劉傳輝

（綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川綿陽621000）

基于光學(xué)多尺度幾何分析的圖像壓縮去噪

劉傳輝

（綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川綿陽621000）

基于變換的圖像壓縮方法應(yīng)用較為廣泛，小波在表示圖像的邊緣或紋理時，會產(chǎn)生大量的能量較大的系數(shù)。采用多尺度幾何分析對圖像進行稀疏展開，使變換具有強的非線性逼近能力。圖像經(jīng)過非下采樣Contourlet變換轉(zhuǎn)換成一種多尺度的、多方向和多分辨的表示形式再進行統(tǒng)計分析。利用圖像系數(shù)相關(guān)性，不僅降低圖像的維數(shù)，使弱的邊緣細節(jié)能從噪聲中被篩選出來，而且達到壓縮去噪的目的。實驗結(jié)果表明，采用該方法去噪后的圖像處理效果很好，適用于高分辨率圖像去噪。

多尺度幾何分析；Contourlet變換；圖像去噪；相關(guān)性

引言

在圖像壓縮處理過程中，小波分析雖然能夠處理含“點奇異”的函數(shù)類型，但是對含“線奇異”或者“面奇異”的高維函數(shù)則不能達到最優(yōu)的非線性逼近階。然而事實上包含線或者面奇異的函數(shù)在高維空間非常普遍，自然圖像的不連續(xù)性往往體現(xiàn)為光滑曲線上的奇異性。所以在高分辨率圖像壓縮處理中通過構(gòu)造新的多尺度幾何分析方法以改善“方向性”和“各向異性”方面的問題［1］。

為實現(xiàn)對高速高分辨率的數(shù)據(jù)進行處理，并在壓縮圖像的數(shù)據(jù)量的同時保留數(shù)據(jù)的重要特征，就必須尋找一種新的高維函數(shù)的最優(yōu)表示方法，它在高維情況下能充分利用函數(shù)本身的信息，對特定函數(shù)類達到最優(yōu)逼近［2］。

1 Contourlet變換

Contourlet的支撐區(qū)間具有長寬比隨尺度變化而變化的“長條形”結(jié)構(gòu)，其將多尺度分析和方向分析分開進行，首先由LP（Lap lacian pyramid）變換對圖像進行多尺度分解以“捕獲”點奇異，接著由方向濾波器組（DFB，directional filter bank）將分布在同方向上的奇異點合成為一個系數(shù)。而且Contourlet變換每一尺度上的方向數(shù)目是前一尺度的兩倍，并且?guī)缀跏桥R界采樣。

Contourlet變換首先由拉普拉斯金字塔變換將圖像分解為低頻子帶和高頻子帶。低頻子帶由原始圖像經(jīng)過二維低通濾波和隔行隔列下采樣產(chǎn)生；高頻子帶由原始圖像減去低頻子帶經(jīng)上采樣和低通濾波后的低頻分量產(chǎn)生，對低頻子帶重復(fù)上述過程即可實現(xiàn)圖像的多尺度多方向分解（圖1）［3］。

2 Contourlet變換的圖像去噪建模

在圖像的壓縮去噪方面，子塊間的相關(guān)性表明圖像信息有很大的冗余。如果利用其相關(guān)性，能更好地識別子塊中的有效結(jié)構(gòu)，避免對噪聲信息的誤判和對細節(jié)信息的漏判。在圖像壓縮方面，如果僅對各子塊進行壓縮，必然無法達到最大的壓縮比，而利用子塊間的相關(guān)性，就能實現(xiàn)更大程度的壓縮。從而把相關(guān)性進行充分消除，壓縮的結(jié)果就會更接近信息的熵。

2.1 Contourlet域高斯混合尺度模型

高斯混合尺度模型（Gaussian Scale mixture，GSM）能最大逼近非高斯邊緣響應(yīng)，且具有較完備的數(shù)學(xué)框架，在圖像壓縮處理方面也得到了廣泛的應(yīng)用。對于一個隨機向量x，當(dāng)且僅當(dāng)它可以表示成零均值高斯向量u和一個獨立正尺度隨機因子z的乘積時，則隨機向量x可以表示為：

其中，N為x和u的維數(shù)，在這里可視為局部鄰域的大小。GSM密度函數(shù)具有對稱的零均值分布，其主要特點是在條件z下x的密度函數(shù)是高斯的，因而歸一化的向量也是高斯的［4］。

