zhì)量、測(cè)量點(diǎn)云時(shí)噴涂的顯像劑的厚度不均、齒輪自身的制造誤差以及反求處理方法相關(guān);反求過程中如何全面考慮、分析以上因素等對(duì)結(jié)果的影響以完善反求方法，使得反求結(jié)果的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性更為理想、便于工程實(shí)際中應(yīng)用的問題有待進(jìn)一步的研究。

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