姜彬

一元二次方程一直是高考中必考的內(nèi)容，然而對(duì)于有些同學(xué)來說一元二次方程一直困擾著.為此本文對(duì)該問題作了詳細(xì)的解析，以助同學(xué)們參考.

一元二次方程（形如：ax2+bx+c=0（a≠0））的根的情況與判別式Δ=b2-4ac有關(guān)：當(dāng)Δ>0時(shí)，此方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，此方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，此方程無實(shí)根.

首先，在我們初中階段有韋達(dá)定理可以幫助我們同學(xué)解決關(guān)于一元二次方程的問題，在此先做一些說明.

類型1（可借助于韋達(dá)定理）

韋達(dá)定理：若關(guān)于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1·x2=ca.

例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax+2a2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為正，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析本題可借助韋達(dá)定理來敘述兩個(gè)根的和與積的關(guān)系，再判斷正負(fù)，但是要注意判別式.

解設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1，x2.

由韋達(dá)定理可知x1+x2=-3a，x1·x2=2a2+1.

由題意可知：Δ≥0，x1+x2>0，x1·x2>0，

即（3a）2-4（2a2+1）≥0，-3a>0，2a2+1>0，解得：a≤-2

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-2.

小結(jié)利用韋達(dá)定理解一元二次方程的問題時(shí)一定要注意考慮判別式Δ，否則會(huì)出現(xiàn)范圍擴(kuò)大，若本題不考慮Δ則實(shí)數(shù)a的范圍是a<0，范圍就被放大了.

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-10x+a=0的兩個(gè)根都大于3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1，x2.

由韋達(dá)定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由題可知：Δ≥0，x1+x2>6，x1·x2>9， 即（-10）2-4a≥0，10>6，a>9， 解得：9

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為9

錯(cuò)解分析滿足以上的解不一定能滿足都大于3（如：當(dāng)a=16時(shí)兩根為2和8，此時(shí)就符合錯(cuò)解的不等式組，但不符合題意）.

正解設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1，x2.

由韋達(dá)定理可知x1+x2=10，x1·x2=a.

由題可知：Δ≥0，（x1-3）+（x2-3）>0，（x1-3）·（x2-3）>0，即（-10）2-4a≥0，10-6>0，a-3×10+9>0，

解得：21

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為21

小結(jié)此種方法適用于一元二次方程的兩個(gè)根都要明確于同一個(gè)值的大小關(guān)系（即（1）兩個(gè)根都大于m；（2）兩個(gè)根都小于m；（3）一根大于m一根小于m）.此法容易范下兩個(gè)錯(cuò)誤類型：（1）忽略判別式Δ，利用韋達(dá)定理時(shí)一定要注意判別式Δ；（2）直接考慮x1， x2與3之間的關(guān)系即x1+x2>6x1·x2>9，這樣考慮問題會(huì)擴(kuò)大求解范圍.所以在利用韋達(dá)定理求解一元二次方程的時(shí)候一定要優(yōu)先考慮判別式Δ，而且遇到非0根且與同一個(gè)值比較時(shí)，一定要將兩個(gè)根x1與x2都要減去此根后再進(jìn)行加或乘.

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3ax+2a2-1=0的兩個(gè)根中一根大于2，一根小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1，x2.

由韋達(dá)定理可知x1+x2=3a，x1·x2=2a2-1.

由題可知：Δ>0，（x1-2）+（x2-2）∈R，（x1-2）·（x2-2）<0，

（-3a）2-4（2a2-1）>0，3a-4∈R，2a2-1-2（3a）+4<0，

解得：3-32

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為3-32

小結(jié)若出現(xiàn)兩個(gè)根在同一個(gè)值的兩側(cè)，則（x1-2）+（x2-2）∈R，對(duì)于這個(gè)式子就可以不考慮了.