朱 浩，沈 清，宮 建

（中國航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院，北京 100074）

自由活塞激波風(fēng)洞定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間研究

朱 浩，沈 清，宮 建

（中國航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院，北京 100074）

自由活塞激波風(fēng)洞是一種高焓值的高超聲速地面試驗(yàn)設(shè)備，其運(yùn)行時(shí)間十分短暫。提高自由活塞激波風(fēng)洞有效試驗(yàn)時(shí)間的一個(gè)可行途徑是延長定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間。以此為目的，本文探索了活塞壓縮器中活塞速度對(duì)定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的影響。研究結(jié)果表明，在不同的初始參數(shù)下，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間關(guān)于活塞速度存在極大值，這些極大值形成了一條脊線（局部極值曲線）。隨后，通過數(shù)值計(jì)算的結(jié)果歸納出脊線的若干性質(zhì)。這些結(jié)果表明，在活塞壓縮器的理論設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)參數(shù)應(yīng)選擇在靠近這條脊線的區(qū)域，并且該處的定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間關(guān)于參數(shù)的梯度應(yīng)該相對(duì)較小。

自由活塞激波風(fēng)洞；活塞壓縮器；定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間；脊線

0 引 言

自由活塞激波風(fēng)洞是一種采用活塞壓縮器作為驅(qū)動(dòng)裝置的激波風(fēng)洞。這類風(fēng)洞可以產(chǎn)生和近地軌道飛行器的焓值相當(dāng)?shù)母吣芰吭囼?yàn)氣流，足以使得試驗(yàn)氣體分子發(fā)生離解和電離，因此可以復(fù)現(xiàn)高超聲速飛行中出現(xiàn)的真實(shí)氣體效應(yīng)。自由活塞激波風(fēng)洞被人所知，源于“Stalker管”（即利用活塞壓縮器推動(dòng)的激波管），這是Stalker在20世紀(jì)60年代嘗試著從激波風(fēng)洞技術(shù)上去理解真實(shí)氣體效應(yīng)而獲得的產(chǎn)物。隨著建造高超聲速飛行器興趣的增長，澳大利亞、美國、德國以及日本開始陸續(xù)興建了這類自由活塞激波風(fēng)洞。關(guān)于這類風(fēng)洞的評(píng)述文章可參閱文獻(xiàn)［1］。

活塞壓縮器是自由活塞激波風(fēng)洞的核心部件之一?；钊麎嚎s器的性能決定了自由活塞激波風(fēng)洞的驅(qū)動(dòng)能力。20世紀(jì)60年代，Stalker率先對(duì)于這類活塞壓縮器的進(jìn)行理論研究［2-3］，并開展了相關(guān)工程實(shí)踐。20世紀(jì)80年代后期，Hornung進(jìn)一步完善了活塞壓縮器中活塞運(yùn)行的理論刻畫［4］。受到Stalker活塞軟著陸思想的啟發(fā)，Itoh等人將活塞運(yùn)動(dòng)學(xué)方程近似為一個(gè)Bessel方程，給出了調(diào)諧操作（tuned operation）滿足的條件。在此條件下，活塞可以在膜片破裂以后保持一定速度實(shí)現(xiàn)定壓驅(qū)動(dòng)，同時(shí)還將柔軟地停在壓縮管的末端，不發(fā)生碰撞［5］。近些年來Jacobs等人采用CFD手段模擬了自由活塞激波風(fēng)洞的運(yùn)行，探索了摩擦、熱損失和氣體泄漏對(duì)活塞運(yùn)動(dòng)的具體影響［6］?；钊麎嚎s器的相關(guān)試驗(yàn)研究見文獻(xiàn)［7-8］?；贖ornung的活塞運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，本文詳細(xì)地探索了參數(shù)空間上活塞速度和定常驅(qū)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，這可以看作是對(duì)Hornung和Itoh等人的理論研究工作的一個(gè)補(bǔ)充。

事實(shí)上，自由活塞激波風(fēng)洞的有效試驗(yàn)時(shí)間是短暫的，一般在幾個(gè)毫秒以內(nèi)。在實(shí)際運(yùn)行中，自由活塞激波風(fēng)洞的有效試驗(yàn)時(shí)間受到多種因素的影響。理論設(shè)計(jì)中，拓展定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間（或者稱為常壓力時(shí)間），采用縫合操作是延長自由活塞激波風(fēng)洞有效試驗(yàn)時(shí)間的主要途徑。為了理論研究的方便，本文將自由活塞激波風(fēng)洞簡化為“Stalker管”，通過研究了“Stalker管”中活塞速度對(duì)定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的影響，獲得了定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的極值曲線及其相關(guān)性質(zhì)。這將為尋找合適的活塞破膜速度（膜片在預(yù)設(shè)壓力下破裂時(shí)，活塞具有的運(yùn)行速度［4-5］），獲得最優(yōu)或者次優(yōu)的定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間提供便利。

