林松杰

摘要：如何提高學生對初中數(shù)學問題的認識，獲得良好的數(shù)學教育是每位初中教師都在思考的問題，尤其是在面對學生比較難接受、難消化的函數(shù)和幾何問題時，一種好的解題方法就顯得至關重要。本文針對這些問題，從直觀性角度出發(fā)，給學生提供一種別樣的解題思路。

關鍵詞：初中數(shù)學；直觀性；符號；圖像

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0102

符號、圖像、代數(shù)式、方程、解析式等都是數(shù)學語言的呈現(xiàn)形式，特別是圖像、符號都比較直觀地表現(xiàn)出數(shù)學中許多量之間的關系，在日常教學中，我們應該引導學生運用這些數(shù)學語言，直觀地去發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，并解決此類問題?！稊?shù)學課程標準》對于第三階段的教學目標特別提到了“初步建立幾何直觀”，當然直觀不是幾何所特有，在“數(shù)與代數(shù)”領域也同樣需要直觀，這是對于“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”的呈現(xiàn)形式之一。筆者根據(jù)教學素材有針對性的大膽嘗試，在此以浙教版初中數(shù)學為內(nèi)容，進行一些思考和嘗試。

一、符號的直觀性

學生對于數(shù)學中常用的符號要認識清楚，一些細小的變化就代表了不同的含義，特別是七年級新生對于絕對值、相反數(shù)、平方根、算術平方根的含義容易出現(xiàn)混淆，我們引入符號后就容易理解相互的區(qū)別和聯(lián)系。

例. 七年級上冊《3.1平方根》教學中，對于文字表述轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言表述強調(diào)就容易讓學生理解，如“9的平方根是多少？4的算術平方根是多少？”可以嘗試用再寫一遍“±■=（ ），■=（ ）”這樣就強調(diào)了平方根與算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系。

數(shù)學符號在“圖形與幾何”領域也存在很多，如垂直（⊥），平行（∥），直角（Rt∠），為了簡潔點我們自己也可以創(chuàng)造一些符號，如角平分線（ ），等腰三角形（ ），從而把題目中的文字大大省略了。八年級上冊等腰三角形復習時，常常對于“三線合一”的性質(zhì)進行拓展，把這個命題的條件、結論進行變動，出現(xiàn)多個命題的證明，但是對于命題的真正運用不會強調(diào)，如果我們對于有些命題進行直觀的符號表示，那對學生學習幾何的意義就不一樣了。如

+⊥ 表示“一個三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與對邊的高重合，那么三角形為等腰三角形”，這一符號表達式就讓學生對于兩線重合圖形一出現(xiàn)就能直觀地找到等腰三角形，大大提高了對于圖像的把握。

例. 在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點，求DE的長。

分析：AD是∠BAC的平分線，又是BD的高，如果延長BD交AC于F，則△ABF是等腰三角形，則D是BF的中點，DE是△CBF的中位線，即DE=1/2CF=1/2（AC-AB）。

我們可以在日常教學中嘗試著試用符號法，讓學生積累活動的經(jīng)驗。

1. 關系式的直觀性

在初中數(shù)學的“數(shù)與代數(shù)”領域，代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)占了很大的比重，學生往往在解決問題方面有一定的難度，特別是要找出兩個變量的變化規(guī)則，這時用圖解法就能比較直觀地分析出數(shù)量關系。因此對于數(shù)量關系的建立非常重要。

在初中數(shù)學一次函數(shù)應用中，學生經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的問題，那么該如何讓學生體會到解析式與自變量的取值關系，自覺嘗試用數(shù)軸來解決問題呢？特別是一些稅收、醫(yī)療費、電費、水費等令學生望而生畏的問題，請數(shù)軸來幫忙可能會降低不少難度。

例. 公司員工的收入按規(guī)定要交所得稅，標準如下：收入1000元以內(nèi)不交稅；收入超過1000元，而不超過1500元部分的稅率是5%；收入超過1500元，不超過3000元部分的稅率是10%。現(xiàn)在知道小李的月收入是1850元，小張的月收入是2750元，問小李和小張各應繳納多少所得稅。

