于清

數(shù)學(xué)作為一種文化，已成為人類文明進(jìn)步的標(biāo)志，對(duì)于當(dāng)今社會(huì)每一個(gè)有文化的人士而言，不論他從事何種職業(yè)，都需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的我們，不僅要掌握數(shù)學(xué)教材與教法，更應(yīng)該深入鉆研教材和教育對(duì)象，從更廣闊的視角出發(fā)為學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展提供更大的空間。也只有更深刻地了解學(xué)生，實(shí)事求是的根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，采取具有針對(duì)性的教學(xué)方法和教學(xué)策略，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)行素質(zhì)教育。讓數(shù)學(xué)回歸生活有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新思維。

現(xiàn)代教學(xué)觀認(rèn)為，教學(xué)是通過(guò)教師的努力來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的過(guò)程；新課程改革要求教師要關(guān)注每個(gè)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展；現(xiàn)實(shí)的升學(xué)壓力要求我們要構(gòu)建高效的課堂模式，在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)取得最豐富的學(xué)習(xí)效果……種種跡象都在提醒著我們，課堂教學(xué)改革勢(shì)在必行，必須提高效率，掌控節(jié)奏，探討出更適合目前學(xué)情的教學(xué)模式，我們的教育才能成功轉(zhuǎn)型，學(xué)校的教學(xué)才會(huì)更有效，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能更精彩。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有這樣的一段話：“在現(xiàn)代社會(huì)中，數(shù)學(xué)教育又是終身教育的重要方面，它是公民進(jìn)一步深造的基礎(chǔ)，是終身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界。”

其中，數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)筑理論大廈的基石，是進(jìn)行判斷、推理的基礎(chǔ)，是解決問(wèn)題的前提。因此，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不容忽視的地位。長(zhǎng)期以來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在忽視概念的形成過(guò)程，把概念變成簡(jiǎn)單的“條文”加例題的現(xiàn)象，導(dǎo)致概念的形成與獲得概念是兩個(gè)不同的過(guò)程，造成數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)始終是一個(gè)難點(diǎn)。

在創(chuàng)建高效課堂理念的指導(dǎo)下，立足于新課程的教材觀、學(xué)習(xí)觀、學(xué)生觀、教師觀和課堂觀，結(jié)合本學(xué)科的特點(diǎn)，初步探索了“概念課”的課堂教學(xué)模式，是否為高效的課堂，還有待進(jìn)一步探索和發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)以九年級(jí)上冊(cè)“圓與圓的位置關(guān)系”為例加以解說(shuō)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

在生活中，我們往往對(duì)做過(guò)的事情印象最深，學(xué)習(xí)也一樣，自己感受過(guò)的，想了解它的愿望也最強(qiáng)烈。數(shù)學(xué)課堂中，創(chuàng)設(shè)“生活數(shù)學(xué)”情景就是模擬生活，再現(xiàn)生活，使課堂教學(xué)更接近現(xiàn)實(shí)生活，使學(xué)生如臨其境、如見(jiàn)其人、如聞其聲，加強(qiáng)感知，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，激發(fā)思維。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中雖然許多內(nèi)容都不能模擬生活場(chǎng)景，但教師要有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，將數(shù)學(xué)生活化，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更進(jìn)一步的理解和掌握。著名教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)：“如果教師不想辦法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識(shí)，那么這種知識(shí)能使人產(chǎn)生冷漠的態(tài)度，而使不動(dòng)感情的腦力勞動(dòng)帶來(lái)疲勞?！睂?shí)踐證明，教師導(dǎo)入得好，就能吸引學(xué)生，把學(xué)生引入無(wú)比瑰麗的知識(shí)世界，喚起學(xué)生的求知欲望，燃起學(xué)生的智慧火花，使學(xué)生積極主動(dòng)地思維。

疑能引思，思則生趣，利用具體又實(shí)際的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的“思”，就會(huì)讓課堂效果更加不一般。而學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)下面的情況：一是如果不學(xué)習(xí)新知識(shí)，則問(wèn)題無(wú)法解決；二是解決問(wèn)題后，要說(shuō)明解題過(guò)程的正確性，必須用到新的知識(shí)。這些情況都可以引發(fā)問(wèn)題情境，問(wèn)題以生動(dòng)活潑、貼近生活，能引進(jìn)學(xué)生的興趣，激發(fā)認(rèn)知沖突為目的。例如，本節(jié)課是以香港的回歸歷程創(chuàng)設(shè)情景，讓同學(xué)們眼前一亮，立即激起探究的欲望。

