程 黎，楊東升

(中國電波傳播研究所青島分所，山東青島 266071)

0 引言

粒子群優(yōu)化(PSO，particle swarm optimization)最初由美國學者 Kennedy 和 Eberhart［1，2］提出，是繼遺傳算法、蟻群算法之后的又一新的群體智能算法，它是以模擬鳥群群體智能為特征，以求解連續(xù)變量優(yōu)化問題為背景的優(yōu)化算法。通常單個自然生物并不是智能的，但整個生物群體卻表現(xiàn)出處理復雜問題的能力，群體智能就是這些團體行為在人工智能問題中的應用。PSO能夠克服線性算法易陷入局部極值的缺點，同時又較其它非線性算法原理簡單、易實現(xiàn)，在優(yōu)化領域受到廣泛關注，已應用于地球物理反演問題中。

在電離層探測技術中，迄今為止，斜向探測仍然具有重要意義。斜向探測能夠獲得描述收發(fā)兩站之間電波傳播群時延對頻率關系的斜測電離圖，其既包含了電離層垂直剖面信息又包含了收發(fā)兩站之間水平剖面信息。借助高速的計算機，許多學者提出了電離圖的反演算法［5，9］，但這些算法都是不穩(wěn)定的，即使電離圖數(shù)據(jù)讀數(shù)有微小的誤差，也會引起反演結(jié)果極大的變化。柳文［7］等人對斜測電離圖反演的不穩(wěn)定性進行了研究，提出了克服該問題的正則化方法，取得了一定的效果，但仍然面臨正則參數(shù)選取困難等問題。

在忽略地磁場效應和電子碰撞的簡單電離層模型下，基于粒子群優(yōu)化算法對斜測電離圖進行反演，獲得收發(fā)站中點處電離層垂直剖面信息。

1 準拋物模型

電離層準拋物模型(QP模型)最早是由Voogt提出的，其表示為等離子頻率分布，

式中，fp為等離子頻率;fc為臨界頻率;rm為最大電子濃度對應的高度;rb電離層底部高度;ym=rm－rb為電離層半厚;Ne為r處的電子濃度，滿足=80.6Ne;r表示相對地球球心的距離。

在QP模型下，電波傳播的群路徑P和電波落地點與發(fā)射點之間的地面距離D可以精確計算。Croft在文獻［8］中給出了其解析解，表達為

層底部的入射角;β0為射線的初始仰角。

在QP模型中，只要知道fc、rb和rm，就可以算出任一高度的電子濃度。由于r=r0+h，其中h為相對于地面的高度，r0為地球半徑，于是該問題可轉(zhuǎn)化為求解fc、hb和hm，利用斜測電離圖反演可得到這三個參數(shù)。

2 粒子群優(yōu)化反演

2.1 粒子群優(yōu)化算法原理

PSO算法是通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種基于群體智能的全局隨機搜索算法。其基本思想是通過群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解。

PSO算法將每個個體視為D維搜索空間中的一個粒子，其在進化過程中維護兩個向量，即速度和位置，其中i表示粒子編號，D是待求解問題的維數(shù)。粒子的速度決定了其運動的方向和速率，位置則體現(xiàn)了粒子所代表的解在解空間的位置，是評估解質(zhì)量的基礎。每個粒子維護自身的最優(yōu)位置向量(用pi表示)，整個群體維護全局最優(yōu)位置(用g表示)。通過對粒子設定評價函數(shù)，并根據(jù)每個粒子各自最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置不斷更新其飛行速度和所在位置，參見式(4)和式(5)，最終到達或逼近目標位置。

式中，w為慣性權重;c1和c2為加速常數(shù);r1和r2為兩個在［01］范圍內(nèi)的隨機數(shù)。式(4)和(5)中，i=1，2，…，M，M 為群體的粒子總數(shù);粒子的最大速度為Vmax，最大迭代次數(shù)為Gmax。

PSO算法流程如圖1所示。

圖1 粒子群優(yōu)化算法流程

2.2 基于粒子群優(yōu)化的反演算法

利用PSO算法解決電離層反演問題則必須確定粒子群優(yōu)化算法所關心的適應度函數(shù)、參數(shù)設置、搜索范圍等問題。

適應度函數(shù)。QP模型參數(shù)反演時，要求計算值與觀測值的均方誤差盡可能小，因此可直接以均方誤差作為粒子的適應度函數(shù)。

參數(shù)設置。QP模型參數(shù)反演最終確定三個參數(shù)fc、hb和hm。群體規(guī)模和加速因子采用文獻［11］推薦的經(jīng)驗值，慣性因子采用線性遞減權重策略。

