郭慧云

摘要：高中新生普遍覺得物理難學(xué)，力學(xué)中的極值與臨界值的求解在力學(xué)教學(xué)中一直是一個(gè)難點(diǎn)。本文列舉了一些典型的例題加以分析說明，旨在與同行交流切磋，找到更有效的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：力學(xué)；極值與臨界值；求解方法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0125

力學(xué)中的極值與臨界值的求解在力學(xué)教學(xué)中一直是一個(gè)難點(diǎn)，但此類問題的求解卻是提高學(xué)生思維能力的有效手段，應(yīng)引起我們的重視。

力學(xué)中的問題多為矢量問題，如受力、運(yùn)動(dòng)中的加速度、速度及位移等問題的求解。在分析求解時(shí)，矢量的正交分解和合成、相對運(yùn)動(dòng)中相對速度的利用等是常用的基本方法。在此基礎(chǔ)上，對于具體的力學(xué)中的極值、臨界值的求解問題，應(yīng)從分析物體的受力、物體的運(yùn)動(dòng)過程和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)入手，借助于相關(guān)的數(shù)學(xué)手段加以解決。

常用的數(shù)學(xué)工具即三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，當(dāng)0≤x≤■時(shí)，有0≤y≤1；以及二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)、圖象的特點(diǎn)等。下面，筆者通過幾個(gè)例子來具體說明怎樣求解力學(xué)中的極值和臨界值。

一、極值

[例一]如圖(1-1)一個(gè)質(zhì)量為m的物體放在粗糙的水平面上，物體與水平面間的摩擦系數(shù)為μ。當(dāng)用一外力F拉物體在水平面上沿起直線勻速前進(jìn)時(shí)，問：a角多大時(shí)，拉力F最小。

[分析]我們選物體m為研究對象，受力分析如圖(1-2)，G為重力，N為平面支持力，f為物體與水平面間的滑動(dòng)摩擦力。由受力分析知，當(dāng)a角變化時(shí)，支持力N也隨之變化，又因f=μN(yùn)，滑動(dòng)摩擦力f也要變化，解題時(shí)，我們應(yīng)把握住物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，故所受合外力為零，采用正交分解法求出最小拉力F。

[解]如圖(1-3)建立坐標(biāo)系將F正交分解，由F合外=0得

Fcosa-f=0 ①

Fsina +N-G=0 ②

f=μN(yùn) ③

由①、②、③式聯(lián)立解得

Fcosa-μ(G- Fsina)=0 整理得

F(cosa +μsina)=μG④

在④式中，因cosa是減函數(shù)，sina是增函數(shù)，我們很難從(cosa +μsina)一項(xiàng)中看出力F隨角度a變化的趨勢，對此，我們可以令

μ=ctgθ=■

因?yàn)棣虨槌?shù)，所以θ為一確定的值。把μ= ctgθ=■代入④式，得

F=(sinμcosa+sinacosμ)μGsinμ

應(yīng)用sinμcosa+sinacosμ=sin(a+θ)

得F=■

因?yàn)?<μ<1，有0<θ<π/4，當(dāng)a+θ=π/2時(shí)，力F有極小值為Fmin=μGsinθ

其中θ=ctg-1μ，sinθ=■，G=mg

所以，當(dāng)a=(π/2)-cyg-1μ時(shí)，F(xiàn)有極小值Fmin=μ■

在此例中，我們主要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)sinx≤1的性質(zhì)，求出含有cosa和sina函數(shù)的極值，從而得到所求物理量的極值，應(yīng)注意的是，若y=sinx±μcosx也可以令μ=sinθ /cosθ，從而有y=sin(x+θ)。

通過以上例子我們可以看出，求解此類問題時(shí)一定要理解掌握物理概念和物理規(guī)律，做好必要的受力、狀態(tài)、過程的分析。千萬不要只追求數(shù)學(xué)手段而忽略結(jié)果的物理意義。

二、臨界值

這里所述并不是數(shù)學(xué)中的臨界概念，而是指一種物理過程到另一種物理過程的連接點(diǎn)。對這類問題，由于諸多可變參量常常使學(xué)生解題時(shí)無從下手，其實(shí)解題的關(guān)鍵在于求解臨界狀態(tài)。