創(chuàng)設(shè)情境：

假設(shè)祖國(guó)就是一個(gè)大圓，香港就是一個(gè)小圓，從簽署條約被分割出中國(guó)，到有了第一次的談判，到有了兩方人們的溝通，到最后談判成功，至1997年7月1日回歸祖國(guó)。

提出問(wèn)題：在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，假設(shè)的這兩個(gè)圓都經(jīng)歷了什么樣的位置變化？你可以通過(guò)哪些要素來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系？

在黑板上畫(huà)出一個(gè)大圓，并制作一個(gè)小圓，演示小圓的運(yùn)動(dòng)和大圓產(chǎn)生的位置關(guān)系的變化，讓學(xué)生帶著這個(gè)問(wèn)題進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)，從新學(xué)習(xí)的內(nèi)容中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的答案。

二、探究引領(lǐng)，主動(dòng)參與

本環(huán)節(jié)本著這樣的前提：能讓學(xué)生觀察思考的，盡量讓學(xué)生觀察思考；能讓學(xué)生表達(dá)的，盡量讓學(xué)生表達(dá)；能讓學(xué)生參與的，盡量讓學(xué)生參與；能讓學(xué)生做結(jié)論的，盡量讓學(xué)生做結(jié)論。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生要學(xué)習(xí)的是方法，感受的是事物發(fā)展的過(guò)程，學(xué)的是生存的技能，但是，學(xué)生這樣的能力的培養(yǎng)是在老師的引領(lǐng)下才能變得有序和有效。比如，這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)，同桌相互比較、探究、總結(jié)，分工明確，課堂氣氛有序而不失思維的活躍，從而達(dá)到了鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、總結(jié)能力的目的，能培養(yǎng)他們探究的意識(shí)和團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念課往往是這樣的。老師給出概念讓學(xué)生記憶，然后就是大量的練習(xí)，而對(duì)概念的形成過(guò)程往往忽略，這與新課程的理念嚴(yán)重違背，新課程要求我們的教學(xué)“要注重過(guò)程”，“探究引領(lǐng)”的這個(gè)環(huán)節(jié)就是在學(xué)生體驗(yàn)概念形成的過(guò)程中，給學(xué)生指明探究的方向和方式，起到對(duì)概念探究的引領(lǐng)作用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念有初步的、感性的、直觀的感知，使學(xué)生可以完整的、本質(zhì)的獲得概念的本質(zhì)屬性，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考。例如，本節(jié)課設(shè)計(jì)了一名同學(xué)在臺(tái)上擺放兩圓可能產(chǎn)生的位置。其他學(xué)生與同桌之間進(jìn)行合作，充分發(fā)動(dòng)每個(gè)學(xué)生都參與到探索圓與圓的位置關(guān)系，讓每個(gè)學(xué)生都有事情可干，讓每個(gè)同學(xué)都能積極思考，并可以和其他同學(xué)交流自己的看法。

根據(jù)問(wèn)題的引導(dǎo)，學(xué)生就不會(huì)在探究的過(guò)程中迷失方向，就能夠順利地總結(jié)出結(jié)論，完成探究任務(wù)，通過(guò)自己的努力學(xué)會(huì)概念、理解概念，還能感受成功的喜悅。比如，上面的動(dòng)態(tài)演示能讓學(xué)生大體總結(jié)出：圓與圓應(yīng)該有相離、相切、相交幾種位置關(guān)系。

三、類比以往，得出結(jié)論

如果新的知識(shí)和以往的知識(shí)存在某種聯(lián)系，那么學(xué)生就不難用類比的方式，得出相應(yīng)的結(jié)論并準(zhǔn)確歸納新的定義和定位，類比法也叫“比較類推法”，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法。其結(jié)論必須由實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)，類比對(duì)象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大。比如，本節(jié)探討的課題《圓與圓的位置關(guān)系》與《點(diǎn)與圓的位置關(guān)系》《直線與圓的位置關(guān)系》都有著很大的聯(lián)系，因此，在類比前兩種關(guān)系后，不難得出圓與圓的位置關(guān)系，但由于每種關(guān)系都有它的特殊性，因此，我們?cè)龠M(jìn)一步細(xì)化圓與圓的位置關(guān)系，包括與以往不同的情況，并作出總結(jié)，按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為“相離、相切、相交”三種大體的位置關(guān)系。

