徐媛媛

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第20研究所，西安 710068）

0 引 言

LTE是3G移動(dòng)通信技術(shù)的演進(jìn)，其要求在最高100MHz帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)下行1Gbit／s、上行500Mbit／s的傳輸速率。為了能達(dá)到此目標(biāo)，多輸入多輸出（MIMO）技術(shù)、正交頻分復(fù)用（OFDM）技術(shù)成為移動(dòng)通信系統(tǒng)構(gòu)架中的關(guān)鍵技術(shù)。MIMOOFDM系統(tǒng)中使用了很多其他技術(shù)來(lái)提高系統(tǒng)性能，例如預(yù)編碼、波束形成、功率控制等技術(shù)。這些技術(shù)的實(shí)現(xiàn)都是以基站端獲得準(zhǔn)確的信道信息（CSI）為前提的。

在時(shí)分雙工（TDD）無(wú)線系統(tǒng)中，發(fā)射端可以通過(guò)上行信道估計(jì)得到CSI，利用信道互易性確定下行信道的CSI。但是在頻分雙工（FDD）系統(tǒng)中，上下行信道不具有互易性，因此必須使用專門(mén)的鏈路由接收端向發(fā)送端反饋實(shí)時(shí)的信道狀態(tài)信息。隨著系統(tǒng)帶寬的增加，反饋鏈路的開(kāi)銷也隨之增加。傳統(tǒng)的MIMO-OFDM預(yù)編碼可以分為基于全部信道信息反饋和基于碼本的反饋，但是理想的預(yù)編碼反饋方案將面臨著很大的反饋鏈路開(kāi)銷，并且會(huì)受到頻譜資源的限制。因此在不影響系統(tǒng)性能的情況下減小反饋開(kāi)銷是目前的研究熱點(diǎn)。

為了降低反饋開(kāi)銷，前人也做了很多相關(guān)研究，主要分為全部信道信息反饋和基于碼本的信道信息反饋［12］。這些反饋方案雖然得到較完整的CSI，但因?yàn)榉答伭枯^大，無(wú)法提高頻譜效率。近年提出的壓縮感知理論［34］（CS）突破傳統(tǒng)的麥奎斯特采樣定理，用遠(yuǎn)低于麥奎斯特采樣定律要求的速率采樣信號(hào)完美地恢復(fù)出原始信號(hào)。

壓縮感知理論指出，只要信號(hào)是可壓縮的，那么就可以用一個(gè)與變化基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間，然后通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題從少量的投影中以高概率重構(gòu)原始信號(hào)［5］。將壓縮感知應(yīng)用于MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道信息反饋中，即將CSI壓縮采樣后反饋到發(fā)送端，減小了反饋開(kāi)銷，在發(fā)端較準(zhǔn)確地重構(gòu)信道信息后發(fā)送數(shù)據(jù)。仿真證明該反饋方案能達(dá)到與完全信道信息反饋近似的系統(tǒng)性能［6］。

1 壓縮感知理論

1.1 信號(hào)的稀疏表示

對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)的N×1維信號(hào)x，可以將x在某種正交變換域內(nèi)展開(kāi)成稀疏表示，即有下列變換：

式中：Ψ為N×N維的稀疏基，典型的稀疏基包括離散余弦變換（DCT）矩陣、離散傅里葉變換（DFT）矩陣；s為N×N維的稀疏向量，其含有K個(gè)非零值，因此通過(guò)式（1）得到了原始信號(hào)x的稀疏表示s。

1.2 觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)

在得到信號(hào)的稀疏表示之后，需要設(shè)計(jì)壓縮采用系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣Φ，其作用是采樣并壓縮信號(hào)，從而得到觀測(cè)值y，同時(shí)保證從中重構(gòu)出長(zhǎng)度為N的原始信號(hào)x。觀測(cè)的過(guò)程可以表示為：

式中：Θ為傳感矩陣，要求Θ應(yīng)滿足有限等距性（RIP），也等價(jià)于觀測(cè)矩陣Φ與稀疏基Ψ完全不相干。

其實(shí)質(zhì)為用一個(gè)M×N維的矩陣Φ對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行投影，得到M×1維的觀測(cè)向量y。其中，目前用于壓縮感知的觀測(cè)矩陣主要有高斯隨機(jī)矩陣、伯努利矩陣、傅里葉隨機(jī)矩陣等。本文采用高斯矩陣作為觀測(cè)矩陣。

1.3 信號(hào)的重構(gòu)

信號(hào)重構(gòu)即是從得到的M×1維的觀測(cè)值y中完美地恢復(fù)N×1原始信號(hào)x（M?N）。其實(shí)質(zhì)就是求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題［7］：

通?？梢酝ㄟ^(guò)優(yōu)化算法，例如線性規(guī)劃（LP）、基本匹配（BP）和正交匹配追蹤（OMP）來(lái)解決。因此只要足夠大，并且滿足嚴(yán)格等距特性（RIP），那么就能以較高概率被恢復(fù)。最后，當(dāng)s根據(jù)式（4）得到后，目標(biāo)信號(hào)x即可通過(guò)式（1）恢復(fù)重構(gòu)。

2 MIMO-OFDM系統(tǒng)中基于壓縮感知的信道信息反饋

在 MIMO-OFDM 系統(tǒng)中，假設(shè)子載波數(shù)為Nc，基站的發(fā)射天線數(shù)為Nt，接收端用戶的接收天線為Nr，使用奇異值分析（SVD）預(yù)編碼與用戶進(jìn)行通信。同時(shí)假設(shè)反饋信道是理想的，不存在誤差和時(shí)延的影響。

