焦鼎　孔運(yùn)　劉蔚青

摘要：本文針對(duì)分析深圳市這三年各主要食品領(lǐng)域微生物、重金屬、添加劑含量等安全情況的變化趨勢(shì)的問(wèn)題，首先確定評(píng)價(jià)食品安全的檢測(cè)指標(biāo)，建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，本文利用已有數(shù)據(jù)得出三年主要食品領(lǐng)域如蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品領(lǐng)域，微生物、重金屬、添加劑含量以及其他影響食品安全因素檢查的合格率；再利用主成分分析方法建立的數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行求解，得出影響食品質(zhì)量安全的主成分因子，以及相應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率（又稱(chēng)信息貢獻(xiàn)率）作為主成分指標(biāo)變量的權(quán)重，進(jìn)而定義食品安全綜合指數(shù)FSCI（Food Safety Comprehensive Index ，F(xiàn)SCI），通過(guò)食品安全綜合指數(shù)的比較，對(duì)三年來(lái)深圳市的食品安全水平進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)并得出結(jié)論：在蔬菜、肉類(lèi)以及水產(chǎn)品三個(gè)主要食品領(lǐng)域中，食品質(zhì)量安全水平2012最優(yōu)，2011在三年來(lái)相對(duì)較差，2010年居中。

關(guān)鍵詞：主成分分析 信息貢獻(xiàn)率 特征向量 綜合評(píng)價(jià)指數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：R155.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-5336（2014）06-0064-03

針對(duì)評(píng)價(jià)深圳市這三年各主要食品領(lǐng)域微生物、重金屬、添加劑含量等安全情況的變化趨勢(shì)的問(wèn)題，我們首先確立指標(biāo)體系，并對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，建立如下基于主成分分析的綜合評(píng)價(jià)模型，并利用Matlab編程進(jìn)行求解。

假設(shè)進(jìn)行主成分分析的指標(biāo)變量有個(gè)[1]，分別為，共有個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象，第個(gè)待評(píng)對(duì)象的第個(gè)指標(biāo)值為，得到觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣：。

將各指標(biāo)值轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)化的指標(biāo)值，有：

其中：

其中即和為第個(gè)指標(biāo)的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)應(yīng)地，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化的指標(biāo)變量。

根據(jù)公式概率統(tǒng)計(jì)以及線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)[2]可以知道：即為標(biāo)準(zhǔn)化的指標(biāo)變量和的相關(guān)系數(shù)矩陣，相關(guān)系數(shù)矩陣中的元素

其中是第個(gè)指標(biāo)與第個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，顯然易見(jiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣為是對(duì)稱(chēng)矩陣。

由上述相關(guān)系數(shù)矩陣的性質(zhì)知道：相關(guān)系數(shù)矩陣為是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因此相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行特征分解得到[3]：，其中，是由相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值組成的對(duì)角陣，是由的標(biāo)準(zhǔn)正交化的特征向量按列并排組成的正交矩陣，稱(chēng)為主成分載荷矩陣，它是用主成分指標(biāo)變量表示中心標(biāo)準(zhǔn)化的原指標(biāo)變量時(shí)的系數(shù)矩陣，即用矩陣可表示為：。由于主成分載荷矩陣是正交矩陣，所以滿足，故又有，即可知：，可見(jiàn)的轉(zhuǎn)置矩陣是用原變量表示主成分變量時(shí)的系數(shù)矩陣。

另外還可以知道矩陣為主成分得分陣，每行的數(shù)據(jù)就是對(duì)應(yīng)各次觀測(cè)對(duì)應(yīng)的主成分變量的取值。因而主成分的樣本協(xié)方差矩陣為

，由此可見(jiàn)主成分指標(biāo)變量的樣本方差就是特征值，且不同主成分之間的樣本協(xié)方差都等于零。

為計(jì)算特征值的信息貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，定義為主成分指標(biāo)變量的信息貢獻(xiàn)率；同時(shí)，有為主成分指標(biāo)變量的累計(jì)貢獻(xiàn)率。當(dāng)接近于1（一般?。r(shí)，則選取前個(gè)指標(biāo)變量作為主成分指標(biāo)變量，代替原來(lái)的個(gè)指標(biāo)變量，從而可以對(duì)個(gè)主成分指標(biāo)變量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[4]。

具體到本問(wèn)題中時(shí)，我們定義了食品安全綜合指數(shù)FSCI；

其中：為第個(gè)主成分指標(biāo)變量的信息貢獻(xiàn)率，根據(jù)食品安全綜合指數(shù)FSCI，我們就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)2010、2011以及2012年三年來(lái)深圳市主要食品領(lǐng)域食品質(zhì)量安全的變化趨勢(shì)。

為綜合評(píng)價(jià)深圳市這2010、2011以及2012三年各主要食品領(lǐng)域微生物、重金屬、添加劑含量等安全情況的變化趨勢(shì)，我們確定了由微生物檢測(cè)合格率、重金屬檢測(cè)合格率、添加劑含量檢測(cè)合格率以及其他因素檢測(cè)合格率四項(xiàng)所組成的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，2010、2011、2012年食品質(zhì)量安全水平組成的評(píng)價(jià)對(duì)象。為綜合考慮三年的食品質(zhì)量安全水平，我們主要以蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品三個(gè)食品領(lǐng)域作為指標(biāo)變量數(shù)據(jù)獲取的樣本空間[5]，得到如下的表1，表1中各項(xiàng)數(shù)據(jù)為三個(gè)主要食品領(lǐng)域中不同年份四項(xiàng)檢測(cè)指標(biāo)的合格率情況。