四、繼續(xù)探索，量化結(jié)論

一位教研員說(shuō)：“數(shù)學(xué)不是一個(gè)只看到了什么就結(jié)束的學(xué)科，我們更多的時(shí)候需要用量化的要求來(lái)闡述某種定義，或者是某種運(yùn)算，達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的能力，才是真正數(shù)學(xué)要做到的事情?！币虼?，我們不只是從直觀上給出定義，最后應(yīng)該量化某種關(guān)系，讓定義或者運(yùn)算更加明確化。本課《圓與圓的位置關(guān)系》進(jìn)一步量化的結(jié)果就是，在小圓的運(yùn)動(dòng)當(dāng)中，觀察兩個(gè)圓的哪些對(duì)量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有發(fā)生變化，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)類比《點(diǎn)與圓的位置關(guān)系》《直線與圓的位置關(guān)系》，不難發(fā)現(xiàn)，兩圓的半徑?jīng)]有發(fā)生變化，而圓心之間的距離發(fā)生了比較明顯的變化，學(xué)生就能比較輕松的得出我們可以用圓心距和兩圓半徑的大小之間的數(shù)量關(guān)系，來(lái)刻畫(huà)《圓與圓的位置關(guān)系》。

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，兩圓的圓心距為d，則用如下數(shù)量關(guān)系可刻畫(huà)出圓與圓的位置關(guān)系的五種情況。

（1）外離：R+r>d （2）外切：R+r=d （3）相交：R-r

（4）內(nèi)切：R-r=d （5）內(nèi)含：R-r>d

因?yàn)槭菐缀螆D形，故還可以結(jié)合五種圖形，給出相對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單量化證明，加深記憶。

五、訓(xùn)練達(dá)成

訓(xùn)練的目的是達(dá)成，新課程的學(xué)生觀要求：要關(guān)注每一個(gè)學(xué)生，要讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，使大多數(shù)學(xué)生都能達(dá)到基本要求，所以，設(shè)計(jì)好練習(xí)題是十分關(guān)鍵的一環(huán)。練習(xí)題要求表述有親和力，讓學(xué)生體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)，教學(xué)目標(biāo)指向每個(gè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，練習(xí)要有利于總結(jié)規(guī)律，使知識(shí)上升為技能，提升學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)埋下伏筆。 練習(xí)題要有人文性、層次性和開(kāi)放性，要根據(jù)知識(shí)內(nèi)容和體系有目的地突出重點(diǎn)、難點(diǎn)，還要做到重點(diǎn)知識(shí)反復(fù)練，又不能給學(xué)生增加負(fù)擔(dān)。

例如，本節(jié)課的設(shè)計(jì)體現(xiàn)這些方面的有：

人文性：每一個(gè)小環(huán)節(jié)都用一個(gè)比較形象的名稱。

層次性：把本環(huán)節(jié)內(nèi)容根據(jù)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的規(guī)律設(shè)計(jì)幾個(gè)小環(huán)節(jié)，每個(gè)下環(huán)節(jié)之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，使知識(shí)由淺入深，由單個(gè)知識(shí)點(diǎn)到綜合運(yùn)用，形成一個(gè)高潮。

開(kāi)放性：在由例題進(jìn)行舉一反三時(shí)，把結(jié)論設(shè)置為開(kāi)放性，以訓(xùn)練學(xué)生的思維的靈活性。

生活性：利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，真正解決生活中的數(shù)學(xué)，就達(dá)到了數(shù)學(xué)生活化的目的。

當(dāng)然，體現(xiàn)這幾個(gè)性質(zhì)的方法不只是這幾種，我們只要通過(guò)不同的形式把它體現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生就不會(huì)對(duì)練習(xí)題厭倦，當(dāng)然也就不會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)厭倦。本節(jié)課的設(shè)計(jì)如下：

（一）基礎(chǔ)夯實(shí)

從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，可以把教材的內(nèi)容加以整合，先從概念定義的加強(qiáng)理解出發(fā)加以訓(xùn)練，以達(dá)到對(duì)新的概念和定理正確深入的理解。

類型一：已知兩圓位置關(guān)系，確定圓心距的取值范圍

1.已知兩圓的半徑分別是3和7，圓心距為d，根據(jù)下列條件，確定d的取值范圍。

（1）若兩圓外切，則________；（2）若兩圓內(nèi)切，則_________；（3）若兩圓外離，則_________；（4）若兩圓內(nèi)含，則 ；（5）若兩圓相交，則_________。

類型二：已知圓心距，確定兩圓的位置關(guān)系

2.已知兩圓的半徑分別是3 cm和7 cm，圓心距為d，根據(jù)下列條件確定兩圓的位置關(guān)系.