1 活塞的控制方程

自由活塞激波風(fēng)洞的運(yùn)行如圖1所示，在壓縮管中，重活塞的右側(cè)為驅(qū)動(dòng)氣體（一般為氦氣或者氦氣和氬氣的混合氣體，為了研究方便，本文選用氦氣作為驅(qū)動(dòng)氣體），其壓力很低，在重活塞的左側(cè)，連接高壓空氣貯室，其內(nèi)貯存高壓空氣。當(dāng)釋放活塞時(shí)，由于活塞兩邊壓力存在巨大差別，活塞向低壓氣體的方向加速運(yùn)動(dòng)，低壓氣體從膨脹的高壓氣體那里獲得能量，當(dāng)活塞抵達(dá)壓縮管的末端時(shí)，活塞逐步減速，到達(dá)預(yù)設(shè)壓力時(shí)，膜片破裂，激波管處于啟動(dòng)狀態(tài)。這個(gè)壓縮過程可以使得氦氣具有很高的壓力和溫度（比如在一個(gè)典型狀態(tài)下，氦氣的壓力和溫度分別為20MPa和4000K）。膜片破裂以后，活塞仍然向前運(yùn)動(dòng)，速度繼續(xù)減小。

圖1 自由活塞激波風(fēng)洞的運(yùn)行（取自文獻(xiàn)［6］）Fig.1 The operation of the free piston tunnel

由于采用重活塞，驅(qū)動(dòng)氣體的壓縮過程可以視為等熵壓縮。氦氣密度小聲速大，作為驅(qū)動(dòng)氣體特別適合。此外，在較高的溫度下，氦氣仍然可以保持完全氣體性質(zhì)。當(dāng)自由活塞激波風(fēng)洞在縫合接觸面模式下運(yùn)行時(shí)，試驗(yàn)時(shí)間依賴于活塞在壓縮管末端的停止方式。因此，在膜片破裂以后，控制活塞移動(dòng)減緩驅(qū)動(dòng)氣體壓降時(shí)間對(duì)風(fēng)洞的延長有效試驗(yàn)時(shí)間十分有益。這也就是本文研究定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的原因所在。

在本文的研究過程中將不考慮摩擦和氣體泄漏。破膜以前，無量綱化的活塞運(yùn)動(dòng)方程可以表示為如下形式（具體推導(dǎo)過程，見文獻(xiàn)［4］）：

膜片破裂之后的運(yùn)行機(jī)制如下，活塞到達(dá)設(shè)定的壓縮位置時(shí)，膜片達(dá)到設(shè)定的極限壓力，隨即發(fā)生破裂。此后活塞仍然保持原來的運(yùn)動(dòng)方向向下游運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)推動(dòng)氦氣，使其擴(kuò)張進(jìn)入激波管。假定膜片的破裂過程是個(gè)瞬態(tài)過程，仿照方程（1）做無量綱處理后，可以得到（具體推導(dǎo)過程，見文獻(xiàn)［4］）：

方程組（2）中變量μ＝m／mr表示破膜以后氦氣的無量綱質(zhì)量。方程組（2）邊界條件為：

這里

其中，pAr表示破膜時(shí)刻高壓空氣的壓力，pr表示破膜時(shí)刻氦氣的壓力，ξr表示破膜時(shí)刻活塞的無量綱位置。以上參數(shù)除了b5是新參數(shù)以外，其他兩個(gè)b3和b4均可以用b1和b2加以表達(dá)。如果自由活塞激波風(fēng)洞的壓縮管和激波管的尺寸給定，那么b5為確定量。以下的研究工作主要將在參數(shù)空間（b1，b2）上進(jìn)行。

自由活塞激波風(fēng)洞的采用的壓縮比λ一般控制在40～60之間。于是，膜片破裂時(shí)刻活塞的無量綱位置可以表達(dá)為：

2 定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的確定

將破膜時(shí)刻作為定壓驅(qū)動(dòng)的起點(diǎn)，上述的定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間可以表述成如下的數(shù)學(xué)過程。首先利用

