谷奎林

中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，在學(xué)習(xí)關(guān)于“三次函數(shù)”的練習(xí)中以及考試中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生掌握得不好，通過和學(xué)生進(jìn)行交流，知道幾乎沒有學(xué)生對這種題的圖像進(jìn)行過關(guān)注. 因此，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于導(dǎo)數(shù)的例題和習(xí)題若借助該例題的圖像去講、去分析，會讓學(xué)生掌握得更容易. 于是我決定在復(fù)習(xí)中運(yùn)用一節(jié)課的時(shí)間師生一起研討三次函數(shù)的圖像以及由圖像得到三次函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生由三次函數(shù)圖像“之美”感悟到學(xué)習(xí)“之樂”.

例題1 （2011年江蘇19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x） = x3 + ax，g（x） = x2 + bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x） ≥ 0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a > 0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）設(shè)a < 0，且a ≠ b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a - b|的最大值.

這個題是我們曾經(jīng)做過的江蘇高考題，第（1）問基本上每名學(xué)生都會做，第（2）問許多學(xué)生看高考的標(biāo)準(zhǔn)答案——從代數(shù)角度將其轉(zhuǎn)化為f′（x）g′（x） ≥ 0在區(qū)間（a，b）上恒成立感到有困難. 我們現(xiàn)在運(yùn)用三次函數(shù)的圖像和二次函數(shù)的圖像再次探討2011年江蘇高考19題的第（2）問，也許能找到解決問題的突破口. 幾分鐘過去了，大部分學(xué)生正確作出了兩個函數(shù)的草圖，題意告訴我們兩個函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的單調(diào)性相同，又過了幾分鐘許多學(xué)生在共同的探討中由圖像得到了相應(yīng)的不等式組.

借助圖形，則能較好地找到解決問題的突破口.具體如下：由于a < 0，所以函數(shù)f（x） = x3 + ax和g（x） = x2 + bx的圖像大致為：

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，所以若同增，則有

a < b ≤ - - ≤ a < b（不可能，兩個不等式中b的符號矛盾）

或 ≤ a < b- ≤ a < b（也不可能，因?yàn)轭}設(shè)要求a < 0）.

所以函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上必定單調(diào)遞減，則有

- ≤ a < b≤ ， a < b ≤ - ，

解得- ≤ a < 0，a < b ≤ 0.所以|a - b|的最大值為 .

大部分學(xué)生看后發(fā)出感嘆：數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中真能啟發(fā)我們的思路，原來數(shù)學(xué)不是我們想象的那么難. 例題2 已知函數(shù)f（x） = x3 - 3x，設(shè)h（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y = h（x）的零點(diǎn)個數(shù). （2012年江蘇18題改編）

代數(shù)解法很顯然有較大局限性，而圖形的直觀性，則發(fā)揮出其獨(dú)特的作用.具體如下：

根據(jù)條件可知：

因?yàn)閔（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，那么求函數(shù)y = h（x）的零點(diǎn)個數(shù)，就是求滿足f（f（x）） = c的實(shí)數(shù)x的個數(shù)，即求y = f（f（x））與y = c的交點(diǎn)個數(shù).先看y = f（x）與y = c的交點(diǎn)情況，當(dāng)c = 2時(shí)，y = f（x）與y = c有兩個交點(diǎn)（圖3），所以滿足f（f（x）） = 2即滿足f（x） = -1或f（x） = 2，而滿足f（x） = -1或f（x） = 2的實(shí)數(shù)x共有五個（圖4），即此時(shí)函數(shù)y = h（x）的零點(diǎn)個數(shù)為5；同理，當(dāng)c = -2時(shí)，函數(shù)y = h（x）的零點(diǎn)個數(shù)也為5.

當(dāng)-2 < c < 2時(shí)，解法依舊，從圖像上可以看出，滿足f（f（x）） = c的就是滿足f（x） = x1，或f（x） = x2，或f（x） = x3（圖5），由于xi（i = 1，2，3）均在區(qū)間（-2，2）內(nèi)，且各不相同，所以直線y = xi（i = 1，2，3）與y = f（x）各有三個的交點(diǎn)，共9個交點(diǎn)（圖6），故此時(shí)函數(shù)y = h（x）的零點(diǎn)個數(shù)為9.

我在講解的過程中發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生能較輕松地聽懂，一部分學(xué)生剛看到此題緊皺眉頭，慢慢地聽我一邊展示圖像一邊講解，猛然間臉上露出了基本懂了的微笑，我正準(zhǔn)備請學(xué)生把該題如何運(yùn)用由“形”轉(zhuǎn)化到“數(shù)”的過程講述一遍時(shí)，下課的鈴聲正好響了.

在上完該課后，我發(fā)現(xiàn)只要與三次函數(shù)相關(guān)的題目或者求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)等于零的方程有兩個不等根的題目，大部分學(xué)生養(yǎng)成先做三次函數(shù)的草圖，再由圖像找到解決問題的方法.