張臘娥，汪新凡

（1. 湖南工業(yè)大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院，湖南株洲412007；2. 湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南株洲412006；3. 湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

基于正態(tài)分布優(yōu)先集結(jié)算子的隨機(jī)多準(zhǔn)則群決策方法

張臘娥1,2，汪新凡3

（1. 湖南工業(yè)大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院，湖南株洲412007；2. 湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南株洲412006；3. 湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

對(duì)準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量，而準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的隨機(jī)多準(zhǔn)則群決策問題進(jìn)行了研究。首先，定義了一種集結(jié)正態(tài)分布數(shù)的優(yōu)先加權(quán)平均（NDNPWA）算子，并給出了該算子的相關(guān)性質(zhì)；進(jìn)一步，基于NDNPWA算子和正態(tài)分布數(shù)加權(quán)算術(shù)平均（NDNWAA）算子，提出了一種準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量，準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別，而決策者之間不具有優(yōu)先級(jí)別的隨機(jī)多準(zhǔn)則群決策方法。最后，通過實(shí)例分析表明，該方法具有可行性和有效性。

群決策；正態(tài)分布；NDNPWA算子

1 研究背景

多準(zhǔn)則決策（multi-criteria decision making，MCDM）是指決策者為了完成某項(xiàng)目標(biāo)而在考慮多個(gè)準(zhǔn)則的情況下，從有限個(gè)可行方案中挑選最佳方案，或者對(duì)方案進(jìn)行排序的過程。MCDM是當(dāng)代決策科學(xué)的重要組成部分，在工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)、管理及軍事等諸多領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，從而受到人們的高度關(guān)注。在隨機(jī)不確定環(huán)境下，MCDM問題中的準(zhǔn)則值往往為隨機(jī)變量的形式。特別地，由于正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布，具有普適性，在許多情形下適合于描述準(zhǔn)則值的隨機(jī)變化，因而很多隨機(jī)MCDM問題中的準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量的形式。這類準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量的MCDM問題（稱為正態(tài)隨機(jī)MCDM問題）不僅大量存在，而且具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值，已引起研究者的高度重視。目前，正態(tài)隨機(jī)MCDM問題的處理方法一般有5種：1）SMAA（stochastic multi-objective acceptability analysis）方法[1]；2）基于粗糙集的方法[2]；3）基于隨機(jī)占優(yōu)的方法[3]；4）基于區(qū)間數(shù)的方法[4]；5）基于集結(jié)算子的方法[5]。基于集結(jié)算子的方法給出了正態(tài)分布數(shù)的運(yùn)算法則，定義了正態(tài)分布數(shù)加權(quán)算術(shù)平均（normal distribution number weighted arithmetic averaging，NDNWAA）算子，并給出了一種準(zhǔn)則權(quán)重信息不完全確定，而準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法。上述正態(tài)隨機(jī)MCDM方法各有特點(diǎn)，但它們僅考慮了各準(zhǔn)則處于同一優(yōu)先級(jí)別的情形。

在實(shí)際的決策過程中，有時(shí)需要考慮各準(zhǔn)則之間優(yōu)先級(jí)別不同的情形。例如，高校在引進(jìn)博士時(shí)，首先需要考察應(yīng)聘者的思想品德，即思想品德這個(gè)準(zhǔn)則享有最高級(jí)別的優(yōu)先權(quán)。如果某應(yīng)聘者思想品德不好，那么即使其科研和教學(xué)特別突出也不能引進(jìn)。R. R. Yager[6-7]最早對(duì)該類問題進(jìn)行探究，并用文獻(xiàn)檢索問題、購買自行車問題和組織管理問題等來說明這類情形，并提出了集結(jié)相應(yīng)決策信息的優(yōu)先平均（prioritized averaging，PA）算子[6]和優(yōu)先有序加權(quán)平均（prioritized ordered weighted averaging，POWA）算子[7]。

由上述分析可知，準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的正態(tài)隨機(jī)MCDM問題缺乏研究，而現(xiàn)有的正態(tài)隨機(jī)MCDM方法均無法解決這類問題。因此，本文將聚焦于這類問題，擬在NDNWAA算子和PA算子的基礎(chǔ)上，提出一種正態(tài)分布數(shù)優(yōu)先加權(quán)平均（normal distribution number prioritized weighted averaging， NDNPWA）算子，研究其性質(zhì)，進(jìn)而基于該算子提出一種準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量，且準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的多準(zhǔn)則群決策（multi-criteria group decision making，MCGDM）方法，并進(jìn)行實(shí)例分析。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 正態(tài)分布數(shù)及其相關(guān)概念