獲得τmax。再利用如下方程獲得：

這樣一來，定壓時(shí)間可以表示為：

假定膜片在固定的壓縮比λ下破裂，那么氦氣以聲速條件流進(jìn)激波管。當(dāng)活塞速度剛好抵消氦氣的排出體積，壓縮管末端的氦氣壓力將保持定常值。此時(shí)，活塞具有的速度稱為臨界速度φrc，其具體表示如下：

為了獲得更長的定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間，活塞正常的破膜速度一般將高于這個(gè)臨界速度［4，9］。但是過快的活塞的破膜速度不僅對(duì)定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間不利，而且也增加了活塞軟著陸的困難。因此研究不同運(yùn)行參數(shù)下的活塞的破膜速度，對(duì)風(fēng)洞的氣動(dòng)設(shè)計(jì)是有益的。不過，眾多的參數(shù)使得獲得破膜速度和定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的直接關(guān)系十分困難。

圖2 定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的定義Fig.2 Definition of the constant pressure time

3 活塞控制方程的重整化

為了詳盡研究破膜速度對(duì)于定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的影響，需要將方程（2）做如下的重整化變換。

經(jīng)過重整化以后，方程（9）將會(huì)給理論研究和計(jì)算帶來很大方便，此時(shí)各個(gè)變量的初始值均為1，其演化過程如圖3所示。

圖3 活塞的速度、位置以及氦氣的質(zhì)量和壓力隨時(shí)間的演化（其中參數(shù)b1＝0.01，b2＝25.0，b5＝0.5，F(xiàn)ig.3 Velocity，position of the piston and mass，pressure of driver gas（He）with dimensionless time

由于氦氣的無量綱質(zhì)量Z是隨無量綱時(shí)間τ單調(diào)遞減的，于是τ可以用Z加以代替，即τ＝τ（Z）。另外，方程（9）的其他兩個(gè)變量X、Y也可以表示成質(zhì)量μ的函數(shù)。但是，直接找出這樣的顯式函數(shù)表達(dá)仍然困難［10］，文獻(xiàn)［5，11］采用Bessel方程理論獲得了近似的顯式表達(dá)，可供參閱。選擇μ代替τ，將會(huì)在定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的極值研究中帶來便利。

4 定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間極大值的存在性

上式的物理意義相當(dāng)明顯。當(dāng)活塞的破膜速度φr大于破膜臨界速度φrc時(shí)（即β＞1），活塞對(duì)于壓縮管末端的空氣繼續(xù)進(jìn)行壓縮，其壓縮管中的壓力還將增加，當(dāng)破膜速度φr下降到臨界速度φc的時(shí)刻，壓縮管末端壓力抵達(dá)最大值，在這個(gè)時(shí)刻，密度信息W滿足：

化簡之后得到：

這就是密度信息極值和活塞速度之間的關(guān)系。相應(yīng)地，對(duì)應(yīng)的峰值壓力為：

如果將破膜時(shí)刻作為定壓驅(qū)動(dòng)的起點(diǎn)（后面的數(shù)值結(jié)果可以證實(shí)這樣的假設(shè)是合理的）。由于τ可以表示為Z的函數(shù)，利用方程組（9）可知，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp是Zsub的函數(shù)，而Zsub滿足

上式中，Zmax表示壓力獲得極大值時(shí)刻下的Z，而τ（Zsub）對(duì)應(yīng)著定壓驅(qū)動(dòng)結(jié)束時(shí)刻。W－1表示壓力信息W的反函數(shù)。對(duì)方程（13）的第一個(gè)等式，利用隱函數(shù)定理，可以得到，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間關(guān)于參數(shù)b2（或者b1）存在極值，即可考慮

而在上式中

這里（*）＝［（0．9）1／3W（τ（Zmax））］。由于τ是Z的函數(shù)，上式表明定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp關(guān)于參數(shù)b1或者b2均存極大值。因此，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp的圖像關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)b1和b2存在著一條脊線（局部極大值線），如圖4所示。

圖4 活塞定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間和活塞速度在平面（b1，b2）上的分布（其中參數(shù)Fig.4 Distribution of the constant pressure time and piston velocity on the plane（b1，b2）

與此同時(shí)，活塞的破膜速度φ（或者β）亦由參數(shù)b1、b2決定。這樣以來，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的極值曲線也將和活塞速度變化曲線形成對(duì)應(yīng)，定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間極值下的最優(yōu)活塞速度由此得到。