搜索范圍。根據(jù)先驗知識確定每個參數(shù)的最大最小值，為了簡化處理，通過線性變化把搜索區(qū)間變換到［－1，1］上，這樣在算法實現(xiàn)時對各個參數(shù)可使用相同的搜索區(qū)間和相同的最大飛行速度。

終止原則。采用最大迭代停止和均方誤差下界停止相結(jié)合的原則。當最大代數(shù)或者均方誤差下界任一條件滿足時，則終止迭代。

基于粒子群優(yōu)化的電離層反演的流程，如圖2所示。

圖2 QP模型參數(shù)的粒子群優(yōu)化算法反演的流程圖

反演的方法為，在斜測電離圖上選取K個頻率點，對應的頻率分別為 f1，f2，…，fK，群路徑分別為P1，P2，…，PK。利用粒子群優(yōu)化算法反演得到電離層參數(shù) fc、rb和 ym，計算得到頻率 f1，f2，…，fK對應的群路徑為確定PSO算法適應度函數(shù)為計算值與觀測值的均方誤差，即式(6)，

反演過程如下。

(1)設定電離層參數(shù)fc、hb和hm初始范圍，初始化粒子的位置和速度;

(2)根據(jù)粒子的位置，即電離層參數(shù)，計算不同頻率對應的群路徑，然后利用式(6)計算各個粒子的適應值;

(3)對于每個粒子，將其適應值與其所經(jīng)過的最好位置的適應值進行比較，若較好，則將其作為當前粒子的最好位置pbest;

(4)對于每個粒子，將其適應值與全局所經(jīng)過的最好位置的適應值進行比較，若較好，則將其作為當前全局的最好位置gbest;

(5)由式(4)和(5)對當前粒子的速度和位置進行優(yōu)化;

(6)重復(2)～(5)，直到適應值滿足一定精度或者達到預設的最大迭代次數(shù)。

2.3 粒子群優(yōu)化反演與線性反演的比較

根據(jù)式(3)可知，頻率和仰角固定時群路徑可描述為P'=P'(fc，rb，rm)。通過 Taylor展開進行線性化處理，得到如下近似表達式。

這種線性或者擬線性反演，通過不斷迭代完成對預設初始參數(shù)的修正，直到群路徑誤差滿足一定條件時停止迭代。但是當矩陣A條件數(shù)很大時，很小的群路徑偏差就可能導致解的偏差比較大，當參數(shù)初值設置不合理時也可能導致解的不收斂。通常會引入正則化方法解決求解中的不穩(wěn)定形問題，其基本思路是通過構(gòu)造正則算子(連續(xù)算子)替換原來的算子，從而將不適定問題轉(zhuǎn)換為適定問題，得到一個原問題的近似解。正則化的過程關鍵在于選擇正則算子，如果算子不適當一方面可能再次導致解不穩(wěn)定，另一方面可能導致近似解精度下降。

粒子群算法相比線性反演，不需要對原問題進行離散近似，可以直接全局尋優(yōu)。對參數(shù)初值要求較低，只需指定參數(shù)范圍即可。另外選擇均方誤差作為適應度，以最大迭代停止和均方誤差下界停止為終止原則保證了解的收斂性。

3 反演實例

3.1 合成斜測電離圖

假設準拋物模型電離層參數(shù)為fc=6 MHz，hb=200 km和hm=300 km。斜向探測收發(fā)兩站的地面距離為1000 km。合成的斜測電離圖，如圖3所示。分別采用粒子群優(yōu)化和線性方法［7］進行反演。

圖3 合成斜測電離圖

3.2 觀測數(shù)據(jù)無誤差的情況

在合成的斜測電離圖上選取頻點數(shù)據(jù)f:4、8.5和9.5 MHz，利用僅包含舍入誤差的合成數(shù)據(jù)作為反演輸入數(shù)據(jù)。粒子群優(yōu)化算法反演的結(jié)果為fc=6.00 MHz，hb=199.97 km，hm=300.16 km，反演結(jié)果非常接近假定參數(shù)值。線性法反演結(jié)果為fc=6.00 MHz，hb=200.15 km，hm=300.06 km，也與假定值非常接近，但是臨界頻率初值偏差超過1 MHz或者底高初值偏差超過20 km時，反演則不收斂。