本文采用的壓縮反饋方案如下：假設(shè)在接收端通過(guò)信道估計(jì)得到了準(zhǔn)確的信道信息H，首先將H向量化并將其在DCT域下壓縮得到稀疏系數(shù)s，然后使用測(cè)量矩陣（本文采用服從高斯分布的隨機(jī)矩陣）對(duì)s進(jìn)行壓縮感知得到低維度的觀測(cè)值y，并且將y反饋到發(fā)送端，最后在發(fā)送端通過(guò)梯度投影算法得到重構(gòu)的s′，進(jìn)而得到重構(gòu)的信道矩陣H′。反饋的流程圖如圖1所示。

圖1 反饋流程圖

2.1 信道矩陣在DCT域的稀疏表示

稀疏基Ψ的選擇在信息的稀疏化和恢復(fù)信息的性能中起到重要作用。本文在DCT域?qū)π诺谰仃嘓實(shí)現(xiàn)其稀疏表示。信號(hào)的DCT變換公式為：

由此可以構(gòu)造正交的DCT基ΨN：

假設(shè)信道矩陣H向量化為h，則稀疏系數(shù)通過(guò)s＝ΨNh得到。

2.2 接收端采用梯度投影（GPSR）算法重構(gòu)信道信息

GPSR算法基于l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，采用逐步逼近方法求解。由于l1兼有范數(shù)優(yōu)化的精度和類似于貪婪迭代算法的求解方式，在對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)的仿真實(shí)驗(yàn)中，該算法有著良好的重構(gòu)性能和較快的運(yùn)算速度［8］。它首先規(guī)定一個(gè)解空間的可行域，在本次迭代中，從該迭代出發(fā)點(diǎn)向新的可行方向進(jìn)行搜索。

如果迭代出發(fā)點(diǎn)在可行域的內(nèi)部，則搜索方向?yàn)槭鼓繕?biāo)函數(shù)下降最快的方向（即負(fù)梯度）；如果迭代出發(fā)點(diǎn)不在可行域內(nèi)部而在事先規(guī)定的約束邊界上，則將該點(diǎn)處的負(fù)梯度投影到稀疏矩陣的可行集合中繼續(xù)進(jìn)行搜索，該集合是由起作用邊界或部分起作用邊界的梯度構(gòu)造而成［9］。

在壓縮感知理論的重構(gòu)步驟中，l1范數(shù)優(yōu)化算法對(duì)重構(gòu)值的求解采用如下的凸優(yōu)化問(wèn)題形式：

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸非約束優(yōu)化問(wèn)題：

接著對(duì)向量s作進(jìn)一步變換，將上式中的重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題。將向量s中的值分為正負(fù)兩部分，即令ui＝ （si）＋，vi＝ （-si）＋，i＝1，2，…，N，可以看出，u和v是和s同維度的向量。那么，向量s就可以分解為：

按照l(shuí)1范數(shù)的定義，向量s的l1范數(shù)可以寫(xiě)成：

式中：lN＝l，l，…［ ］lT為N×1維的列向量。

于是，上式可進(jìn)一步寫(xiě)成：

應(yīng)用迭代法將s（k）迭代至s（k＋1）有：

式中：λk為步長(zhǎng)因子。

梯度投影公式為：

為了使得搜索方向在可行域范圍內(nèi)，即使得搜索方向?yàn)榭尚蟹较?，梯度投影算法中的步長(zhǎng)因子λk應(yīng)滿足λk∈ ［0，1］，且：

可以把λk看作未知數(shù)，令：

要使φ（λ）的函數(shù)值最小，則應(yīng)使φ′（λ）＝0，又：

令式（19）等于0，則得到：

一旦λk的值確定，根據(jù)回溯查找法即可計(jì)算出s（k＋1）。

通過(guò)上述算法得到重構(gòu)的稀疏系數(shù)s′，根據(jù)h＝ΨTs′即可得到重構(gòu)的信道信息h′，接著發(fā)送端根據(jù)重構(gòu)的h′進(jìn)行預(yù)編碼或波束形成等。

3 仿真結(jié)果與分析

仿真中，本文采用了100次獨(dú)立的Monte Carlo仿真結(jié)果取平均?；九渲?根天線，接收端配置2根天線，采用自適應(yīng)編碼與調(diào)制，OFDM子載波數(shù)Nc＝512，保護(hù)間隔為16。壓縮感知觀測(cè)次數(shù)M＝100。信道采用COST-207TU6徑延遲衰落的瑞利衰落信道模型［10］。本文將基于CS的反饋方案與全部信道信息反饋方案做了一層波束形成的誤碼率性能對(duì)比。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 仿真結(jié)果

由仿真結(jié)果圖得出，新的基于CS的反饋方案所得的誤碼率與全部信道信息反饋時(shí)得到的誤碼率很接近，說(shuō)明信道信息在壓縮采樣之后得到了精確的重構(gòu)，因此該方案可在大幅減小反饋開(kāi)銷的同時(shí)達(dá)到很好的系統(tǒng)性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在LTE MIMO-OFDM系統(tǒng)中采用壓縮感知反饋技術(shù)，首先將向量化的信道矩陣在DCT域內(nèi)得到其稀疏表示，接著得到觀測(cè)矩陣，并將其反饋到發(fā)送端，最后在發(fā)送端由梯度投影算法較精確地重構(gòu)了信道信息，發(fā)送端根據(jù)重構(gòu)的信道信息進(jìn)行預(yù)編碼波束形成等處理。通過(guò)仿真表明該方案在減小反饋開(kāi)銷的同時(shí)達(dá)到了與理想信道信息反饋近似的系統(tǒng)性能。

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