分析：通過在數(shù)軸上展示工資與交納的稅率之間的關系，可以讓學生一目了然。

上交稅費 0元 0-25元 25-175元

解：小李：（1850-1500）×10%+25=60元

小張：（2750-1500）×10%+25=150元

答：小李上交60元，小張上交150元稅費。

在題解的過程中用25元去代替工資中的1500元，從中讓學生體會到分段函數(shù)的解析式與自變量范圍的關系，從而找出這類問題的實質(zhì)及解題方法。反之，已知某人上交稅費數(shù)量去計算此人的工資，我們也可以通過上交稅費的范圍得出工資的范圍。通過數(shù)軸的幫助形象直觀地展示了工資與稅費之間的關系。

例. 八年級下冊《2.3一元二次方程的應用》教學過程中，對于例1的分析筆者作了圖示法。

某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構成一定的關系。每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元。要使每盆的盈利達到10元，每盆應該植多少株？

分析： 每盆株數(shù) 單株利潤

基準 3 3

新的水平 （3+x）株/盆 y=（-0.5x+3）元/株

每盆盈利=（-0.5x+3）×（3+x）=10

圖示法比較直觀的分析出題意中所涉及的數(shù)量關系，同時也能直觀地看出變量之間的關系，這一種方法同樣在解決二次函數(shù)問題中非常有用，可以大大提高學生對于數(shù)學問題本質(zhì)的理解，同時也可以根據(jù)圖示中的信息對新的問題進行思考與拓展，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學問題。

2. 圖像的直觀性

函數(shù)圖像能比較直觀地反應兩個變量之間關系，我們在函數(shù)教學中應該強調(diào)圖像的作用，讓學生從圖像中去發(fā)現(xiàn)求二元一次方程組的解、一元一次不等式（組）的解、一元二次方程的解等問題與函數(shù)圖像交點坐標之間的關系。

例. 九年級上冊《1.3反比例函數(shù)的應用》教學中安排了用純圖像解決問題的例題。

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=■的圖像相交于A、B兩點，

（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式

（2）根據(jù)圖像寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的的取值范圍；

分析：函數(shù)圖像上的點坐標滿足函數(shù)解析式，因此容易得到m=-2，則n=-2，由此得到A（-2，1），B（1，-2），再得到一次函數(shù)解析式。問題（2）的解決用圖像就能直觀地寫出，-2

圖像的直觀性對于求比較復雜的方程解的個數(shù)或符號問題幫助更大，利用等式的性質(zhì)對一些方程進行變式，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)交點坐標問題。

例. 九年級上冊《2.4二次函數(shù)應用3》教學內(nèi)容

利用二次函數(shù)的圖象求方程x2+x-1=0的近似解。

分析：（方案一）設y=x2+x-1，則方程的解就是該函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標?？梢援嫵霾輬D，求出近似解。

我們還可以引導學生進行思考，轉(zhuǎn)化成更基本的函數(shù)模型，提出方案二，移項得x2=-x+1到設y1=x2，y2=-x+1，兩個基本函數(shù)在同一坐標系中交點的橫坐標的近似值就是原方程的近似解。自然還會產(chǎn)生方案三、方案四，我們可以讓學生比較方案的最優(yōu)化問題。

本題的講解過程中，我們可以用幾何畫板軟件進行輔助教學，直接在平面直角坐標系中進行操作，學生就可以直觀地看到交點及方程解。

初中數(shù)學的學習是一種對數(shù)學現(xiàn)象的理解，有許多問題都是從表象中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題及數(shù)學本質(zhì)。我們應該大膽嘗試，引導學生對數(shù)學問題進行直觀的猜測和嚴密地推理，提高學生對數(shù)學問題的認識，獲得良好的數(shù)學教育。

參考文獻：

[1] 姚愛斐.數(shù)軸讓解題更直觀[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2009（11）.

（作者單位：浙江省慈溪市勝山初級中學 315300）