金曉孝，王萬成

(河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京 210098)

近30年來，微分幾何方法在非線性控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，形成了較完善的理論體系［1］。通過非線性坐標(biāo)變換和相應(yīng)的狀態(tài)反饋將一個(gè)非線性系統(tǒng)進(jìn)行輸入輸出線性化，再對(duì)線性子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器是一種有效的非線性系統(tǒng)控制方法，但是運(yùn)用此方法的前提是要求非線性系統(tǒng)必須是最小相位的［2］。然而，具有非最小相位特性的非線性系統(tǒng)在實(shí)際工程中卻廣泛存在，例如化工系統(tǒng)［3-4］、魚雷定深系統(tǒng)［5］、飛行器俯仰控制系統(tǒng)［2］、水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)［6］等，因此系統(tǒng)的非最小相位特性使得微分幾何反饋線性化方法在實(shí)際工程應(yīng)用中遇到了極大挑戰(zhàn)。為此，Kravaris等［7-8］通過輸出重定義的方法解決了在輸入輸出線性化過程中不能保證其內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定的問題，程代展等［9］利用中心流形定理對(duì)具有非最小相位特性的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了控制器，袁德成等［10］提出了非線性輔助控制系統(tǒng)以解決對(duì)非線性非最小相位系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，Okou等［11］基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論對(duì)零動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定的系統(tǒng)給出了控制器的設(shè)計(jì)方法。

本文在文獻(xiàn)［11］控制器設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上，給出了一種改進(jìn)的非最小相位系統(tǒng)的非線性控制器設(shè)計(jì)方法，該方法消除了原方法中可能因擾動(dòng)等因素使分母暫時(shí)為零而導(dǎo)致控制器失效的情況，同時(shí)該控制器在確保外部系統(tǒng)滿足性能要求的同時(shí)也能保證零動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定，數(shù)值算例仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 非線性系統(tǒng)的精確反饋線性化

以下對(duì)基于微分幾何的精確反饋線性化理論作一簡(jiǎn)要介紹［1，12］。給定如下的單輸入單輸出非線性控制系統(tǒng):

式中:x——n維狀態(tài)列向量;f(x)、g(x)——狀態(tài)空間中的n維光滑向量場(chǎng);u——控制輸入;y——被控輸出;h(x)——輸出函數(shù)。

如果非線性系統(tǒng)(1)的相對(duì)階為r［1］，則可以選擇微分同胚映射:

式中φi(x)滿足關(guān)系Lgφi(x)=0，同時(shí)要求Φ(x)在x=x0點(diǎn)處的Jacobian矩陣非奇異，可將非線性系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換為下列線性化標(biāo)準(zhǔn)型:

其中

線性化標(biāo)準(zhǔn)型(3)把系統(tǒng)分解為外部動(dòng)態(tài)z和內(nèi)部動(dòng)態(tài)η兩部分。定義˙η=q(0，η)為非線性系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)方程，如果零動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定則稱系統(tǒng)是非最小相位的。令a(z，η)+b(z，η)u=v，可見狀態(tài)反饋控制u=(v-a(z，η))/b(z，η)可使外部動(dòng)態(tài)z線性化，但該控制使得內(nèi)部狀態(tài)η變?yōu)椴豢捎^測(cè)的狀態(tài)。

傳統(tǒng)的控制方法是對(duì)線性化后的線性子系統(tǒng)按照線性系統(tǒng)理論來設(shè)計(jì)控制器，這樣設(shè)計(jì)的控制器對(duì)于線性部分的控制是有效的，但它并不能保證零動(dòng)態(tài)η穩(wěn)定，甚至是發(fā)散的。這將給系統(tǒng)安全運(yùn)行帶來嚴(yán)重影響，而且由于控制能量的限制使得設(shè)計(jì)的控制器在物理上難以實(shí)現(xiàn)，所以必須采用一定的控制方法來克服系統(tǒng)的非最小相位特性。

2 系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法

考慮非線性系統(tǒng)(1)，首先按微分幾何方法將其化為線性化標(biāo)準(zhǔn)型(3)，然后將其中的非線性子系統(tǒng)部分做下述處理:

其中

式中z0、η0是線性化標(biāo)準(zhǔn)型的平衡點(diǎn)。

結(jié)合式(4)，可將式(3)寫成下列等價(jià)形式:

其中

假定系統(tǒng)(5)的控制器為

其中

式中:K——行增益向量;vNL——為了使非線性子系統(tǒng)穩(wěn)定而引入的補(bǔ)償項(xiàng)。將式(6)所述的控制器代入被控系統(tǒng)(5)可得如下閉環(huán)系統(tǒng):