[例二]物體A的質(zhì)量為mA，物體B的質(zhì)量為mB。兩物體疊放在水平面上，如圖(2-1)。物體A與物體B、物體B與水平面間的摩擦系數(shù)為μ1和μ2。當(dāng)用一水平力F拉物體B時(shí)，求A與B獲得的加速度aA和aB，A物體所受的摩擦力。(最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力)

[分析]由于題中力F的大小是不定值，所以解答的關(guān)鍵是討論力F可能產(chǎn)生的幾種效果，對此可分為如下幾種情況：

1. 當(dāng)力F不大于B物體和地面間最大靜摩擦力時(shí)，A和B仍靜止。

2. 當(dāng)力F大于B物體和地面間最大靜摩擦力時(shí)，A和B對地面運(yùn)動(dòng)，但A、B之間仍存在有相對運(yùn)動(dòng)和無相對運(yùn)動(dòng)兩種情況。

所以，在求解過程中應(yīng)抓住A、B對地有無運(yùn)動(dòng)，A和B之間有無相對運(yùn)動(dòng)兩個(gè)臨界狀態(tài)下力F的值。

[解]A受力分析如圖(2-2)、B受力分析如圖(2-3)，其中地面的最大靜摩擦力為μ2N地B，而N地B =(mA+mB)g。

物體A、B之間最大靜摩擦力為μ1NBA，且NBA=mAg。

1.當(dāng)F滿足F≤μ2N地B =μ2(mA+mB)g時(shí)，物體A、B對地靜止，F(xiàn)=μ2(mA+mB)g是物體A、B對地動(dòng)與不動(dòng)的臨界值。

由平衡條件，此時(shí)

物體A的aA=0

物體B的aB=0

物體A給B物體的摩擦力fBA=0

2. 當(dāng)F滿足F>μ2N地B時(shí)，物體A、B之間仍有兩種運(yùn)動(dòng)情況：

(1)A、B無相對運(yùn)動(dòng)，而以共同加速度a對地運(yùn)動(dòng)，這時(shí)可把A、B看成一個(gè)整體，由牛頓第二定律有

F-μ2N地B =(mA+ mB)a ①

若單獨(dú)對物體A分析，由牛頓第二定律有

fBA=mAa ②

但fBA必須滿足

fBA≤μ1NBA=μ1mAg③

將③代入②得a≤μ1g,，將此結(jié)果代入①

可解得當(dāng)F滿足：

F≤(mA+mB)μ1g+(mA+mB)μ2g=(mA+mB)g(μ1+μ2)條件時(shí)，A、B兩物體不發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)。其中F=(mA+mB)g(μ1+μ2)為 A、B兩物體有無相對運(yùn)動(dòng)的臨界值，從而由①解得A、B物體的共同加速度為：

aA=aa=[F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

代入②即求出A物體受的靜摩擦力fBA為：

fBA=mA[ F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

(2)A、B若發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)，此時(shí)應(yīng)滿足

F>(mA+mag)(μ1+μ2)根據(jù)牛頓第二定律，可以得到：

F-μ1NBA-μ2N地B=mBaB ①

fAB=mAaA ②

由牛頓第三定律知：fAB=fBA=μ1NBA=μ1mAg代入②得A物體的加速度為：

aA=μ1g

由①解得B物體的加速度為：

aB={F-(μ1mA+μ2mB+μ2mA)g}/mB

由上例可以知道,臨界值之所以重要，是因?yàn)槠x這個(gè)值物體有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出臨界點(diǎn)，就可以區(qū)分物體不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后才能用相應(yīng)的物理規(guī)律求解。

找出極值和臨界值，是求解極值和臨界值問題的有效途徑，我們要認(rèn)真審題找出已知和未知之間相聯(lián)系的物理過程和規(guī)律，特別要注意的是，極值和臨界這兩個(gè)特殊狀態(tài)的重要物理意義，它是整個(gè)物理過程中幾個(gè)不同過程和狀態(tài)的連接點(diǎn)。