正態(tài)分布是一種由下面的概率密度函數(shù)，即高斯函數(shù)所確定的連續(xù)的概率分布[4]：

3 正態(tài)分布數(shù)優(yōu)先集結(jié)算子

根據(jù)定義2、定義3和定義5，本章給出一種準(zhǔn)則具有優(yōu)先級(jí)別情形下，集結(jié)正態(tài)分布數(shù)的優(yōu)先加權(quán)平均（NDNPWA）算子。

證明顯然，由式（5）集結(jié)得到的結(jié)果仍為正態(tài)分布數(shù)。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式（6）。

1）當(dāng)n=2時(shí)，由于

2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)式（6）成立，即

即當(dāng)n=k+1時(shí)，式（6）也成立。

綜合1）和2）可得，對(duì)n∈N且n≥2時(shí)，式（6）均成立。定理2 證畢。

NDNPWA算子具有以下些性質(zhì)：

4 基于NDNPWA算子的MCGDM方法

根據(jù)上述決策信息，以下給出一種基于NDNPWA算子的MCGDM方法，具體步驟如下：

步驟1利用NDNWAA算子

方案Ai(i=1, 2, …, m)進(jìn)行排序，并選擇最優(yōu)方案。

5 實(shí)例分析

某風(fēng)險(xiǎn)投資公司決定選擇一些項(xiàng)目進(jìn)行投資。現(xiàn)有5個(gè)投資方案Ai(i=1, 2, …, 5)可供選擇，考核指標(biāo)（即準(zhǔn)則）有：投資額C1（萬元），風(fēng)險(xiǎn)損失值C2（萬元），風(fēng)險(xiǎn)盈利值C3（萬元）[5]，它們之間存在優(yōu)先級(jí)別?，F(xiàn)由3位決策專家（決策專家e1為董事長，決策專家e2為投資公司經(jīng)理，決策專家e3為專家，他們的權(quán)重向量為）對(duì)上述3項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。評(píng)估的初始隨機(jī)決策矩陣（k=1, 2, 3）見表1～3，試確定最優(yōu)方案。

表1 初始隨機(jī)決策矩陣D(1)Table1Initial random decision matrix D(1)

表2 初始隨機(jī)決策矩陣D(2)Table2Initial nitial random decision matrix D(2)

表3 初始隨機(jī)決策矩陣D(3)Table3Initial random decision matrix D(3)

下面利用本文提出的決策方法求解。

步驟1利用NDNWAA算子，即式（11），把3個(gè)決策專家ek（k=1, 2, 3）給出的初始隨機(jī)決策矩陣（k=1, 2, 3）集結(jié)為群體評(píng)價(jià)值矩陣，見表4。

表4 群體評(píng)價(jià)值矩陣BTable4Group evaluation value matrix B

表5 規(guī)范化的群體評(píng)價(jià)值矩陣Table5Normalized group evaluation value matrix

表5 規(guī)范化的群體評(píng)價(jià)值矩陣Table5Normalized group evaluation value matrix

方案準(zhǔn)則C2C3A1 A2 A3 A4 A5 C1 (0.8813, 0.0236) (0.8090, 0.0184) (0.9217, 0.0168) (0.6824, 0.0170) (1.0000, 0.0177) (1.0000, 0.0191) (0.9314, 0.0231) (0.9747, 0.0212) (0.6737, 0.0243) (0.7622, 0.0250) (0.7832, 0.0254) (0.8922, 0.0285) (0.8309, 0.0287) (1.0000, 0.0384) (0.9591, 0.0387)

