張遠(yuǎn)南

有這樣一個(gè)故事：

地理老師提問一個(gè)學(xué)生：“請(qǐng)指出從上海到廣州距離最短的路.”學(xué)生看了看擺在講臺(tái)上的地球儀，從容答道：“是一條挖通廣州與上海的直線隧道.”

眾嘩然！

其實(shí)，從理論上講，這位學(xué)生說得并沒有錯(cuò)，那是根據(jù)平面幾何里的一條公理：兩點(diǎn)之間線段最短. 不過，生活在地球上的人類，習(xí)慣于把自身的活動(dòng)，限制在這個(gè)星球的表面予以考慮. 這樣，在上海與廣州之間的最短路線，很自然地被理解為過上海和廣州之間的一段大圓弧. 這段大圓弧約長1 200 km.

球面上過兩點(diǎn)的大圓的弧，可以用以下的辦法直觀地顯示出來：在地球儀上拉緊過兩點(diǎn)的一條細(xì)線，這條細(xì)線即可看為大圓的弧.

上面的故事是人為杜撰的呢，還是真有其事，現(xiàn)在已經(jīng)無從得知. 不過，抱有上述想法的，歷史上可不乏其人！

大約在20世紀(jì)初，俄國舊都彼得堡出現(xiàn)過一本書名很怪的小冊(cè)子，叫做《彼得堡和莫斯科之間的自動(dòng)地下鐵道》（一本還只寫三章，未完待續(xù)的幻想小說）. 作者在書中提出了一個(gè)驚人的計(jì)劃：在俄國新舊兩個(gè)首都之間，挖一條600 km長的隧道，這條筆直的地下通路，把俄國的兩大城市連接起來. 這樣，“人類便第一次有可能在筆直的道路上行走，而不必像過去那樣走彎曲的路”！作者的意思是：過去的道路都是沿著彎曲的地球表面修筑的，因而都是弧形的，而他設(shè)計(jì)的隧道卻是筆直的！

不過，作者寫書的主要意圖不在于考慮兩點(diǎn)間線段最短，而是這樣的隧道如能挖成，則任何車輛都能像單擺一樣，在兩個(gè)城市之間來回移動(dòng). 開頭速度很慢，后來由于重力的作用，車速越來越快；接近隧道中點(diǎn)的地方，達(dá)到了難以置信的高速，而后逐漸減速，靠慣性行進(jìn)到另外一頭. 如果摩擦力可以忽略不計(jì)的話，在地球上任何兩個(gè)地方之間走完全程都只需42分12秒.

很明顯，對(duì)于可以展成平面的曲面，曲面上的短路程問題都可以用類似上面展開的方法加以解決. 圖6和圖7的圓錐曲面就是一個(gè)例子.

然而，并非所有的曲面都能展開成平面. 我們最常見的球面，其任何一個(gè)部分，都不可能毫無重疊或破裂而展成平面. 這就是無論哪一種地圖，總不可避免地要產(chǎn)生變形的原因. 沒有一點(diǎn)畸形的地圖根本不存在！這樣，當(dāng)你翻開一張地圖細(xì)心觀察時(shí)，你便會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：圖上畫的航線幾乎都是一條條弧線，這才是真正的球面短程線——大圓弧線. 而圖面上看起來是直的線，實(shí)際上只是保持與經(jīng)線等角的斜航線.

圖8畫出了連接非洲好望角和澳洲南部墨爾本港之間的兩種航線. 看起來似乎更長的大圓航線只有5 450海里，而看起來筆直的斜航線卻有6 020海里. 斜航線竟然比大圓航線長570海里，相當(dāng)于多了約1 050 km. 由于地圖的畸變，給人造成了錯(cuò)覺！

我們?cè)撛趺礈y定地球儀上兩個(gè)城市之間的最短距離？為什么地圖上兩個(gè)城市之間的距離畫線幾乎每條都是弧線？這是由于地球的畸變還是我們的視覺出錯(cuò)？其實(shí)只要你認(rèn)真研究便會(huì)發(fā)現(xiàn)，地圖上的每條弧線才是真正的球面短程線……