吳春雷

摘要：教師在教學(xué)時(shí)經(jīng)常需要面對不同的學(xué)生，如何根據(jù)不同的情況采取相應(yīng)的措施顯得非常必要。一些學(xué)生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時(shí)沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了“定理教學(xué)”，采取了先集中講授再平時(shí)滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發(fā)，通過建立表象、組合定理、聯(lián)想定理等教學(xué)對策，從而使學(xué)生具備“用定理”的意識。

關(guān)鍵詞：建立表象；組合定理；聯(lián)想定理

幾何證明從來都是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，縱觀本人帶的數(shù)屆學(xué)生在幾何證明題上都學(xué)的各有差異。往往是幾何證明題學(xué)生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；或者知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容。更多的學(xué)生面對幾何題在證明時(shí)憑感覺。針對學(xué)生表現(xiàn)出的各種問題本人決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時(shí)間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時(shí)有了“依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我把它歸納為以下幾點(diǎn)：

⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈Χɡ肀匾睦斫?，不會用符號語言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。 ⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。 ⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。

針對以上的原因，我在教學(xué)中采取了一些自救措施。

一、教學(xué)環(huán)節(jié)

對幾何定理的教學(xué)，我在集中講授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2 環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3 環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4 環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式+定理”的書寫方法；第5 環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用，提出了“圖形+定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下：

基本要求 →重新建立表象 →推理模式 → 組合定理 → 聯(lián)想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求 要想正確書寫證明過程的前提是學(xué)會對幾何定理的書寫，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆栒Z言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理，集中展示給學(xué)生。

例如定理：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié)論用波浪線，要求在劃時(shí)突出定理的本質(zhì)部分。

二畫：就是依據(jù)定理的內(nèi)容，能畫出所對應(yīng)的基本圖形。

三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上，能用符號語言表達(dá) ，允許采用等同條件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（條件也可寫成：∠ACB=90°，∠CDB=90°等）

∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。

⒉重新建立表象 從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個(gè)定理都對應(yīng)著一個(gè)圖形，這給我在教學(xué)中提供了一定的便利。我要求學(xué)生對定理的表象不能只停留在實(shí)體的形象上，而是讓學(xué)生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。這對理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。

⒊ 推理模式 從學(xué)生各方面的反饋情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又琢磨不定，往往聽課時(shí)知道該如何寫，而自己書寫時(shí)又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三步推理模式。即：條件 → 結(jié)論 → 新結(jié)論 。這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時(shí)有一定的模式，有效地克服了學(xué)生書寫的盲目性。

⒋組合定理 基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個(gè)定理的因果關(guān)系、多個(gè)定理的組合方式，然后由幾個(gè)定理組合后構(gòu)造圖形，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生“用定理”的意識。由于學(xué)生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實(shí)是由一個(gè)一個(gè)定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴(yán)密的推理過程。實(shí)踐表明：經(jīng)過“模式+定理”書寫方法的熏陶后，學(xué)生基本具備了完整書寫的意識。

⒌聯(lián)想定理 分析圖形是證明的基礎(chǔ)，幾何問題給出的圖形有時(shí)是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形，為運(yùn)用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想（這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側(cè)面，即證明題的“已知、求證”上給學(xué)生支招，

即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形想象。

三、幾點(diǎn)認(rèn)識

復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的自身實(shí)踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，我們始終堅(jiān)持主體性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性：提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會，創(chuàng)造性的解答共同完善。

“沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們在教學(xué)時(shí)總留出足夠的時(shí)間來讓學(xué)生進(jìn)行反思，使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。

集中講授能使學(xué)生對幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅(jiān)持了滲透性原則，在平時(shí)的解題分析中時(shí)常有意識地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。

（作者單位：新疆烏魯木齊第十中學(xué)初中數(shù)學(xué)組 830000 ）