（1）當(dāng)d=12 cm時(shí)，兩圓______；（2）當(dāng)d=4 cm時(shí)，兩圓______；（3）當(dāng)d=2 cm時(shí)，兩圓_______；（4）當(dāng)d=10 cm時(shí)，兩圓________；（5）當(dāng)d=7 cm時(shí)，兩圓________。

（二）小試牛刀

在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上引出本節(jié)課的又一個(gè)重點(diǎn)——概念和定理的應(yīng)用：首先是簡(jiǎn)單的應(yīng)用，然后從簡(jiǎn)單的應(yīng)用當(dāng)中比較推理，由靜到動(dòng)，舉一反三，觸類旁通，以發(fā)展學(xué)生的智力培養(yǎng)能力為目的，達(dá)到鞏固、運(yùn)用新知識(shí)，深化新知識(shí)。

有利于培養(yǎng)學(xué)生思考的靈活性和敏捷性。

例題：

類型三：半徑變化時(shí)，圓的位置關(guān)系的變化

3.已知⊙O的半徑為5cm，OP=8cm

（1）⊙P與⊙O外切，則⊙P的半徑為_(kāi)_____（2）⊙P與⊙O內(nèi)切，則⊙P的半徑為_(kāi)______

（3）⊙P與⊙O相切，則⊙P的半徑為_(kāi)________

圓與圓相切分為外切和內(nèi)切，注意分類討論思想。

4.問(wèn)題：如圖在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位），⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，⊙A由圖示位置以每秒1個(gè)單位的速度自左向右運(yùn)動(dòng)t秒.

問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，⊙A與⊙B外切？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，⊙A與⊙B相交？

5.定圓O的半徑是4 cm，動(dòng)圓P的半徑是1 cm.

（1）設(shè)⊙O和⊙P相外切，點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離是多少？點(diǎn)P可以在什么樣的線上移動(dòng)？

（2）設(shè)⊙O和⊙P相內(nèi)切，情況又怎樣？

變式：若動(dòng)圓P的半徑是5 cm，則上面的兩個(gè)結(jié)論又是什么情況？

當(dāng)情況多樣化的時(shí)候，需要分清狀況，分類討論，分類推進(jìn)，縝密思維，以求出最正確的解。

六、生活數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)生活

數(shù)學(xué)的目的是為了解決生活當(dāng)中的問(wèn)題，并可以令數(shù)學(xué)生活化，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值之處，這樣才能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有用性，積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中來(lái)。

本節(jié)課設(shè)計(jì)了如下題目，體現(xiàn)這樣的教學(xué)目的。

6.用半徑R=8 mm，r=5 mm的鋼球測(cè)量口小底大的直徑d，測(cè)得鋼球頂點(diǎn)與孔口平面的距離分別為a=12.5 mm，b=10.5 mm，計(jì)算出內(nèi)孔直徑d的大小。

七、拓展創(chuàng)新

數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，創(chuàng)新意識(shí)主要是指對(duì)自然和社會(huì)中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，進(jìn)行探索和研究。

學(xué)習(xí)概念就是為了在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)用概念。而且當(dāng)概念與知識(shí)、方法結(jié)合起來(lái)應(yīng)用的時(shí)候，對(duì)學(xué)生的能力就是一種挑戰(zhàn)，也是一次學(xué)習(xí)能力提升的機(jī)會(huì)。

八、問(wèn)題解決

本節(jié)課開(kāi)始時(shí)提出了問(wèn)題，在本環(huán)節(jié)將問(wèn)題深入研究，由生活中的實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用本節(jié)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題從而達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的，感受數(shù)學(xué)建模在實(shí)際生活中的應(yīng)用，利用概念的應(yīng)用使得概念的學(xué)習(xí)得到升華，達(dá)到更高的層次。

如何將“概念課”中的概念教學(xué)進(jìn)行延伸、拓展、創(chuàng)設(shè)，讓其在日常教學(xué)工作中付于新的意義，這是在今后的教學(xué)工作中都要一直關(guān)注和探索的問(wèn)題。本節(jié)課是對(duì)“概念課”的課堂教學(xué)模式的一個(gè)初步探索，定有不足之處，還請(qǐng)各位同仁批評(píng)指正！

（作者單位 廣東省廣州市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

編輯 代敏麗