周道，金繼承

（湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

一維無界域上Burgers方程的局部人工邊界條件

周道，金繼承

（湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

針對無界域上的一維Burgers方程，首先運(yùn)用Cole-Hopf函數(shù)變換，將非線性Burgers方程變換成線性的熱傳導(dǎo)方程；再通過Padé逼近得到局部的人工邊界條件；最后，對得到的非線性初邊值問題進(jìn)行有限差分離散。數(shù)值實(shí)驗表明，提出的人工邊界條件是恰當(dāng)?shù)?，并且是有效的?/p>

Burgers方程；人工邊界條件；有限差分方法；Pad逼近

1 背景知識

Burgers方程是1948年J. M. Burgers[1]為描述湍流問題而首次提出。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)它是對流和耗散流之間相互影響的簡單模型之一，它可以模擬湍流、激波等物理現(xiàn)象，它是Navier-Stokes方程的一種簡化形式，這使得它成為一個非常重要的模型方程。這類方程是非線性的，解析解求解復(fù)雜或者難以求解；而它要求在無界域上求解，使得數(shù)值方法求解也變得困難和低效。因此，研究此類方程的高效數(shù)值算法具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

近20年來，針對無界域上方程的求解，一種重要的方法是構(gòu)造人工邊界條件。這種方法已成功應(yīng)用于許多無界域問題的求解[2-6]，本文亦采用此類方法。其他學(xué)者針對無界域上的Burgers方程也有一些研究成果：文獻(xiàn)[7]給出了一維情況的準(zhǔn)確人工邊界條件，并應(yīng)用差分方法進(jìn)行了數(shù)值試驗；文獻(xiàn)[8]應(yīng)用Cole-Hopf函數(shù)變換和傅里葉逼近給出了二維情況的準(zhǔn)確人工邊界條件和一類近似人工邊界條件；文獻(xiàn)[9]引入了一種差分格式，給出一維Burgers方程的一類近似的人工邊界條件，并進(jìn)行了收斂性分析。但是這些人工邊界條件都是非局部的。

考慮如下一維Burgers方程初值問題：

式中：v＞0是粘性系數(shù)；

f(x, t)和u0(x)分別是外界能量和初始條件，都是具有緊支集的函數(shù)，且滿足

問題（1）是一個在無界域上的問題，通常引入如下2個人工邊界：

顯然，當(dāng)用差分方法對以上邊界條件進(jìn)行離散時，計算當(dāng)前時刻的值通常要用到之前幾乎所有時間步上的值，稱這種邊界條件為非局部的（non-local）。與之對應(yīng)，如果一種邊界條件被離散時，計算未知函數(shù)當(dāng)前時刻的值，只需用到之前少數(shù)幾個時間步上的值，那么稱這種邊界是局部的（local）。與非局部的人工邊界相比，局部的人工邊界條件的計算復(fù)雜程度較低，需要的存儲空間較少。

2 局部人工邊界條件的構(gòu)造

考慮構(gòu)造一維無界域上滿足條件（2）的Burgers方程（1）的人工邊界。

4)農(nóng)村生活、分散型畜禽、種植業(yè)廢棄物污染負(fù)荷削減與資源化利用技術(shù)體系研究。三峽庫區(qū)農(nóng)戶生活、分散型畜禽、種植業(yè)廢棄物等污染嚴(yán)重，可針對此情況進(jìn)行農(nóng)村生活垃圾分類收集、集中儲存、定期清運(yùn)；分散型畜禽糞便的資源化利用技術(shù)及模式，如沼氣農(nóng)業(yè)生態(tài)循環(huán)利用技術(shù)、生物廢水生物掛膜處理技術(shù)、高效安全土地處理技術(shù)、堆肥處理技術(shù)；秸稈資源綜合利用的關(guān)鍵技術(shù)及循環(huán)利用模式，如秸稈生物質(zhì)氣化利用技術(shù)、秸稈碳化、膨化以及表面改性利用技術(shù)研究。

由于函數(shù)u(xr, t)是未知的，所以式（7）不能獨(dú)立求解。但如果假設(shè)邊值條件u(xr, t)是給定的，那么問題就是適定的。

下面用Cole-Hopf變換將（非線性的）Burgers方程轉(zhuǎn)化成（線性的）熱傳導(dǎo)方程。

這是一個標(biāo)準(zhǔn)的熱傳導(dǎo)方程。

由于v(xr, t)是一個未知函數(shù)，所以問題（10）也不是一個適定問題。現(xiàn)在，對v(x, t)引入相對于t的拉普拉斯變換

對式（10）中第一個等式兩邊同時作拉普拉斯變換，則有

方程（11）是齊次的，有2個線性無關(guān)的特征解，分別是：

綜合式（20）與（22）可得在人工邊界x=xr上的一個局部人工邊界條件：

式中g(shù)r(t)滿足式（19）。

類似地，可以求得在人工邊界x=xl上的一個局部人工邊界條件為

通過使用局部人工邊界條件式（23）和式（24），無界區(qū)域問題（1）可以轉(zhuǎn)化為定義在有界區(qū)域i上的初邊值問題：

式中g(shù)t(t)和g1(t)分別滿足式（19）和（25）。這是一個非線性初邊值問題。

3 全離散差分格式的構(gòu)造

首先構(gòu)造非線性初邊值問題（26）的全離散差分格式。

取2個正整數(shù)M和N，并記

從而可得

這就是二階Crank-Nicolson格式。

再考慮式（26）中邊界上的人工邊界條件的離散。

以上格式是非線性的隱式格式，可采用簡單的迭代法來求解。

4 數(shù)值實(shí)驗

考慮沒有源項的Burgers方程[7]

