于哲峰，部紹清，石安華，梁世昌，馬 平，黃 潔

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽 621000）

0 引 言

當(dāng)飛行器以高超聲速再入或在臨近空間飛行時，周圍的空氣被急劇壓縮、飛行器與空氣之間強(qiáng)烈磨擦，表面被加熱，產(chǎn)生紅外輻射與可見光輻射，彈體表面形成等離子鞘套、飛行器下游形成電離尾跡，極大地改變了飛行器的電磁特性［1－4］。在通常關(guān)心的高度80～40km范圍內(nèi)，頭身部繞流電離流場一般處于層流狀態(tài)。而尾跡流場一部分是層流、一部分是湍流。層流的電磁散射一般是鏡面散射，其后向散射的比例很小。湍流相對于受照射的電磁波波長，分為過密湍流和亞密湍流，過密湍流是面漫散射，亞密湍流是體散射，亞密湍流的電磁散射的強(qiáng)度通常要比過密湍流大得多。因此，亞密湍流尾跡的雷達(dá)特性是防御雷達(dá)目標(biāo)識別的主要研究內(nèi)容之一，對其進(jìn)行分析具有重要的實際意義。彈道靶是地面模擬亞密湍流尾跡RCS特性的主力設(shè)備，然而利用何種相似規(guī)律將彈道靶試驗數(shù)據(jù)外推到真實飛行情況國內(nèi)外都沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗可以借鑒。通常亞密湍流尾跡RCS相似規(guī)律是在等離子體流場相似的基礎(chǔ)上，從等效介電常數(shù)相似的思路來推導(dǎo)的，按照這種思路只有進(jìn)行全尺寸模擬或真實飛行，否則無法將縮比試驗數(shù)據(jù)外推使用，因而尋求通過等效介電常數(shù)相似來模擬尾跡的電磁相似是行不通的。為了解決亞密湍流尾跡RCS地面實驗數(shù)據(jù)外推問題，本文開展了探索性研究，從高超聲速流場模擬的雙縮尺率和亞密湍流尾跡RCS模擬的Born近似出發(fā)，推導(dǎo)了真實飛行數(shù)據(jù)和地面彈道靶試驗數(shù)據(jù)之間亞密湍流尾跡RCS模擬的相似規(guī)律。

1 流場結(jié)構(gòu)及流場中等離子體相似

當(dāng)飛行器以高超聲速在大氣層中飛行時，高超聲速飛行器尾跡處于熱／化學(xué)非平衡狀態(tài)，要模擬飛行器的RCS特性首先需要做到等離子體流場相似［5－13］。

目前，在高超聲速縮尺試驗中通常使用的縮尺規(guī)律主要有雙縮尺率和三縮尺率，哪一個縮尺規(guī)律更適用，主要取決于下面兩個電子衰減反應(yīng)中哪一個占主導(dǎo)地位［2］。

其中雙縮尺率是由Birkhoff在1960年提出的，適用于氣流中二體化學(xué)反應(yīng)占主導(dǎo)地位時的相似率，這個相似規(guī)律通常稱為雙縮尺律（binary scaling law），其后，Gibson利用數(shù)值計算證明，雙縮尺律適用于鈍頭體激波層和激波后的無粘流場。Birkhoff和Gibson的雙縮尺率如下：

a.幾何相似，且物體的線性尺度有：

b.來流速度V∞相同（馬赫數(shù)相同），即：

c.來流組份C∞i相同，即：

d.來流溫度T∞相同，即：

e.來流密度與物體的線性尺度成反比，即：

其中下標(biāo)1、2分別表示真實飛行情況和彈道靶試驗情況。利用式（1）～（7）可以推導(dǎo)出真實飛行情況和彈道靶試驗之間電子密度和碰撞頻率的比例關(guān)系。對于電子密度：

