邢家省，高建全，羅秀華

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；3.平頂山教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南平頂山467000）

高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)公式的幾種形式的推導(dǎo)方法

邢家省1，2，高建全3，羅秀華3

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；3.平頂山教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南平頂山467000）

考慮曲面上高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)公式的表示問題，運(yùn)用曲面基本方程的矩陣表示法，給出了高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的直接的顯式公式，并指出這種內(nèi)蘊(yùn)公式與Brioschi的表示公式是明顯一致的；給出了高斯曲率簡(jiǎn)化公式的推導(dǎo)來源，揭示出了高斯曲率隱式公式的發(fā)現(xiàn)過程。

曲面的基本方程；曲面結(jié)構(gòu)方程；高斯曲率；內(nèi)蘊(yùn)公式；Brioschi公式

曲面上的高斯曲率的定義和計(jì)算公式是經(jīng)典曲面論的重要內(nèi)容［1-9］。曲面上的高斯曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量［1-6］，這個(gè)重要結(jié)果是高斯于1827年發(fā)現(xiàn)的著名定理，稱為高斯絕妙定理［2-6］，該定理的原始表述形式是用曲面上的第一類基本量的隱式表達(dá)。曲面論基本方程的理論到Riemann和Liouville時(shí)代，才被建立了完善體系。意大利數(shù)學(xué)家Brioschi給出了高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的顯式表達(dá)公式［1-2，4，6］，并給出了正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下高斯曲率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式［1］，導(dǎo)致了新型曲面的發(fā)現(xiàn)。Brioschi公式的發(fā)現(xiàn)與高斯導(dǎo)出的發(fā)現(xiàn)方法完全不同，兩者的一致性似乎不能明顯的看出來，在曲面論的結(jié)構(gòu)方程的推導(dǎo)過程中還能給出高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的顯式表達(dá)公式，這個(gè)公式和Brioschi公式是明顯一致的。高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的隱式公式［1-7，9］，人們通常都是采用驗(yàn)證的方式［7，9］，沒有指出這種公式是如何合理發(fā)現(xiàn)的，本文給出了導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的推導(dǎo)過程。對(duì)曲面論的基本方程性質(zhì)的推導(dǎo)，在前人成果的基礎(chǔ)上，本文運(yùn)用矩陣運(yùn)算的推導(dǎo)方法，給出了簡(jiǎn)便的推導(dǎo)過程，有利于人們理解掌握，溝通了各部分的聯(lián)系，構(gòu)成了一套新的處理體系。

1 曲面論的基本方程的矩陣方程表示形式

曲面論的基本問題是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何確定曲面存在的問題，解決的方法是從曲面的基本方程出發(fā)，尋找到了存在可解曲面的充要條件［1-6］。給出C3類的正則曲面

按照文獻(xiàn)［1－6，9－10］中的符號(hào)體系，給出記號(hào)，

命

是A＝（gij）的逆矩陣，

將曲面的基本方程改寫成矩陣方程的形式為［1-6，9］：

其中，

2 曲面上第一基本形式矩陣的性質(zhì)

定理1［2，6，9］對(duì)曲面→r＝→r（u1，u2）上的第一基本形式矩陣，有如下的性質(zhì)：

3 曲面基本方程中系數(shù)矩陣之間關(guān)系的矩陣推導(dǎo)方法

利用曲面的基本方程的矩陣方程表示來研究系數(shù)矩陣之間的關(guān)系。對(duì)向量→ri，→n運(yùn)用二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)可交換次序的法則，方程組（1）、（2）可解的充要條件是

由此，須有

利用（1）式，存在可解曲面的充要條件是

（3）式的左端

（3）式的右端

比較（3）式左右兩端的系數(shù)，可得

4 高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的隱式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

考察（4）式成立的充要條件。（4）式的右端為

將（6）式代入（4）式，得

由（7）式兩邊矩陣中右上角的元素對(duì)應(yīng)元素相等，可得［1-6，9］

于是高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式［1-6，9］

由（7）式兩邊矩陣中左下角的元素對(duì)應(yīng)元素相等，可得

于是高斯曲率有內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式［1-6，9］

在正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，可以求出系數(shù)矩陣，然后代入（8）式或（9）式，就可得出高斯曲率的計(jì)算公式［2-6］。

