摘要：在初中階段，最值問(wèn)題一直是難點(diǎn)、重點(diǎn)。本文總結(jié)了初中階段常見(jiàn)的最值問(wèn)題：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題，一次函數(shù)中的最值問(wèn)題，線段和求最小值等，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行闡述分析。

關(guān)鍵詞：最值；圖像；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0151

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，在初中階段，一次函數(shù)和二次函數(shù)是討論的重點(diǎn)。在近幾年中考的壓軸題都是出在最值問(wèn)題中，而在二次函數(shù)的解題中考生往往對(duì)最值問(wèn)題是最頭疼。本文就二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值問(wèn)題，一次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及幾種常見(jiàn)的最值問(wèn)題，以及最值的應(yīng)用進(jìn)行剖析。

一、一次函數(shù)中的最值問(wèn)題

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像是直線，自變量x在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，圖像沒(méi)有端點(diǎn)，它是沒(méi)有最大值或最小值的。但是，如果給定了自變量的取值范圍，那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在，最值是圖像的端點(diǎn)的縱坐標(biāo)，圖像包括端點(diǎn)就有最值，不包括端點(diǎn)就沒(méi)有最值。

(1)如果n≤x≤m，圖像包括兩個(gè)端點(diǎn)，那么y=kx+b的圖像既有最大值也有最小值(如圖1)：當(dāng)k＞0時(shí)，y最大=km+b，y最小=kn+b；當(dāng)k＜0時(shí)，y最大=kn+b，y最小=km+b端點(diǎn)是圖像的最值點(diǎn)，端點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最值。

(2)如果x≥n，圖像只有一個(gè)端點(diǎn)，那么y=kx+b的圖像只有最小值或最大值(如圖2)：當(dāng)k＞0時(shí)，y最小=kn+b；當(dāng)k＜0時(shí)，y最大=kn+b。

同理，如果x≤m，那么y=kx+b的圖像只有一個(gè)最大值或最小值(如圖3)當(dāng)k＞0時(shí)，y最大=km+b；當(dāng)k＜0時(shí)，y最小=km+b。。

(3)如果n＜x＜m，圖像不包括端點(diǎn)，那么y=kx+b的圖像既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值。

常見(jiàn)到的實(shí)際問(wèn)題可以用這種方法解決：

例1. 某公司在A、B兩地分別有一種機(jī)器17臺(tái)和15臺(tái)，現(xiàn)在運(yùn)往甲地18臺(tái)、乙地14臺(tái)。從A、B兩地運(yùn)往甲、乙兩地的費(fèi)用如下表；

(1)如果從A地運(yùn)往甲地x臺(tái)，求完成以上調(diào)運(yùn)所需總費(fèi)用y(元)關(guān)于x(臺(tái))的函數(shù)解析式；

(2)若公司請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最佳調(diào)運(yùn)方案，使總的費(fèi)用最少，則該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需要多少費(fèi)用？為什么？

分析：因?yàn)橘M(fèi)用和x之間是明顯的一次函數(shù)，而且由于送往各地的機(jī)器數(shù)量是整數(shù)，所以x取值范圍不會(huì)是全體實(shí)數(shù)，所以是上述的第一種情況。我們可以求自變量的取值范圍，找端點(diǎn)從而找到最值。

解：(1)總費(fèi)用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300

⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥0∴3≤x≤17

∵k=500＞0，

∴y隨x增大而增大，當(dāng)x取最小值時(shí)，y有最小值。

∴x=3時(shí)，y最小值=500×3+13300=14800(元)

所以該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需14800元運(yùn)費(fèi)。

調(diào)運(yùn)方案為：由A地運(yùn)往甲地3臺(tái)，運(yùn)往乙地14臺(tái)；由B地運(yùn)往甲地15臺(tái)。

二、二次函數(shù)中的最值問(wèn)題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像是拋物線，二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)決定了圖像的開(kāi)口方向，圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-■，■)，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-■。

1. 二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值：

(1)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，最小值是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)■，圖像無(wú)最大值；

(2)當(dāng)a<0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值，最大值是■，圖像無(wú)最小值。

2. 當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問(wèn)題就要看圖像了，二次函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一部分，那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值。

當(dāng)m≤x≤n時(shí)，

(1)若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ(chēng)軸)x=-■在自變量的取值范圍內(nèi)， 即m≤-■≤n

當(dāng)a>0，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是圖像的最低點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即是函數(shù)的最小值。圖像的兩個(gè)端點(diǎn)中(當(dāng)x=m,x=n時(shí))，哪個(gè)端點(diǎn)更高，哪個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是最大值。

當(dāng)a<0，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是圖像的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即是函數(shù)的最大值。圖像的兩個(gè)端點(diǎn)中(當(dāng)x=m,x=n時(shí))，哪個(gè)端點(diǎn)更低，哪個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是最小值。

(2)若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ(chēng)軸)x=-■不在自變量的取值范圍內(nèi)，

即-■≤m≤n，或m≤n≤-■時(shí)，二次函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一部分，y隨著x的增大而增大，或者y隨著x的增大而減小。那么，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值。如圖：

例2. 當(dāng)時(shí)-2≤x≤2，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱(chēng)軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

解：作出函數(shù)的圖象。

當(dāng)x=1時(shí)，y最小=4,當(dāng)x=-2時(shí)，y最大=5。

在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題：

例3. 某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量m(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)x(元)滿(mǎn)足一次函數(shù)m=162-3x，30≤x≤54。

(1)寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？

解：(1) 由已知得每件商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(x-30)元，

那么m件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y=m(x-30)，又m=162-3x。

∴y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860，30≤x≤54。

(2)由(1)知對(duì)稱(chēng)軸為x=42，位于x的范圍內(nèi)，另拋物線開(kāi)口向下

當(dāng)x=42時(shí)，ymax=-3×422+252×42-4860=432

當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為432元。

三、兩條線段的和最短

例4.如圖，MN是圓O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在圓O上，弧AN的度數(shù)為60°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值。

分析：這是兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，和圓的知識(shí)相綜合。在圓上取A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC交MN于P，因?yàn)樵贛N上任取其他點(diǎn)Q時(shí)，在⊿ACP中，AQ+QC>AC，所以這時(shí)PA+PB最短。

四、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值

例5. 如圖，在半徑是5的圓O中，弦AB=8，點(diǎn)C在AB所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)。連接AC，BC，求△ABC的最大面積。

分析：求△ABC的面積，先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明顯是不變的，高是C點(diǎn)到AB的距離，隨著動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)先增大后減小，所以當(dāng)C離AB的距離最大時(shí)，三角形的高最大，三角形的面積就最大。

解：當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧AB的中點(diǎn)C′時(shí)，△ABC的面積最大。

連接C′O交AB于D，連接OB，

∵C′是弧AB的中點(diǎn)，C′D過(guò)圓心

∴C′D⊥AB，AD=BD=4

在RT△BOD中，OB=5，

∴AD=3

∴C′D=3+5=8

∴△ABC的最大面積=■AB×C′D=32

作者簡(jiǎn)介：李賀，任教于內(nèi)蒙古包鋼實(shí)驗(yàn)中學(xué)，中學(xué)一級(jí)教師，在一線從事教學(xué)工作12年。