3.3 觀測數(shù)據(jù)有誤差的情況

進一步考慮探測數(shù)據(jù)存在誤差的情況，對合成的數(shù)據(jù)引入滿足均值0 km，方差5 km的隨機誤差來模擬“實測數(shù)據(jù)”(共計10次)，基于粒子群優(yōu)化算法反演的結(jié)果見表1。

表1 存在誤差的反演結(jié)果

線性方法進行反演時，采用不同的參數(shù)初值反演10 次，得到結(jié)果:fc均值6.17、標準差1.0353，hb均值202.79、標準差12.1364，hm均值310.02、標準差43.3272。

對比發(fā)現(xiàn)，線性反演的優(yōu)點是計算速度快，如果選取的初值比較理想其結(jié)果也比較好，但是缺點也很明顯，對參數(shù)初值要求苛刻，誤差增大時，反演極不穩(wěn)定，甚至無法迭代。而基于粒子群優(yōu)化的反演算法，表現(xiàn)出了較好的收斂性，即便存在一定誤差時，反演結(jié)果基本穩(wěn)定，結(jié)果也比較合理。此外，如果能夠充分利用先驗信息縮小搜索范圍，可以進一步提高反演的準確性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

在電離層QP模型下，忽略地磁場效應及電子碰撞，根據(jù)斜向探測獲得的電離圖數(shù)據(jù)，基于粒子群優(yōu)化算法反演獲得了電離層QP模型參數(shù)。結(jié)果證明，相對于線性方法求解，該方法有較好的精度和穩(wěn)定性，相對于正則化方法的參數(shù)選取的難度，該方法具有參數(shù)選取較為簡單的特點，具有良好的應用價值。

需要指出，由于信息的不充分和觀測數(shù)據(jù)中含有誤差，使多解性成了反演的固有問題，粒子群優(yōu)化算法不能解決該問題［11］。粒子群優(yōu)化算法中的粒子數(shù)目、搜索范圍、慣性權重、學習因子等參數(shù)的設置對反演效率和結(jié)果也有一定的影響，因此該算法中的參數(shù)設置應該建立在理論和經(jīng)驗結(jié)合的基礎上。

［1］ EBERHART R，KENNEDY J.A New Optimizer Using Particle Swarm Theory［C］//IEEE.Proceedings of the sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science.Piscataway:IEEE Service Center，1995，39-43.

［2］ KENNEDY J，EBERHART R.Perth Particle Swarm Optimization［C］//IEEE.Proceedings IEEE International Conference on Neural Network.Piscataway:IEEE Service Center，1995.1942-1948.

［3］ 楊東升，焦培南，程延鋒，等.基于返回散射和斜測電離圖聯(lián)合反演電離層參數(shù)［J］.中國電子科學研究院學報，2010，5(5):503-507.

［4］ 謝樹果.斜向返回散射探測電離層參數(shù)反演方法研究［D］.武漢:武漢大學，2001.

［5］ N NARAYANA RAO.Inversion of Sweep-Frequency Skywave Backscatter Leading Edge for Quasiparabolic Layer Parameters［J］.Radio Science，1974，9(10):845-847.

［6］ R E DUBRUFF，N RAO，K C YEH.Backscatter Inversion in Spherically Asymmetric Ionosphere［J］.Radio Science，1979，14(5):837-841.

［7］ 柳文，焦培南，王俊江.斜測電離圖反演及其不穩(wěn)定性研究［J］ .電波科學學報，2003，18(6):597-601.

［8］ THOMAS A CROFT.Exact Ray Calculations in a Quasi-Parabolic Ionosphere With No Magnetic Field［J］.Radio Science，1968，3(1):69-74.

［9］ CHUANG S L，YEH K C.A Method for inverting Oblique Sounding Data In The Ionosphere［J］.Radio Sci.，1977，12(1):135-140.

［10］ NORMAN R J.Backscatter Ionogram Inversion［C］//Proceedings of the international conference radar，2003，368-374.

［11］ 梁艷春，吳春國，等.群智能優(yōu)化算法理論與應用［M］.北京:科學出版社，2009.

［12］ 王彥飛.反演問題的計算方法及其應用［M］.北京:高等教育出版社，2007.