龍巨

當(dāng)新的教育理念不斷深入并在課堂教學(xué)實踐中有所成效時，身處教學(xué)一線的我們由衷地感到欣慰，但同時我們依然可見課堂教學(xué)中“穿新鞋，走老路”的舊的教學(xué)模式還不同程度的存在。課堂上高密度、大容量、題海戰(zhàn)術(shù)等現(xiàn)象勢必不利于學(xué)生能力（智力）的進(jìn)一步提升與發(fā)展。為此我們在甚感憂慮的同時，不禁要反思我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該給學(xué)生留下點什么？將來我們的學(xué)生可能對所學(xué)知識有所遺忘，但他們不能忘記的是——解決問題的思想與方法，這是最重要的。現(xiàn)將八年級數(shù)學(xué)分式一章的學(xué)習(xí)中用到的數(shù)學(xué)思想與方法作一歸納，與同仁們交流，以期給教與學(xué)帶來幫助，以利提高。

一、類比思想

類比是根據(jù)兩個或兩類對象的某種屬性相同或相似而作出的推論。類比的基礎(chǔ)是比較，就兩個或兩類對象進(jìn)行比較時，發(fā)現(xiàn)它們的相似或相同點。

在學(xué)習(xí)本章的過程中要不斷地與分?jǐn)?shù)的情形類比，以加深對分?jǐn)?shù)知識的理解和運用，另外可類比列一元一次方程解應(yīng)用題的方法來學(xué)習(xí)列分式方程解應(yīng)用題。

例1.已知：x=-2，求（1-■）÷■的值。

分析：分式的化簡求值可類比整式的化簡求值的方法，分式運算順序類比分?jǐn)?shù)運算順序。

解：原式=■.■=■

當(dāng)x=-2時，原式=■=-■

例2：（1）閱讀理解：符號“■”稱為二階行列式，規(guī)定的運算法則為■=ad-bc，例如：■=3×4-2×5=12-10=2；（2）請閱讀理解，并化得下面的二階行列式：■

分析：解決本題的關(guān)鍵是通過閱讀題目，理解二階行列式的運算法則，再利用其法則將（2）中的二階行列式的運算轉(zhuǎn)化為分式運算。

解■=a×1-■（a2-1）=a-■=a+（a+1）=2a+1

例3.據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用下產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用，已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐葉一年的平均滯塵量的2倍少4 mg，若一年滯塵1000 mg所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550 mg所需的國槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量。

分析：本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)“片數(shù)相同”這一等量關(guān)系即可列出分式方程求解。

解：設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x mg，則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為（2x-4）mg，依題意有■=■，求得x=22.

經(jīng)檢驗：x=22是原方程的解且符合題意。

答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22 mg。

二、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)思想，它的應(yīng)用十分廣泛，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為具體……就是這種思想的具體應(yīng)用。使許多問題一經(jīng)轉(zhuǎn)化就迎刃而解。本章中處處體現(xiàn)這一數(shù)學(xué)思想：（1）在判斷分式有意義，分式的值為0的條件時，通常將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決；（2）在計算分式的除法運算時，通常是將其轉(zhuǎn)化為分式的乘法來完成；（3）在解分式方程時，通常是通過去分母，將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解。

例4.若■的值為0，則x的值為（ ）。

A.±1 B.1 C.-1 D.不存在

分析：分式的值為0的條件是分子等與0而分母不等于0，由此轉(zhuǎn)化為方程來求解。

解：令分子│x│-1=0，∴│x│=1，∴x=±1，當(dāng)x=1時，分母x2+2x-3=12+2-3=0，此時分式無意義∴x≠1，當(dāng)x=-1時，分母x2+2x-3=（-1）2-2-3=-4≠0，此時分式有意義，綜上所述，x=-1，故選C。

三、整體思想

整體思想是初中數(shù)學(xué)中常用的運算方法之一，它從問題的整體性出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析與改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識地整體處理。整體思想在本章中有著廣泛的運用。

（1）用整體代入法求分式的值；（2）用整體思想變換分子、分母的位置，實現(xiàn)求分式的值的目的；（3）把n個式子作為整體參與整體變形。

例5.已知a+■=7，求a2+■的值。

分析：把a+■=7作為整體進(jìn)行變形，構(gòu)造出a2+■并求值，注意完全平方公式在分式運算中的應(yīng)用。

解：∵a+■=7，∴（a+■）2=72

∴a2+2a·■+（■）2=49，即a2+2+■=49

∴a2+■=47

四、分類討論思想

分類討論思想是在對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類的過程中尋求答案的一種思想方法，分類的關(guān)鍵是根據(jù)分類的目的，找出分類的對象，分類既不能重復(fù)，也不能遺漏，最后要全面總結(jié)。

例6.若關(guān)于x的方程■+■=-1無解，求m的值。

分析：該分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根，即當(dāng)x=3時，該分式方程無解；（2）原方程兩邊都乘3-x約去分母后，得整式方程（1+m）x=-2，當(dāng)1+m=0，即m=-1時，整式方程無解，即原方程無解。

解：（1）x=3為方程的增根，此時有（1+m）×3=-2，即m=-■，當(dāng)m=-■時，原方程無解。

（2）方程兩邊同乘3-x，化簡有（1+m）x=-2，當(dāng)m=-1時，整式方程無解，所以當(dāng)m=-1時，原方程無解。

綜上所述，m=-■或m=-1時，原方程無解。

作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們在平時的教學(xué)中，特別要重視數(shù)學(xué)思想的講授，讓學(xué)生感悟思想與方法，發(fā)展能力，這樣才有可能創(chuàng)新，我們的學(xué)生才能走得更高更遠(yuǎn)，新的課程理念才能得到真正的落實。

（作者單位 新疆喀什地區(qū)澤普縣第五中學(xué)）

？誗編輯 溫雪蓮