注：此處僅考慮蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品三個(gè)主要食品領(lǐng)域的各項(xiàng)指標(biāo)。

因此，指標(biāo)變量主要食品領(lǐng)域微生物檢測(cè)指標(biāo)的合格率、主要食品領(lǐng)域重金屬檢測(cè)指標(biāo)的合格率、主要食品領(lǐng)域添加劑檢測(cè)指標(biāo)的合格率、主要食品領(lǐng)域其他檢測(cè)指標(biāo)的合格率，得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣[6]為

對(duì)相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行特征值和相應(yīng)的特征向量求解，并計(jì)算各個(gè)特征值的貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，如下表2：

由表2得到的主成分分析結(jié)果，可以利用主成分的貢獻(xiàn)率作為綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。由表中數(shù)據(jù)可以得知前兩個(gè)主成分指標(biāo)變量的累計(jì)貢獻(xiàn)率就達(dá)到了100%，主成分分析效果較好。

主成分載荷矩陣，是由的標(biāo)準(zhǔn)正交化的特征向量按列并排組成的正交矩陣，即；進(jìn)而可以得到表3——標(biāo)準(zhǔn)化的4個(gè)主成分指標(biāo)變量對(duì)應(yīng)的特征向量[7]。

由此可得2個(gè)主成分變量分別為：

據(jù)主成分系數(shù)可以看出第一主成分主要反映了前兩個(gè)指標(biāo)微生物、食品添加劑檢測(cè)合格率的信息。第二主成分主要反映了重金屬和其他因素兩個(gè)檢測(cè)指標(biāo)對(duì)食品質(zhì)量安全的影響信息，很好地將原始數(shù)據(jù)中相關(guān)性很高的指標(biāo)變量轉(zhuǎn)化成彼此相互獨(dú)立或不相關(guān)的變量，很好地實(shí)現(xiàn)了降維；另外，由于數(shù)據(jù)獲取主要來(lái)源于蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品三個(gè)主要食品領(lǐng)域，而這些食品領(lǐng)域食品不合格的主要原因在于微生物、食品添加劑含量檢測(cè)不合格，與第一主成分主要包含前兩個(gè)指標(biāo)微生物、食品添加劑檢測(cè)合格率的信息相符合[8]。

利用主成分載荷陣以及中心標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)矩陣可以得到主成分得分陣，，如表4——評(píng)價(jià)對(duì)象的主成分得分陣

針對(duì)深圳市這2010、2011以及2012三年各主要食品領(lǐng)域微生物、重金屬、添加劑含量等安全情況的變化趨勢(shì)，我們定義了食品安全綜合指數(shù)FSCI這個(gè)綜合評(píng)價(jià)指數(shù)：

分別以4個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率為權(quán)重系數(shù)，構(gòu)建主成分綜合評(píng)價(jià)函數(shù)，即：

從而可以根據(jù)食品安全綜合指數(shù)FSCI對(duì)2010、2011以及2012三年來(lái)各主要食品領(lǐng)域微生物、重金屬、添加劑含量以及其他因素等食品質(zhì)量安全情況的變化趨勢(shì)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

根據(jù)表4——評(píng)價(jià)對(duì)象的主成分得分陣，將評(píng)價(jià)對(duì)象2010、2011、2012三年深圳市食品質(zhì)量安全水平的4個(gè)主成分值代入上式，可以分別得到三年的食品安全綜合指數(shù)FSCI，如表5——三年的食品安全綜合指數(shù)FSCI。

由上表數(shù)據(jù)分析可以得知，若以蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品三個(gè)食品領(lǐng)域的食品質(zhì)量來(lái)評(píng)價(jià)2010、2011以及2012年三年深圳市食品安全水平，2012年食品安全質(zhì)量水平最高，由于四項(xiàng)檢測(cè)指標(biāo)合格率都優(yōu)于2010和2011年，而2011年食品安全質(zhì)量水平低于2010的主要原因在于占據(jù)很大貢獻(xiàn)的第一主成分變量主要包含微生物和添加劑含量的主要信息，在這兩項(xiàng)指標(biāo)上11年的合格率都劣于10年，因此在蔬菜、肉制品以及水產(chǎn)品三個(gè)主要食品領(lǐng)域，10年的食品安全質(zhì)量水平較11年高。

參考文獻(xiàn)

[1]司守奎，孫璽菁，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用，北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2013.

[2]陸元鴻，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，上海：華東理工大學(xué)出版社，2005.

[3]張小蒂，李曉鐘.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論，浙江：浙江大學(xué)出版社，1998.

[4]周乃元，潘家榮，食品安全綜合評(píng)估數(shù)學(xué)模型研究，中國(guó)食品衛(wèi)生雜志，第21卷第3期：198-202，2009年.

[5]劉振航.數(shù)學(xué)建模，北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2004.

[6]梅長(zhǎng)林，周家良.實(shí)用統(tǒng)計(jì)方法，北京：科學(xué)出版社，2009.

[7]肖智，鐘波，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)驗(yàn)，重慶：重慶大學(xué)出版社，2007.

[8]姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2011.