對于大多數(shù)高分辨率的圖像，平滑區(qū)域中的方向性紋理信息和曲線在變換域的系數(shù)分布表現(xiàn)為零值附近的高尖峰長拖尾，含噪圖像的Contourlet變換的子帶系數(shù)是一種典型的非高斯分布［5］。

廣義高斯分布（generalized Gaussian）也稱作擴展的指數(shù)分布，密度函數(shù)表示為：其中尺度變量s用來控制分布的寬度，指數(shù)變量p用來控制函數(shù)的形狀分布。

2.2 CT－GSM模型的參數(shù)估計

假設(shè)圖像被已知方差的獨立加性高斯白噪聲（或已知協(xié)方差的非高斯白噪聲）所侵蝕，那么含噪系數(shù)向量：

在系數(shù)滿足GSM模型特征和加性噪聲的假設(shè)條件下，式（3）右邊三個隨機變量實相符獨立的，u和w均為零均值的高斯向量，其協(xié)方差分別記為Cu和Cw，在條件z下觀測到的領(lǐng)域向量密度是零均值的高斯分布，其協(xié)方差為Cy／z＝zCu＋Cw，所以其條件概率密度：

領(lǐng)域噪聲協(xié)方差函數(shù)通過delta函數(shù)分解到Contourlet域各方向子帶獲得。

2.3 基于Contourlet域GSM模型去噪算法的設(shè)計與實現(xiàn)

通過對Contourlet分解的子帶系數(shù)構(gòu)建高斯混合尺度模型來實現(xiàn)圖像去噪的具體算法步驟如下：

Step1：將圖像進行Contourlet分解，得到各方向和各尺度上的子帶系數(shù)；

Step2：利用已知的高斯加性白噪聲的方差和各高頻子帶系數(shù)估計CT－GSM模型的參數(shù)；

Step3：對低頻子帶和經(jīng)過濾波處理的高頻子帶進行Contourlet逆變換，得到去噪以后的重構(gòu)圖像。

2.4 基于NSCT系數(shù)相關(guān)性的圖像壓縮研究

在基于多尺度模型的圖形壓縮中一般采用閾值法進行全局處理，利用在多尺度變換后噪聲信息擁有較小的系數(shù)絕對值的性質(zhì)進行對噪聲信息的削弱，但閾值法所達到的去噪效果是相對有限的［7］。

NSCT是基于濾波器組的多尺度模型，具有平移不變性。利用這個性質(zhì)有利于進行系數(shù)間相關(guān)性的處理，NSCT具有很高的邊緣描述性和逼近性，適合進行高分辨率的圖像壓縮去噪。

設(shè)二維含噪圖像為y＝x＋n，其中，x是期望圖像，n是方差為σ2n的高斯白噪聲。非下采樣Contourlet變換系數(shù)的廣義高斯分布描述為：

式（5）中，β是形狀參數(shù)，α是尺度參數(shù)，Γ（x）是Gamma函數(shù)，且

非下采樣Contourlet變換的非正交性使得變換域內(nèi)不同尺度、不同方向子帶的噪聲方差不相等，因此，可采用Monte－Carlo估計方法獲得子帶系數(shù)的噪聲方差。

其中，M和N是子帶圖像長度和寬度，cm，n（j，k）是對高斯白噪聲圖像進行非下采樣Contourlet變換后的系數(shù)，它只含有噪聲信息，沒有有用的圖像信息［6］。

圖像經(jīng)變換后不同尺度、不同方向子帶系數(shù)信號的標(biāo)準(zhǔn)差σx各不相同，對標(biāo)準(zhǔn)差進行估計：

2.5 實驗結(jié)果及分析

為了驗證算法的有效性，在實驗中采用標(biāo)準(zhǔn)圖像進行測試。分別對各個測試圖像加入不同方差的高斯加性白噪聲，小變換波采用的是db4小波，圖像進行4層小波分解，Contourlet變換中參數(shù)選擇9－7塔形分解和方向濾波器組。圖2為不同壓縮比下對應(yīng)峰值信噪比曲線。從圖2可以看出Contourlet變換相對于小波變換峰值信噪比平均可以高出0.6 dB。圖3所示為barbara圖像采用Contourlet變換和小波變換壓縮后，經(jīng)過解壓縮后得到的圖像。Contourlet變換可以較好地保留圖像中的紋理，質(zhì)量稍好。表1分析了不同噪聲等級下算法的PSNR，Contourlet變換表現(xiàn)出了超越小波的性能。