5 脊線的重要性質(zhì)

脊線的存在性和唯一性，意味著定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp關(guān)于活塞速度β存在極值。在圖4中，將脊線向下投影到活塞速度β的曲面上，即可獲得活塞破膜速度β的極值曲線。這條曲線刻畫了定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp取得局部最大值時(shí)，活塞具有的破膜速度β。一般而言，自由活塞風(fēng)洞的活塞破膜速度的選擇應(yīng)該盡可能從外側(cè)靠近這條極值曲線（極值曲線的外側(cè)β相對(duì)較?。?。這樣選擇的好處在于定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間τcp變化相對(duì)平緩（如圖4），且更有可能實(shí)現(xiàn)調(diào)諧操作。

圖5 活塞速度等值面上的極值曲線Fig.5 Extremely curves in the velocity distribution on the plane（b1，b2）

表1 極值曲線上若干重要變量值（不同壓縮比）Table 1 Important quantities of ridge curve with different compress ratio

表2 極值曲線上若干重要變量值（不同設(shè)計(jì)參數(shù)）Table 2 Importantquantities of ridge curve with different design parameters

圖6 極值曲線（脊線）上無量綱壓力比的變化（L／d＝70，D／d＝3.3，λ＝50）Fig.6 Dimensionless pressure ratio of the ridge curve

6 結(jié) 論

在高超聲速飛行中，真實(shí)氣體效應(yīng)對(duì)于飛行器的氣動(dòng)力／熱影響顯著，由于目前CFD手段的局限性，對(duì)真實(shí)氣體效應(yīng)的研究主要還是依賴地面試驗(yàn)。雖然，自由活塞激波風(fēng)洞產(chǎn)生的試驗(yàn)氣流在離解度和組分上，與真實(shí)飛行環(huán)境還存在一定偏差，但就目前技術(shù)水平而言，自由活塞激波風(fēng)洞仍然是研究真實(shí)氣體效應(yīng)的重要地面設(shè)備之一。這類風(fēng)洞有效運(yùn)行時(shí)間十分短暫，延長風(fēng)洞的活塞壓縮器的定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間將有助于彌補(bǔ)這一缺陷。本文以此為目的，利用重整化方程，證明了定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的局部極值曲線（即脊線）的存在性，并詳盡地研究了活塞破膜速度和定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系。通過脊線在速度分布曲面上的投影，獲得了最優(yōu)的活塞破膜速度的極值曲線。輔以數(shù)值計(jì)算，本文獲得了不同設(shè)備參數(shù)下的極值曲線的若干重要性質(zhì)。這些結(jié)果將為調(diào)諧操作約束下的設(shè)計(jì)點(diǎn)的選擇，提供了更為準(zhǔn)確和有效的理論依據(jù)。

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The constant pressure time of piston driver in free piston shock tunnel

ZHU Hao，SHEN Qing，GONG Jian
（China Aerospace Aerodynamics Academy，Beijing 100074，China）

The free piston shock tunnel is one of high-enthalpy ground facilities for hypersonic test，however the useful test time of this kind tunnel is very short．Increasing the constant-pressure time of piston driver can be regarded as one of the available approach to extend the useful test time of the free piston shock tunnel．For this reason，the relation of the piston velocity and the constant-pressure time in the piston driver was studied in this paper．The results revealed that the constant-pressure time has local maximums with different velocity of piston and initial parameters，which form a ridge curve．Subsequently，the properties of this ridge curve were obtained by numerical analysis．It shows that the optimal or suboptimal design points of this tunnel should be close to the ridge curve，and its gradient of constant-pressure time is small．

free piston shock tunnel；piston driver；constant-pressure time；ridge curve

V211.751

A doi:10.7638／kqdlxxb-2012.0048

0258-1825（2014）01-0045-06

2012-11-14；

2013-06-07

朱 浩（1977-），男，江蘇邳州人，高級(jí)工程師，研究方向：高超聲速空氣動(dòng)力學(xué)．E-mail：zhuhao1977＠hotmail．com

朱 浩，沈 清，宮 建．自由活塞激波風(fēng)洞定壓驅(qū)動(dòng)時(shí)間研究［J］．空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，32（1）：45-50．

10．7638／kqdlxxb-2012．0048。ZHU H，SHEN Q，GONG J．The constant pressure time of piston driver in free piston shock tunnel［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（1）：45-50．