呂家權(quán)

摘要：運(yùn)用ARIMA模型對(duì)我國(guó)1949—2009年的人口總數(shù)進(jìn)行了分析與預(yù)測(cè)，得出AR IMA（2，2，1）模型可以對(duì)我國(guó)的人口總數(shù)作短期預(yù)測(cè)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：AR IMA模型；人口總數(shù)；時(shí)間序列分析；預(yù)測(cè)

1.問(wèn)題的提出

中國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家，人口過(guò)多一直是阻礙我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素，2011年第六次全國(guó)人口普查主要數(shù)據(jù)顯示，全國(guó)總?cè)丝诩s為13.7億。與2000年第五次全國(guó)人口普查相比，10年間增加7390萬(wàn)人，增長(zhǎng)了5.82%，年平均增長(zhǎng)率為0.57%。數(shù)據(jù)表明，雖然這一段時(shí)間我國(guó)人口增長(zhǎng)處于低生育水平階段，但人口總數(shù)仍居高不下。

2、ARIMA模型介紹

如果時(shí)間序列yt，能通過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，即yt～I(xiàn)（d），則

ut=Δd yt=（1-Φ（L））dyt

ut為平穩(wěn)序列，即ut～I(xiàn)0），于是可建立AR IMA（p，q）模型：

ut=c+φ₁ut-1+φ2ut-2+…+φput-p+εt+θ₁εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

經(jīng)d階差分后的AR IMA（p，q）模型稱(chēng)為AR IMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸階數(shù)，q為移動(dòng)平均階數(shù)，εt為一個(gè)白噪聲序列。

1.建立ARIMA模型的步驟一般如下：

一，平穩(wěn)性檢驗(yàn)。二，模型初步識(shí)別。三，估計(jì)模型參數(shù)。四，模型的診斷分析。

2.模型預(yù)測(cè)

一、將模型參數(shù)估計(jì)出來(lái)后寫(xiě)出一般方程式，代入解釋變量求出被解釋變量的估計(jì)值；二、將估計(jì)值與實(shí)際值比較，算出平均誤差（不超過(guò)5%）。

3.實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)的選取

本文的數(shù)據(jù)為1949-2009年中國(guó)的人口總數(shù)，記為P.

（1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

作出人口的變化趨勢(shì)圖，如下圖1。圖像明顯有向右上方傾斜的趨勢(shì)，且上升趨勢(shì)和幅度不一致，說(shuō)明此序列有增長(zhǎng)的趨勢(shì)，并且存在異方差；對(duì)數(shù)據(jù)做ADF檢驗(yàn)，t值為-1.146，絕對(duì)值都小于1%、5%、10%顯著性水平下的臨界值絕對(duì)值，所以不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該時(shí)間序列是非平穩(wěn)時(shí)間序列。

（2）對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列p進(jìn)行平穩(wěn)化處理

對(duì)序列進(jìn)行二階差分，t值為-7.26，絕對(duì)值大于三個(gè)臨界值，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該時(shí)間序列經(jīng)過(guò)二階差分后滿(mǎn)足平穩(wěn)性通過(guò)了檢驗(yàn)，說(shuō)明人口序列P為二階單整序列，即D2（p）～I(xiàn)（2）。

（3）ARIMA模型的擬合

我們可以確定AR IMA（p，d，q）模型中的d應(yīng)取為2。為了確定模型中的p和q，觀察自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，看到自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖都是拖尾的，因此建立AR IMA模型。經(jīng)過(guò)推算，以A IC和SC準(zhǔn)則選出最優(yōu)模型為AR IMA（2，2，1）.Eviews回歸結(jié)果為：

Δ2（p）=277989.5+1.5Δ2（pt-1）-0.51Δ2（pt-2）+εt+0.35εt-1

（189） （957） （-325） （205）

（4）模型的檢驗(yàn)和診斷

一、F檢驗(yàn)：模型的F檢驗(yàn)值為7572324，對(duì)應(yīng)的伴隨概率為0，說(shuō)明回歸方程整體是顯著的：二、R2檢驗(yàn)：判定系數(shù)R2=0999，調(diào)整判定系數(shù)2=0999，說(shuō)明原回歸方程對(duì)樣本數(shù)據(jù)擬合得很好。三、t檢驗(yàn)：假設(shè)顯著性水平為005，查表得t值=068，AR（1）、AR（2）、MA（2）的t統(tǒng)計(jì)量都大于068，說(shuō)明解釋變量的系數(shù)都是顯著的，每個(gè)變量都不可省略。

模型中的殘差序列以及Δ2（p）的實(shí)際值和擬合值的序列見(jiàn)下圖2：從圖2可以看出，模型的擬合值和實(shí)際值相差不多，殘差值很小，基本上消除了線(xiàn)性或者指數(shù)趨勢(shì)，較為平穩(wěn)，說(shuō)明模型通過(guò)了適應(yīng)性檢驗(yàn)。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型的效果，記εt為該模型的殘差序列，對(duì)其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，得到的t值為-5.467，其絕對(duì)值都大于三個(gè)臨界值的絕對(duì)值。因此，殘差序列εt能在1%的顯著性水平下被認(rèn)定位一個(gè)白噪聲過(guò)程，這說(shuō)明D2（p）的擬合值是實(shí)際值的無(wú)偏估計(jì)，模型的擬合效果是較好的。

（5） 模型的預(yù)測(cè)

用AR IMA（2，2，1）型對(duì)我國(guó)人口總數(shù)（P）做預(yù)測(cè)，利用模型對(duì)2007到2010年的數(shù)值行預(yù)測(cè)和對(duì)照：

由表1可以看出，該模型在短期內(nèi)預(yù)測(cè)的比較準(zhǔn)確，平均誤差為2112%，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng)，誤差可能會(huì)逐漸增大。

4、結(jié)論

通過(guò)以上的分析和預(yù)測(cè)，說(shuō)明ARIMA模型對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列作建模分析，具有較好的預(yù)測(cè)效果。本文所建立的AR IMA（2，2，1）模型是較為成功的。另外根據(jù)模型表達(dá)式可知，我國(guó)在未來(lái)還會(huì)有人口的增長(zhǎng)，人口基數(shù)勢(shì)必會(huì)繼續(xù)上升，經(jīng)濟(jì)發(fā)展勢(shì)必還要受龐大的人口數(shù)量的影響，又會(huì)帶來(lái)一系列問(wèn)題。（作者單位：國(guó)立華僑大學(xué)）

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