李群，李鑫武，張賢

(中航工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京100095)

0 引言

壓力傳感器作為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)較為常用的壓力測量儀器，大量應(yīng)用于國防軍工及各種工業(yè)自控環(huán)境。在壓力傳感器的使用過程中，主要參考工作直線方程來進行壓力測量，該直線最接近傳感器的實際工作曲線。能否通過工作直線及當前壓力值準確地估算壓力傳感器的輸出值(即工作直線的預(yù)測是否準確)，直接關(guān)系到測量結(jié)果的準確度，因此需要評定工作直線的不確定度。本文結(jié)合試驗數(shù)據(jù)，對壓力傳感器最小二乘直線不確定度進行分析。

1 不確定度分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

最小二乘直線是利用最小二乘法、以殘差平方和最小(即傳感器特性曲線與擬合直線相應(yīng)點之差的平方和最小)為原則來確定的。對被測傳感器取m 個測量點，進行n 個循環(huán)測量，則每個測量點有2n 個數(shù)據(jù)，設(shè)定2n 個數(shù)據(jù)的平均值為y，根據(jù)m 組數(shù)據(jù)(pi，yi)可擬合出壓力傳感器的最小二乘直線方程:y=a +bp。根據(jù)殘差平方和∑(yi-(a + bpi))2最小原則，得出截距a 和斜率b 的計算公式如下［1］。

式中:m 為測量點的個數(shù);n 為循環(huán)次數(shù);pi為標準壓力值;yi為壓力傳感器在某一測量點2n 個輸出值的平均值;為m 個壓力點的平均值;為m 個測量點輸出值的平均值。

1.2 不確定度分量評定

當壓力傳感器對測試系統(tǒng)內(nèi)壓力進行測量時，假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)壓力在該測量點保持固定值p，由p 引入的不確定度可忽略不計，因此可認為:采用最小二乘直線預(yù)測壓力傳感器輸出信號值的不確定度由截距a 和斜率b 引入的兩不確定度分量合成。

截距a 引入的不確定度分量為

斜率b 引入的不確定度分量為

公式(3)，(4)中的s 為殘余標準差，計算方法為

式中:ypi為在壓力點pi處，利用最小二乘直線計算出的傳感器的輸出值。

殘余標準差s 可用于評價測量過程中所有隨機因素對被測輸出值y 的單次觀測的平均差的大小，殘余標準差越小，回歸效果越好，最小二乘直線的準確度越好。［2］因此，u(a)，u(b)的計算與殘余標準差有關(guān)。

另外u(a)，u(b)兩個分量的相關(guān)系數(shù)ρab計算公式為

1.3 合成標準不確定度評定

根據(jù)不確定度傳播定律，合成標準不確定度可表示為

式中:p 為具體的壓力測量值，由于公式中其他參數(shù)的值在確定最小二乘直線后便可求出，因此，在后續(xù)使用中，最小二乘直線預(yù)測傳感器輸出值的合成標準不確定度只與p 值有關(guān)。所以在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時，建議同時給出u(a)，u(b)，ρab的值，以方便用戶在后續(xù)使用過程中，對具體壓力點進行不確定度計算。

最后，取k=2，擴展不確定度為U=2uc(y)。

2 實例應(yīng)用與分析

選定一支測量范圍為0 ～2 psi(1 psi=6.8948 kPa)，信號輸出范圍為2.5 ～5 V，允許基本誤差為±0.1%FS 的壓力傳感器作為被測對象，用一臺測量范圍為0 ～14 kPa，準確度等級0.01 級的自動標準壓力發(fā)生器對壓力傳感器進行校準，供電電源和數(shù)字多用表等配套設(shè)備的技術(shù)指標均滿足壓力傳感器檢定規(guī)程的要求。測量結(jié)果及本次測量結(jié)果平均值的不確定度如表1所示。

表1 壓力傳感器測量數(shù)據(jù)

根據(jù)公式(1)，(2)得出a=2.486373 V，b=1.248238 V/psi，因此，壓力傳感器工作直線方程可表示為y=2.486373 +1.248238p。

通過公式(5)得出殘余標準差s=0.00044 V;由公式(3)，(4)，(6)得出截距a 引入的不確定度分量u(a)=0.00032 V;斜率b 引入的不確定度分量u(b)=0.00027 V/psi;相關(guān)系數(shù)ρab=1.0000。

通過這些參數(shù)即可求出壓力傳感器在某一壓力點的輸出值及其不確定度。以壓力測量值1.6 psi 為例，采用最小二乘直線計算該點輸出值為

y1.6=2.486373 +1.248238×1.6=4.4836(V)

由公式(7)可得出該值的合成標準不確定度為

擴展不確定度U=2uc(y)=0.0015 V(k=2)

壓力傳感器在1.6 psi 壓力點的測量結(jié)果可表示為(4.4836±0.0015)V(k=2)。各測量點預(yù)測值不確定度如表2所示。

表2 各壓力點預(yù)測值及其不確定度

表1 所列出的本次測量結(jié)果平均值的擴展不確定度是上級計量機構(gòu)在對壓力傳感器進行計量后，綜合考慮重復(fù)性、分辨力、顯示儀表、標準器、高度差等引入的不確定度分量求出的［3］，此不確定度只包含了本次測量過程中的各個不確定度分量，只針對本次測量結(jié)果或測量結(jié)果平均值有效，沒有考慮后續(xù)使用時各不確定度因素。表2 給出的預(yù)測值的擴展不確定度是以最小二乘直線為基礎(chǔ)求出的，最小二乘直線是根據(jù)殘差平方和最小原則求得的，最接近于壓力傳感器實際工作曲線，求其預(yù)測值的不確定度對于壓力傳感器的后續(xù)使用更有參考意義。

3 結(jié)束語

本文通過壓力傳感器最小二乘直線方程，對其預(yù)測值的不確定度進行了評定，并通過具體實例進行說明。建議相關(guān)實驗室在用最小二乘直線表示壓力傳感器工作直線方程時，同時給出u(a)，u(b)，ρ(a，b)的值，以方便用戶在后續(xù)使用時，對具體壓力點進行預(yù)測值的不確定度計算。

［1］國家技術(shù)監(jiān)督局.JJG 860-1994 壓力傳感器(靜態(tài))檢定規(guī)程［S］.北京:中國計量出版社，1994.

［2］國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJF 1059.1-2012 測量不確定度評定與表示［S］.北京:中國質(zhì)檢出版社，2013.

［3］中國計量測試學(xué)會壓力計量專業(yè)委員會.壓力測量不確定度評定實例［M］.北京:中國質(zhì)檢出版社，2012.