由實驗結(jié)果表明：（1）非下采樣Contourlet變換實現(xiàn)了對圖像的多尺度、多方向最優(yōu)稀疏逼近，利用變換域內(nèi)相鄰尺度間的相關(guān)性和同一尺度、不同方向系數(shù)能量分布的差異，可以從整體上得到信噪比更高的恢復(fù)圖像。（2）對含有豐富直線性特征細節(jié)的圖像，本算法的去噪效果更顯優(yōu)勢，得到的恢復(fù)圖像的細節(jié)最清晰，視覺效果。

3 結(jié)束語

以上研究工作表明，多尺度幾何分析方法Contourlet變換是高效的圖像表示工具，具有傳統(tǒng)小波變換所不具備的優(yōu)良特性，在圖像壓縮去噪處理領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用潛力。同時，多尺度幾何分析方法的圖像壓縮去噪應(yīng)用領(lǐng)域是非常有前景的研究方向。

［1］焦李成,譚山.圖像的多尺度幾何分析：回顧和展望［J］.電子學(xué)報,2003,31（12）：43-50.

［2］馬文波,趙保軍,毛二可.高速實時圖像壓縮系統(tǒng)去條帶效應(yīng)的方法研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2006,28（12）：1783-1785.

［3］郝紅俠,劉芳,焦李成.基于Curvelet多方向差和多尺度積的圖像去噪［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2013,41（12）：39-43.

［4］白璘,劉盼芝,李光.一種基于Contourlet變換的高光譜圖像壓縮算法［J］.計算機科學(xué),2012,39（11A）：395-397.

［5］董超,王志明.結(jié)合非下采樣輪廓波變換和混合階次圖像擴散的圖像去噪［J］.小型微型計算機系統(tǒng), 2013,34（2）：409-412.

［6］金彩虹.基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應(yīng)閾值去噪算法［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2011,45（1）：37-42.

［7］戴維,于盛林,孫栓.基于Contourlet變換自適應(yīng)閾值的圖像去噪算法［J］.電子學(xué)報,2007,35（10）：1939-1943.

［8］Wainw right M J,Simoncelli E P,W illsky A S.Random cascades on wavelet trees and their use inmodeling and analyzing natural imagery［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis,2001,11（1）：89-123.

［9］Donoho D L.Orthonormal ridgelets and linear singularities［R］.California：Department of Statistics,Stanford University,1998.

［10］Chang SG,Yu B,VetterliM.Adaptive wavelets thresholding for image denoising and compression［J］.IEEE Trans.on Image Processing,2000,9（9）：1532-1546.

［11］Cunha A L,Zhou J,Do M N.The nonsubsampled Contourlet transform：theory,design,and applications［J］.IEEE Trans.on Image Processing,2006,15（6）：1610-1620.

［12］Shensa M J.The discrete wavelet transform：wedding the A'Trous and Mallat algorithms［J］.IEEE Trans.on Signal Processing,1992,40（10）：2464-2482.

［13］Starck J L,Candes E J,Donoho D L.The curvelet transform for image denoising［J］.IEEE Trans.on Image Processing,2002,11（6）：670-684.

Image Com pression and De-noising Based on OpticalMulti-scale Geometric Analysis

LIU Chuanhui
（Department of Information Engineering，Mianyang Vocational and Technical College，Mianyang 621000，China）

The image compressionmethod based on transform iswidely applied，and when thewavelet is used to indicate the edge or texture of the image，itwill produce a large number of coefficientswith large energy.The image can be stretched sparsely bymeans of Multi-scale Geometric Analysis，so that the transform can have stronger nonlinear approximation ability. With undecimated Contourlet transform，images can be transformed into themultidirectional，polydirectional and multiresolution representation and then be statistically analyzed.With the aid of the correlation of image coefficients，not only the dimension of the image can be reduced so that theweak edge details can be screened out from the noise，but also the purpose of de-noising through compression can be achieved.The Experimental results show that the processing effect of image de-nosing by thismethod is very good and it is applicable to the de-nosing of high resolution images.

multi-scale geometric analysis；Contourlet transform；image de-noising；correlation

TP751.2

A

1673-1549（2014）04-0052-04

10.11863／j.suse.2014.04.13

2014-01-08

國家自然科學(xué)基金項目（61171158）；綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團隊資金資助項目（81382013002）

劉傳輝（1981-），男，重慶奉節(jié)人，講師，碩士，主要從事信號與信息處理方向的研究，（E-mail）myliuch＠163.com