它有準(zhǔn)確解

這個解表示2個波分別向左右傳播，同時波幅慢慢衰減。將它的初始值作為數(shù)值計算的初值，取=h，K=10，并計算2種不同參數(shù)的解。

表1和表2分別列出了2種情形下誤差和精度的實(shí)驗結(jié)果，并且與文獻(xiàn)[7]中的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，其中E∞和E1誤差分別定義為：

表1 當(dāng)v=1.0，T=16時，E∞和E1的誤差和精度Table1The errors and accuracy for E∞and E1when v=1.0 and T=16

表2 v=0.1，T=12時，E∞和E1的誤差和精度Table2The errors and accuracy for E∞and E1when v=0.1 and T=12

從表1和表2中數(shù)據(jù)可知，E∞和E1都有近似2階精度?？紤]到Crank-Nicolson格式的截斷誤差為，所以得到的數(shù)值解基本上達(dá)到了最佳誤差階。將本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中的準(zhǔn)確人工邊界條件求出的結(jié)果作比較，可以看出2個結(jié)果相似度非常高，也說明了方法的有效性。

圖1，圖2分別是v=1.0，T=16時和v=0.1，T=12時，M取不同的值得到的相對誤差圖，其中K都取10。由圖可知，隨M的增大，數(shù)值結(jié)果逐漸逼近真解。

圖1 v=1.0，T=16時的相對誤差（K=10）Fig.1The relative errors (K=10) when v=1.0 and T=16

圖2 v=0.1，T=12時的相對誤差（K=10）Fig.2The relative errors (K=10) when v=0.1 and T=12

圖3和圖4是v=1.0，T=16時和v=0.1，T=12時，在Pad逼近中取不同的K值，邊界上相對誤差的變化圖，其中M=64。由圖可知，隨著K的增大，所求的邊界誤差逐漸減小，這證明了方法的有效性。

圖3 v=1.0，T=16，M=64時，邊界x=xr上的誤差隨K變化情況Fig.3The errors at buondary x=xrvarying with K when v=0.1，T=16 and M=64

圖4 v=0.1，T=12，M=64時，邊界上的誤差隨K變化情況Fig.4The errors at buondary varying with K when v=0.1，T=12 and M=64

5 結(jié)語

針對無界域上的一維Burgers方程，本文首先運(yùn)用Cole-Hopf函數(shù)變換，將非線性的Burgers方程變成線性的熱傳導(dǎo)方程，再運(yùn)用Pad逼近得到局部的人工邊界條件。這樣的人工邊界條件與非局部的人工邊界條件相比，計算復(fù)雜性較低，存儲空間較少。數(shù)值試驗表明，本文提出的人工邊界條件，在保證計算效果的同時提高了計算的效率，因此方法是恰當(dāng)和有效的。

[1]Burgers J M. A Mathematical Model Illustrating the Theory of Turbulence[J]. Advances Applied Mechanics，1949，1 (2)：171-175.

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[7]Han H D，Wu X N，Xu Z L. Artificial Boundary Method for Burgers’Equation Using Nonlinear Boundary Conditions [J]. Journal of Computational Mathematics，2006，24(3)：295-304.

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[9]Sun Z Z，Wu X N. A Difference Scheme for Burgers Equation in an Unbounded Domain[J]. Applied Mathematics and Computation，2009，209(2)：285-304.

[10]Bamberger A，Engquist B，Halpern L，et al. Higher Order Paraxial Wave Equation Approximations in Heterogeneous Media[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics，1988，48(1)：129-154.

（責(zé)任編輯：鄧光輝）

Local Artificial Boundary Conditions for One-Dimensional Burgers Equation in Unbounded Domain

Zhou Dao，Jin Jicheng
（School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

With respect to one-dimensional Burgers equation in unbounded domain, the nonlinear Burgers equation is firstly transformed into a linear heat equation by the Cole-Hopf function transformation, and then the artificial boundary conditions are obtained through Padé approximation, finally a finite difference discretization is applied for the obtained initial-boundary value problem. The numerical experiment shows that the proposed artificial boundary conditions are appropriate and effective.

Burgers equation；artificial boundary condition；finite difference method；Pad approximation

O241.82

A

1673-9833(2014)06-0007-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.06.002

2014-09-26

國家自然科學(xué)基金資助項目（11101136），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（14JJ2114），湖南省教育廳科學(xué)研究基金資助項目（14A164），湖南工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)研究基金資助項目（2012HZX15）

周道（1982-），男，湖南株洲人，湖南工業(yè)大學(xué)講師，中南大學(xué)博士生，主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解，E-mail：zhoudao_de@163.com