再考察碰撞頻率，對于弱電離氣體，電子的平均碰撞頻率可以寫為：

其中N為所有分子的總數(shù)，電子的平均速度ˉv為：

因而：

盡管當(dāng)流場中以三體化學(xué)反應(yīng)為主時，上面的雙尺律將被三尺律所代替。但從國外研究結(jié)果看，對于80～40km的高彈道部分，雙縮尺率大體上適用于大部分再入體流場的電離過程，其中包括有化學(xué)非平衡效應(yīng)的圓球尾跡（包括層流、湍流），細(xì)長錐層流邊界層、層流尾跡和湍流尾跡。當(dāng)然雙縮尺率的準(zhǔn)確度和適用范圍還有待進(jìn)一步確定。圖1給出了不同直徑圓球尾跡平均電子密度隨距離變化結(jié)果，可見給定的狀態(tài)下，圓球尾跡電子密度基本上符合雙縮尺率。圖2給出細(xì)長錐湍流尾跡中雙縮尺律的運(yùn)用范圍［1］。

圖1 圓球尾跡平均電子密度Fig.1 Wake averange electron density of hypersonic sphere

圖2 細(xì)長錐湍流尾跡中雙縮尺律的運(yùn)用范圍Fig.2 Double scaling law for the turbulent wake of the slender cone

這意味著針對高度80～40km以上的再入彈道，只需模型的飛行速度與再入速度相同（或接近），同時滿足上述雙尺律，則縮比模型試驗就可以對彈頭／誘餌流場的流場結(jié)構(gòu)和電子密度進(jìn)行模擬。目前，在中國空氣動力研究與發(fā)展中心氣動物理靶試驗中通常使用的正是這一縮比規(guī)律。

2 等效介電常數(shù)相似的思路

電磁波與高超聲速飛行器尾跡相互作用時的相似規(guī)律，不僅要求高超聲速飛行器體系與縮尺模型試驗體系的幾何相似，空氣動力學(xué)相似，而且要求電磁學(xué)相似。文獻(xiàn)［9］用量綱分析的π定理方法，從Maxwell方程、Navier－Stokes方程和Boltzmann方程出發(fā)導(dǎo)出10個無量綱量相似參數(shù)。這些相似參數(shù)中有些提出的要求是相互矛盾的，只有真實飛行情況才能滿足所有條件。在地面試驗中，只能是滿足特定條件下的部分相似。

對于完全導(dǎo)體要實現(xiàn)RCS測量的模擬，必須滿足模型的幾何縮比等于測量波長的縮比，即：

對于亞密湍流尾跡與電磁波（入射雷達(dá)波）的相互作用，則沒有這種簡單的關(guān)系。一種相似規(guī)律的推導(dǎo)思路是從滿足等效介電常數(shù)相似出發(fā)來進(jìn)行推導(dǎo)，等離子體的相對介電常數(shù)εr是復(fù)數(shù)，并且有如下形式：

要使兩個體系中的等效介電常數(shù)相等，則必須有：

對于式（14）需要：

對于式（15）需要：

從式（16）和（17）可以看出，在一般情況下，要使兩個體系的等離子體介電常數(shù)相等，除兩個物體幾何相似、物體周圍等離子體氣動力學(xué)相似外，還必須使兩個體系的電磁波長比和波長平方比同時等于縮尺因子η，這除了η＝1，即全尺寸模擬或真實飛行本身外，別無其它可能。因而尋求通過等效介電常數(shù)相似來模擬尾跡的電磁特性相似是行不通的［1－2］。

3 基于Born近似的新思路

尋求通過等效介電常數(shù)相似來模擬亞密湍流尾跡的電磁相似是行不通的，為了解決真實飛行情況和彈道靶試驗之間亞密湍流尾跡RCS特性相似問題，這里提出了從Born近似出發(fā)，直接推導(dǎo)相似規(guī)律的思路。

對亞密湍流尾跡進(jìn)行分析的理論方法主要有Born近似、畸變波Born近似和輻射輸運(yùn)理論等［10］。由Born近似亞密湍流尾跡RCS為：

其中re是典型電子半徑，為常數(shù)；χ為入射波極化方向和接收機(jī)方向之間的夾角；ke＝k0－ks為有效波矢，k0和ks分別為入射波和反射波波矢，〈～n2e〉為脈動電子密度均方值，Φ（ke）為譜函數(shù)，Shkarofsky給出的各項同性湍流的譜函數(shù)可簡化為［12］：

