周芷凡
【摘要】微積分不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念,其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想,微分就是“無(wú)限細(xì)分”,而積分就是“無(wú)限求和”.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了非常重要的作用,反過(guò)來(lái),又是在這些應(yīng)用中得以發(fā)展的.本文將從微積分在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用談起,試圖探討微積分在生活中的無(wú)論大的方面還是小的方面的應(yīng)用.
【關(guān)鍵詞】微積分;物理學(xué);經(jīng)濟(jì)學(xué);實(shí)際生活;應(yīng)用
一、前言
微積分是高等數(shù)學(xué)中的一門重要學(xué)科,是對(duì)微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.微積分是運(yùn)用無(wú)窮大和無(wú)窮小等極限過(guò)程來(lái)分析和處理計(jì)算問題的數(shù)學(xué)概念,所以也有人將之稱為分析學(xué).
微積分不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念,其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想,微分就是“無(wú)限細(xì)分”,而積分就是“無(wú)限求和”.微分學(xué)包括極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等主要內(nèi)容,積分學(xué)包括定積分、不定積分等內(nèi)容.通俗的來(lái)說(shuō),微積分主要就是研究一些不過(guò)則變量的,小到不規(guī)則建筑零件的體積的計(jì)算,大到對(duì)經(jīng)濟(jì)受益彈性的計(jì)算等等.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了非常重要的作用.
二、微積分在物理中的應(yīng)用
微積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用往往是通過(guò)在對(duì)一些使用科學(xué)中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)的.其中微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用就非常之普遍,下面就從兩個(gè)簡(jiǎn)單的有關(guān)力學(xué)和電學(xué)的問題來(lái)看微積分在物理中的普遍應(yīng)用.
例1若某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為s=3t+2t2,試求其t時(shí)刻的速度的表達(dá)式.(所有物理量都用國(guó)際制單位,以下同)
分析我們知道,公式v=Δs[]Δt一般是求Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度,當(dāng)Δt取很小很小,才可近似處理成瞬時(shí)速度.
s(t)=3t+2t2s(t+Δt)=3(t+Δt)+2(t+Δt)2.
Δs=s(t+Δt)-s(t)=3(t+Δt)+2(t+Δt)2-3t-2t2=3Δt+4tΔt+2Δt2.
v=Δs[]Δt=3Δt+4tΔt+2Δt2[]Δt=3+4t+2Δt.
當(dāng)Δt取很小,小到跟3+4t相比忽略不計(jì)時(shí),v=3+4t即為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度.
例2電容器是一種存儲(chǔ)電荷的元件,它的基本工作方式為充電和放電,我們先考察電容器放電時(shí)的情況.某電容為C的電容器,其已充電的電量為Q0,若讓該電容與另一個(gè)阻值為R的電阻串聯(lián)起來(lái),該電容器將會(huì)放電,其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱(內(nèi)能).試討論:放電時(shí)流過(guò)電阻R的電流隨時(shí)間t 的變化關(guān)系如何?
分析在Δt的時(shí)間內(nèi),通過(guò)電阻R的電量為Δq.雖然電流隨時(shí)間發(fā)生變化,但在很短的時(shí)間Δt內(nèi),可以認(rèn)為電流幾乎不變,當(dāng)成恒定電流處理,故有Δq=iΔt.對(duì)電容有Q=CU=CiR,ΔQ=CRΔi;由電量守恒,ΔQ=-Δq,故-iΔt=CRΔi,然后把“Δ”形式改寫成微積分語(yǔ)言的“d”形式,就有-idt=CRdi(dt和di稱之為微分),數(shù)學(xué)變形為i=-CRdi[]dt,接著再按照袋鼠方法就可以計(jì)算了.
三、微積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用
微積分不僅在物理中運(yùn)用非常普遍,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是一樣.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系上,下面依然用兩個(gè)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單論述.
例1設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時(shí)的總收益為R(x)=100x-x2,總成本函數(shù)為C(x)=200+50x+x2,問政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí),在企業(yè)獲得利潤(rùn)最大的情況下,總稅額最大?
分析設(shè)每件商品征收的貨物稅為a,利潤(rùn)為L(zhǎng)(x).
L(x)=R(x)-C(x)-ax
=100x-x2-(200+50x+x2)-ax
=-2x2+(50-a)x-200.