唐新玉，殷志祥

(安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

自文獻(xiàn)［1］利用DNA 計(jì)算方法解決了哈密爾頓路徑問題以后，越來越多的學(xué)者開始關(guān)注DNA計(jì)算并提出解決圖論問題的方法，如0－1 規(guī)劃問題，圖著色問題，最小生成樹問題等。

DNA 自組裝是依賴分子間非共價(jià)鍵作用力自發(fā)的完成由小分子形成較大且復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［2］、文獻(xiàn)［3］首次利用DNA 分子構(gòu)成了自組裝Tile 結(jié)構(gòu)，并利用其中一種瓦片結(jié)構(gòu)建立了多種復(fù)雜的算法模型。2000年，文獻(xiàn)［4］通過實(shí)驗(yàn)給出了自組裝DNA 計(jì)算模型求解累積異或運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)過程和方法。2002年，文獻(xiàn)［5］將自組裝DNA 計(jì)算的基本思想用于求解布爾邏輯表達(dá)式并將其實(shí)現(xiàn)邏輯電路。2004年，文獻(xiàn)［6］利用DX Tile 結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了一維元胞自動(dòng)機(jī)，在此基礎(chǔ)上分析證明了用DNA Tile 自組裝結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)任何元胞自動(dòng)機(jī)的可行性。Tile 自組裝還被用來解決組合優(yōu)化問題［7－8］，2008年，文獻(xiàn)［9］在前任的基礎(chǔ)上提出了求解可滿足性問題的非確定性自組裝模型。

全錯(cuò)位排列是組合數(shù)學(xué)中常見的一類問題，文獻(xiàn)［10－11］給出了基于表面、基于芯片以及基于三鏈的DNA 計(jì)算模型，與以往模型相比，本文給出的模型操作更為簡(jiǎn)單，更易得出可行解。

1 全錯(cuò)位排列問題

全錯(cuò)位排列問題即“裝錯(cuò)信封問題”，可用數(shù)學(xué)語言描述如下:

對(duì)于n元集合{1，2，…，n}，當(dāng)滿足條件ij≠j(1 ≤j≤n)時(shí)，得到的全排列i1，i2，…，in稱為全錯(cuò)位排列。

本文以3 元集合{1，2，3} 為例具體說明。即求數(shù)字1，2，3 都不在各自的自然位置上的全排列。經(jīng)分析知，存在3 個(gè)原子命題:①數(shù)字1 排在第二位，記為u;②數(shù)字2 排在第一位，記為v;③數(shù)字3排在第一位，記為w。它們的否命題分別為:u'表示數(shù)字1 在第三位;v'表示數(shù)字2 在第三位;w'表示數(shù)字3 在第二位。問題需滿足條件:①若數(shù)字1在第二位，則數(shù)字3 不在第二位;②若數(shù)字2 不在第一位，則數(shù)字3 不在第一位;③若數(shù)字1 在第三位，則數(shù)字2 不在第三位。上述問題可以轉(zhuǎn)化為

2 操作過程

步驟1

1)給出6 種短的寡聚核苷酸來代表u，v，w和u'，v'，w'(其中u，v，w對(duì)應(yīng)的寡聚核苷酸取值為1，u'，v'，w'對(duì)應(yīng)的寡聚核苷酸取值為0)，并把它們的補(bǔ)鏈記為和(其中第一段不參加反應(yīng)，第二段為u，v，w和u'，v'，w'的前四個(gè)堿基的補(bǔ)，第三段為u，v，w和u'，v'，w'的后四個(gè)堿基的補(bǔ))(見表1)。由此，和的完全補(bǔ)鏈和也可以確定。

表1 所有變量和其補(bǔ)鏈的編碼

2)合成所需的8 種DNA 鏈放入數(shù)據(jù)池中，然后進(jìn)行純化和PCR 擴(kuò)增(見圖1a)

步驟2

首先判斷子句(u'∨w)，往數(shù)據(jù)池中加入足量的u'，w的補(bǔ)鏈，數(shù)據(jù)池中含有u'，w的DNA序列將與補(bǔ)鏈發(fā)生雜交反應(yīng)形成發(fā)夾結(jié)構(gòu)(見圖1b)，與此同時(shí)，使式(1)中子句(u'∨w)為假的組合不形成發(fā)夾結(jié)構(gòu)，通過凝膠電泳，將不符合條件的DNA 鏈分離出去，剩余的DNA 鏈即為使(u'∨w)為真的鏈。

圖1 初始DNA 鏈與補(bǔ)鏈雜交圖

步驟3

步驟4

重復(fù)步驟2、步驟3，檢查式(1)中的剩余子句，提出F中所有不滿足條件的DNA 鏈后，最后剩余的DNA 鏈滿足F式的所有子句，也就得出了全錯(cuò)位排列的排列順序。通過測(cè)序知為101 和010，所以231 和312 即為所求的全錯(cuò)位排列。

圖2 發(fā)夾結(jié)構(gòu)打開過程

3 結(jié)論

通過把全錯(cuò)位排列問題轉(zhuǎn)化為可滿足問題，利用自組裝的方法最終得到三元全錯(cuò)位問題的具體排列順序。這種方法在實(shí)現(xiàn)過程中只用到凝膠電泳操作，在一定的程度上減少了因生物操作過多而引起的各種實(shí)驗(yàn)誤差，便于計(jì)算三元以上的全錯(cuò)位排列問題。

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