式中，μ為能譜函數(shù)形狀因子，當(dāng)采用Kolmogorov能譜函數(shù)時μ＝5／3；ri和r0分別為湍流的內(nèi)尺度和外尺度；Γ（）為Gamma函數(shù)。在高超聲速條件下，r0沿尾跡從0.1不斷增長到約1.0的底部直徑，近似分析中常取（其中ReD為以底部半徑定義的雷諾數(shù)）和r0＝0.3倍底部直徑的近似關(guān)系。當(dāng)ψ＝5／2，ri＝0.1r0時，Shkarofsky譜函數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖4給出了亞密湍流尾跡RCS特性Born近似計算結(jié)果和彈道靶試驗結(jié)果比較曲線，其中實線為彈道靶試驗測量結(jié)果，虛線為Born近似計算結(jié)果。試驗時采用鎢鋁模型，小鈍頭錐外形，球頭半徑為0.87mm，模型長度40.56mm，模型底部直徑12.998mm，雷達(dá)頻率為9.0GHz，雷達(dá)波的距離分辨率為2.7個波長，雷達(dá)波入射角度為45°。計算時r0＝0.3Db，Db為底部直徑，ri＝0.1r0，脈動電子密度均方值

從圖4可以看出，利用Born近似計算得到的亞密湍流尾跡RCS與彈道靶試驗測量結(jié)果在數(shù)量級上非常相符，因此可以把Born近似亞密湍流尾跡RCS的表達(dá)式（18）作為推導(dǎo)相似規(guī)律的出發(fā)點。

圖3 Shkarofsky譜函數(shù)變化曲線Fig.3 Shkarofsky spectrum

圖4 亞密湍流尾跡一維距離像Fig.4 Experimental and simulating one dimentional RCS image of underdense turbulent wake

將式（20）和（21）代入（19）有：

由體積積分公式有：

將式（20）～（23）代入式（18）得：

圖5 由相似規(guī)律得到的實際飛行器亞密湍動尾跡RCSFig.5 One dimentional RCS image of underdense turbulent wake deduced by the scaling law

從式（24）可知，若真實飛行器與彈道靶試驗?zāi)Ｐ椭g有 D1／D2＝η，V∞1＝V∞2，ρ∞1／ρ∞2＝1／η，ω1／ω2＝1／η，即流場模擬按照雙縮尺率縮比，若彈道靶雷達(dá)頻率為9.0GHz，則對應(yīng)真實飛行條件下飛行器測量雷達(dá)波頻率180MHz并且有雷達(dá)散射截面縮比關(guān)系為σ1／σ2＝η4＝504，即67.95dB。也就是說彈道靶試驗頻率為9.0GHz雷達(dá)的測量結(jié)果加上67.95dB就是真實飛行條件下頻率為180MHz雷達(dá)的測量結(jié)果（圖5）。

4 結(jié) 論

本文從高超聲速流場模擬的雙縮尺率和亞密湍流尾跡RCS模擬的Born近似出發(fā)，推導(dǎo)出真實飛行條件下和地面彈道靶試驗之間亞密湍流尾跡RCS模擬的一種相似規(guī)律，推導(dǎo)結(jié)果顯示當(dāng)D1／D2＝η，V∞1＝V∞2，ρ∞1／ρ∞2＝1／η，ω1／ω2＝λ2／λ1＝1／η時，雷達(dá)散射截面服從σ1／σ2＝η4的相似規(guī)律。使用該相似規(guī)律的一個好處是只需要在彈道靶試驗中測量雷達(dá)散射截面，不需要測量尾跡的電子數(shù)密度分布和湍流的內(nèi)外尺度。當(dāng)然，使用該相似規(guī)律有很多假設(shè)和前提，比如說雙縮尺率和Born近似，這些假設(shè)和前提是否成立或可以在什么條件下使用還需要進(jìn)一步地探討。通常認(rèn)為尾跡中離解反應(yīng)（1）占主導(dǎo)地位時尾跡流場滿足雙縮尺率。而Born近似則要求尾跡高亞密為臨界電子密度）和弱起伏此時可以只考慮電子對入射波的一次散射。

應(yīng)該看到，高超聲速飛行器亞密湍流尾跡RCS特性相似規(guī)律研究是一個非常困難的問題，國內(nèi)尚未專門開展過這方面的研究，而國外公開發(fā)表的文獻(xiàn)中也沒有現(xiàn)成的公式可以借鑒。本文相似規(guī)律的推導(dǎo)是在很多假設(shè)和前提下進(jìn)行的，是否能夠真正實用還需要更多的理論研究和試驗驗證。

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