選擇K使得As=［A-BK］為Hurwitz矩陣，同時(shí)構(gòu)造以下李雅普諾夫函數(shù):

其中P是滿足如下李雅普諾夫方程的正定矩陣(一般可選Q為單位矩陣I):

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理［13］，要使控制作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(7)穩(wěn)定，只要L˙(z，η)＜0即可。由于Q是正定的，只需

令c=0，從式(10)可解出vNL，即有

式中 Pi是矩陣 P 中各行向量，wi(z，η)由 w(z，η)=(wr+1(z，η)，…，wn(z，η))T確定。

根據(jù)上述過程可以得到式(6)所述非最小相位系統(tǒng)的非線性控制器，最后利用v=a(z，η)+b(z，η)u反解出

式(12)就是原非最小相位系統(tǒng)(1)的最終控制器。該控制器設(shè)計(jì)方法主要做了以下幾點(diǎn)改進(jìn):

a.該方法適用的充分必要條件是式(5)中的矩陣對(duì)(A，B)是完全能控的，即能控性矩陣 Qc=[B AB…An-1]滿足 rank(Qc)=n。

b.顯然，式(4)的分解是該控制器設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵。對(duì)于式(4)的分解作以下改進(jìn):(a)如果非線性函數(shù)q(z，η)不滿足式(4)所給定的形式，就要將其化為式(4)的形式，式中的w(z，η)可由下式確定:

在復(fù)雜的實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)按此方法分解所設(shè)計(jì)的控制器將十分復(fù)雜，尤其是在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，由于被控系統(tǒng)具有復(fù)雜非線性特征，這樣非線性函數(shù)q(z，η)中通常會(huì)含有分母項(xiàng)，按此方法分解可能會(huì)出現(xiàn)分母暫時(shí)為零的情況而導(dǎo)致控制器失效。(b)針對(duì)上面這種情況，可作如下改進(jìn):在式(4)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將非線性函數(shù)w(z，η)進(jìn)行泰勒展開，只保留至二階或三階項(xiàng)(甚至可以保留至更高階項(xiàng)，這可根據(jù)工程實(shí)際來確定)。由于舍去的高階小項(xiàng)所引起的誤差與建?；蛲饨绮淮_定因素所引入的誤差相比是非常微小的，所以這種改進(jìn)是合理的，而且更適合工程應(yīng)用，拓展了該方法的適用范圍。

c.式(10)中，常數(shù)c理論上盡管可以選為小于零的負(fù)數(shù)來求解vNL，但仿真實(shí)驗(yàn)表明這樣做對(duì)控制性能影響不是很大，因此一般選擇c=0即可。

上述控制器設(shè)計(jì)方法是在微分幾何精確反饋線性化方法基礎(chǔ)上給出的，與一階近似線性化方法相比，其系統(tǒng)信息丟失也較少，這主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:首先，該方法是在對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行精確反饋線性化后，只對(duì)系統(tǒng)的一部分狀態(tài)方程˙η=q(z，η)進(jìn)行泰勒展開，而非對(duì)整個(gè)非線性系統(tǒng)進(jìn)行展開;其次，對(duì)非線性函數(shù)w(z，η)的泰勒展開，可以進(jìn)一步通過提高其展開的階次(比如可保留至三階或四階)來盡可能地減少系統(tǒng)信息的丟失。

3 數(shù)值算例

下面以兩個(gè)數(shù)值算例來說明上面給出的控制器設(shè)計(jì)方法(以下簡(jiǎn)稱本文方法)及其仿真效果，其中例1主要是說明控制器的設(shè)計(jì)步驟以及與傳統(tǒng)非線性控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比，例2主要是說明本文方法的改進(jìn)之處。

例1 考慮下列非線性非最小相位系統(tǒng):

該系統(tǒng)具有式(3)所述的線性化標(biāo)準(zhǔn)型形式，顯然是非最小相位系統(tǒng)?？刂颇繕?biāo):設(shè)計(jì)控制器使輸出y=x1能夠穩(wěn)定在設(shè)定點(diǎn)0上，且在該控制器作用下系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)能夠穩(wěn)定。

a.按照傳統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)控制器。為敘述方便，線性子系統(tǒng)單獨(dú)列出如下:

其中

將上述線性子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到-3±i，可以得到狀態(tài)反饋控制律v=-10x1-6x2，再結(jié)合-4x2-9x3-x4+u=v可以得到控制器u，在此控制器下仿真效果如圖1和圖2所示。從圖1和圖2中可以看出，盡管傳統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法可以很好地使輸出y=x1滿足設(shè)計(jì)的要求，但卻不能保證零動(dòng)態(tài)x3和x4穩(wěn)定。