比較（7）式中兩邊矩陣中的對(duì)應(yīng)元素相等，還可得到另外兩個(gè)形式的等式［1-4］。

5 高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的顯式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

利用曲面基本方程中系數(shù)矩陣的關(guān)系，（7）式的左端為：

利用

于是

由（7）式、（10）式和（11）式，得

由（12）式兩邊矩陣的右上角對(duì)應(yīng)元素相等，可得

再由

可得

利用→r1·→r1＝g11，→r1·→r2＝g12，→r2·→r2＝g22，可得

于是

從而得出

所以有

在正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，可以求出系數(shù)矩陣，然后代入（14）式，就可給出高斯曲率的計(jì)算公式［1-6］。

6 高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的Brioschi公式表示

注意到

代入高斯曲率的計(jì)算公式［1-6，8］

利用行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)和矩陣乘法性質(zhì)，得

其中用到行列式按第三列展開計(jì)算的性質(zhì)。利用

得到

這就是高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)定理的Brioschi表示公式［1-6］。

將（19）式中的兩個(gè)行列式按第三列展開計(jì)算，可知Brioschi的表示公式（19）與（14）式是完全一樣。

將（15）式、（16）式代入（19）式，得到Brioschi公式［1-6］

7 正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式的推導(dǎo)

當(dāng)曲面Σ：→r＝→r（u1，u2）上的曲線坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)時(shí)，→r1·→r2＝g12＝0，利用（18）式，得到

K＝

另一方面，經(jīng)過湊微分法，逐步推導(dǎo)，有

故有

這就是正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，具有重要的應(yīng)用。

另一方面，需要直接計(jì)算

該式問題出現(xiàn)于利用劉維爾公式［2，6，10］

證明高斯—波涅公式的過程中［2-6］。

直接計(jì)算可得

由（21）式和（23）式，得

將（22）式改寫為如下形式

利用

得

由此得出

將（26）式代入（24）式，得

類似地

將（28）式代入（24）式，得

對(duì)（27）式和（29）式，這里給出導(dǎo)出發(fā)現(xiàn)過程。

在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗(yàn)證［1-2，7，9］，成立

［1］梅向明,黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社,2008.

［2］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社,2006.

［3］彭家貴,陳卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社, 2002.

［4］蘇步青,華宣積,忻元龍.實(shí)用微分幾何引論［M］.北京：科學(xué)出版社,1986.

［5］王幼寧,劉繼志.微分幾何講義［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社,2003.

［6］陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編［M］.北京：高等教育出版社,2010.

［7］曾憲祖.高斯曲率的一個(gè)計(jì)算公式的證明［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào),1991,11（4）：52-53.

［8］邢家省,王擁軍.曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,34（1）：6-10.

［9］邢家省,張光照.曲面基本方程的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.聊城大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,26（3）：7-12.

［10］邢家省,張光照.曲面上曲線的測(cè)地曲率向量的注記［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,34（4）：7-10.

Derivations w ith Several form s of Intrinsic Formulas of Gaussian Curvature

XING Jiasheng1，2，GAO Jianquan3，LUO Xiuhua3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China；3.Department of Mathematics，Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

The expression of intrinsic formula of Gaussian curvature on curved surface is considered.The direct explicit formula of the intrinsic quantities expressed by Gaussian curvature is derived bymeans of thematrix expression of curved surface fundamental equation.This intrinsic formula is evidently in accord with Brioschi formula.The derivation of Gaussian curvature simplified formula is demonstrated，which discloses the discovery process of Gaussian curvature implicit formula.

curved surface fundamental equation；curved surface constitutive equation；Gaussian curvature；intrinsic formula；Brioschi formula

O186.1

A

1673-1549（2014）04-0082-08

10.11863／j.suse.2014.04.20

2013-12-19

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11201020）

邢家?。?964-），男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，（E-mail）xjsh＠buaa.edu.cn