步驟3利用式（15）計(jì)算得到準(zhǔn)則優(yōu)先權(quán)重Tij(i=1, 2, …, 5；j=1, 2, 3)：

6 結(jié)語

本文針對(duì)準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量，而準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的隨機(jī)MCGDM問題，在NDNWAA算子和PA算子的基礎(chǔ)上，定義了一種考慮準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的正態(tài)分布數(shù)集結(jié)算子，即NDNPWA算子，并研究了該算子的相關(guān)性質(zhì)。進(jìn)一步，基于NDNPWA算子和NDNWAA算子，提出了一種準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量，準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別，而決策者之間不具有優(yōu)先級(jí)別的隨機(jī)MCGDM方法，且詳細(xì)給出了該方法的步驟。最后，通過一個(gè)實(shí)際例子對(duì)本文提出方法的可行性和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)例驗(yàn)證表明，本文提出的決策方法是可行的、有效的。由于現(xiàn)實(shí)中準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量的MCDM問題大量存在，準(zhǔn)則之間具有優(yōu)先級(jí)別的情形也大量存在，因而本文的研究具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值，可廣泛應(yīng)用于供應(yīng)鏈管理、應(yīng)急管理、項(xiàng)目評(píng)估、維修服務(wù)以及軍事系統(tǒng)效能評(píng)價(jià)等相關(guān)決策中。

[1]Lahdelma R，Makkonen S，Salminen P. Multivariate Gaussian Criteria in SMAA[J]. European Journal of Operational Research，2006，170 (3)：957-970.

[2]Yao S B，Yue C Y. Approach to Stochastic Multi-Attribute Decision Problems Using Rough Sets Theory[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics，2006， 17 (1)：103-108.

[3]姜廣田，樊治平，劉洋，等. 一種具有正態(tài)隨機(jī)變量的多屬性決策方法[J]. 控制與決策，2009，24(8)：1187-1191. Jiang Guangtian，F(xiàn)an Zhiping，Liu Yang，et al. Method for Multiple Attribute Decision Making with Normal Random Variables[J]. Control and Decision，2009，24(8)：1187-1191.

[4]王堅(jiān)強(qiáng)，任劍.基于WC-OWA算子的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法[J]. 控制與決策，2007，22 (12)：1429-1432. Wang Jianqiang，Ren Jian. Stochastic Multi-Criteria Decision-Making Method Based on WC-OWA Operator [J]. Control and Decision，2007，22(12)： 1429-1432.

[5]汪新凡，楊小娟. 信息不完全確定的動(dòng)態(tài)隨機(jī)多屬性決策方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30 (2)：332-338. Wang Xinfan，Yang Xiaojuan. Dynamic Stochastic Multiple Attribute Decision Making Method with Incomplete Certain Information[J]. Systems Engineering-Theory & Practice，2010，30(2)：332-338.

[6]Yager R R. Prioritized Aggregation Operators[J]. International Journal of Approximate Reasoning，2008，48 (1)：263-274.

[7]Yager R R. Prioritized OWA aggregation[J]. Fuzzy Optimization and Decision Making，2009，8(3)：245-262.

（責(zé)任編輯：鄧光輝）

Approach to Stochastic Multi-Criteria Group Decision Making Based on Normal Distribution Prioritized Aggregation Operator

Zhang Lae1,2，Wang Xinfan3
（1. School of Finance & Economics，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Department of Fundamental Courses，Hunan Nonferrous Metals Vocational and Technical College，Zhuzhou Hunan 412006，China；3. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Investigates stochastic multi-criteria group decision making problems in which the criterion values are normal random variables and the criteria are in different priority levels. First, defines a new aggregation operator named normal distribution number prioritized weighted averaging (NDNPWA) operator and provides the relative properties of the operator. Furthermore, based on the NDNPWA operator and the normal distribution number weighted arithmetic averaging (NDNWAA) operator, proposes an approach for solving the stochastic multi-criteria group decision making problems in which the criterion values are normal random variables, the criteria are in different priority levels and the decision makers are not in different priority levels. Finally, presents an illustrative example to demonstrate the feasibility and effectiveness of the developed method.

group decision making；normal distribution；NDNPWA operator

C934

A

1673-9833(2014)06-0001-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.06.001

2014-09-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71271218， 71221061），教育部人文社科基金資助項(xiàng)目（12YJA630114, 13YJC630200），湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015JJ2047）

張臘娥（1981-），女，湖南冷水江人，湖南有色金屬職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)橥顿Y項(xiàng)目決策與風(fēng)險(xiǎn)管理，E-mail：179486581@qq.com

汪新凡（1966-），男，湖南安化人，湖南工業(yè)大學(xué)教授，博士，主要從事不確定決策和集結(jié)算子等研究，E-mail：zzwxfydm@126.com