圖1 狀態(tài)x1和x2(傳統(tǒng)方法)Fig.1 State of x1 and x2(traditional method)

圖2 狀態(tài)x3和x4(傳統(tǒng)方法)Fig.2 State of x3 and x4(traditional method)

b.按本文方法設(shè)計(jì)控制器。首先將原非線性系統(tǒng)改寫為式(5)的形式，設(shè)控制器為v=-Kx+vNL，將As=［A-BK］的4個(gè)極點(diǎn)配置到 -1±i、-3、-5上，則滿足條件的 K為 K=(30，12，13，47)。取 Q=I，由可以計(jì)算出正定矩陣P，再由(0，v，

NL0，0.3x1x3)Px=0可以解得vNL，從而得到v=-K，再從中反解出u，這樣便得到了非線性非最小相位系統(tǒng)(14)的控制器。在該控制器的控制作用下，系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)變量的控制效果如圖3所示。

圖3 狀態(tài)x的控制效果Fig.3 Control effect of state x

從圖3可以看出，本文方法不僅保證了外部動(dòng)態(tài)y=x1的性能要求，還保證了零動(dòng)態(tài)x3和x4的穩(wěn)定。

例2 給定非線性非最小相位系統(tǒng)如下:

控制目標(biāo)是將y=z調(diào)節(jié)到給定點(diǎn)1.05上。類似于例1，容易驗(yàn)證:傳統(tǒng)的非線性控制器設(shè)計(jì)方法盡管可以保證y=z滿足性能要求卻并不能保證零動(dòng)態(tài)η穩(wěn)定。

根據(jù)本文方法，將式(16)中的第2個(gè)狀態(tài)方程記為

如果按照文獻(xiàn)［11］中的分解方法，將式(17)按照式(13)來進(jìn)行分解，盡管經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)也可以得到控制器，但得到的控制器在形式上非常復(fù)雜，而且該控制器會(huì)出現(xiàn)分母為零的情況，導(dǎo)致仿真難以進(jìn)行而使得控制器失效。為此，依據(jù)本文方法來對(duì)式(17)進(jìn)行分解。

在狀態(tài)(z，η)=(1.05，6.9552)處，通過二階泰勒展開，式(17)可分解為

其中g(shù)(z，η)=-1708.3(z-1.05)2+60.5(η-6.9552)2+296.3093(z-1.05)(η-6.9552)

令50(10-zη)-100z-zu=v，根據(jù)式(6)，系統(tǒng)的控制器可設(shè)為v=-k1(z-1.05)-k2(η-6.9552)+vNL。根據(jù)前面的設(shè)計(jì)步驟，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到-15±9i，可以得到k1=245.388 7，k2=24.059 7，再利用式(9)及式(10)便可確定最終的控制器。在此控制器的作用下，控制效果如圖4和圖5所示，可見此控制器既可以保證y=z滿足性能要求同時(shí)也能保證零動(dòng)態(tài)η穩(wěn)定。

圖4 狀態(tài)z的控制效果Fig.4 Control effect of state z

圖5 零動(dòng)態(tài)η的控制效果Fig.5 Control effect of zero dynamicη

由例2可以看出:(a)與文獻(xiàn)［11］中的方法相比，本文方法適用范圍更廣、更加實(shí)用;(b)由式(18)可以看出，與傳統(tǒng)的一階近似線性化方法相比，本例只對(duì)零動(dòng)態(tài)部分進(jìn)行了泰勒展開，而且泰勒展開過程中保留了二階項(xiàng)，這樣便保留了非線性系統(tǒng)的更多信息，從而使得控制器保持了良好的控制性能。

4 結(jié) 語

本文借鑒文獻(xiàn)［11］的控制器設(shè)計(jì)思想，在微分幾何精確反饋線性化理論的基礎(chǔ)上，基于極點(diǎn)配置和李雅普諾夫穩(wěn)定理論，以單輸入單輸出非線性系統(tǒng)為被控對(duì)象，給出了一種改進(jìn)的非最小相位系統(tǒng)的非線性控制器設(shè)計(jì)方法。該方法在確保系統(tǒng)外部動(dòng)態(tài)滿足性能要求的同時(shí)也能保證零動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定。本文所給出的控制器設(shè)計(jì)方法是建立在微分幾何精確反饋線性化基礎(chǔ)上的，與近似線性化方法相比，能夠保留更多的非線性系統(tǒng)信息，從而使得所設(shè)計(jì)的控制器具有較好的控制性能。該方法易于實(shí)現(xiàn)，便于工程應(yīng)用。將該方法進(jìn)一步推廣到多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，是我們后續(xù)的研究工作之一。

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