吳小武

【課前思考】

“3的倍數(shù)的特征”的學(xué)習(xí)安排在“2、5的倍數(shù)的特征”之后，2、5的倍數(shù)特征只要看一個數(shù)的個位，而3的倍數(shù)特征，需從各位上數(shù)的和是否是3的倍數(shù)的角度去判斷。由于受前者的影響，更因為缺少“將各位上的數(shù)相加的和”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，所以，在探究3的倍數(shù)的特征時，學(xué)生思維的關(guān)注點總是停留在觀察一個數(shù)的個位上，很難通過舉例、觀察、猜想、驗證等過程，自主探究出3的倍數(shù)的特征。另一方面，學(xué)生超前學(xué)習(xí)的現(xiàn)象已越來越普遍。筆者曾做過課前調(diào)查，發(fā)現(xiàn)任教的兩個班，均有近半數(shù)的學(xué)生課前已經(jīng)知道了3的倍數(shù)的特征，并能運用概念進(jìn)行判斷。當(dāng)然，知道其中緣由的學(xué)生幾乎沒有。

教學(xué)，如何才能貼近學(xué)生的思維實際呢？既然學(xué)生受認(rèn)知水平的限制，難以自然想到各位上數(shù)的和，何不將探究活動的重心由探究結(jié)果轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生由果溯因？何況有那么多學(xué)生已事先知道結(jié)論了，他們更關(guān)注3的倍數(shù)的特征為什么要看各位上數(shù)的和。雖然小學(xué)生由于知識和思維特點的限制，理解現(xiàn)象背后的本質(zhì)有困難，教材也沒有編排這一部分內(nèi)容，但是3的倍數(shù)的特征的數(shù)論原理，其基礎(chǔ)是借助整除的知識，將整百整十?dāng)?shù)除以3的過程加以概括，進(jìn)而得出新的結(jié)論。對一個五年級的學(xué)生而言，借助除法計算來理解整除的過程，并總結(jié)規(guī)律應(yīng)該沒有很大的困難。

基于以上思考，筆者開始了新的教學(xué)嘗試。

【教學(xué)實踐】

一、復(fù)習(xí)引入

1.回顧

師：2、5的倍數(shù)有什么特征？我們是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

生1：個位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。

生2：先舉出一些2或5的倍數(shù)，通過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)的個位是有特征的，然后再舉一些更大的數(shù)來驗證，就歸納出規(guī)律了。

師：是的，2、5的倍數(shù)的特征，我們是通過舉例、觀察分析、猜想、驗證、歸納等探究過程得到結(jié)論的。

2.設(shè)疑

師：3的倍數(shù)有什么特征？你打算用怎樣的方法進(jìn)行研究？

生3：我打算先舉一些3的倍數(shù)，然后像探究2、5的倍數(shù)的特征一樣去研究。

師：哪些同學(xué)已預(yù)先知道結(jié)論了？（有十多個學(xué)生舉手）你們知道3的倍數(shù)為什么有這樣的特征嗎？（幾乎沒人舉手）好，不知道結(jié)論的同學(xué)請先自主探究，再與同桌交流；已經(jīng)知道的同學(xué)，想一想結(jié)論是怎么得到的。

二、自主探究

1.舉例：舉出一些3的倍數(shù)。

2.觀察并思考：3的倍數(shù)有什么特征。

3.交流

師：觀察3的倍數(shù)，你們發(fā)現(xiàn)特征了嗎？（如課前所料，大多數(shù)學(xué)生茫然不知）你們在觀察時是怎樣想的？碰到什么困難了？

生4：2、5的倍數(shù)，我們是看個位上的數(shù)字，但是3的倍數(shù)，個位上0到9都有可能，好像沒有規(guī)律。

師：個位上找不到規(guī)律，想過看其他數(shù)位嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)十位、百位上的數(shù)字也沒有什么特征。

師：看來，3的倍數(shù)不能只看某一位上的數(shù)字。再想一想，還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（多數(shù)學(xué)生還是滿臉疑惑，事先知道結(jié)論的學(xué)生躍躍欲試）我們請已經(jīng)知道結(jié)論的同學(xué)來說說。

4.呈現(xiàn)結(jié)論：各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

5.舉例驗證。

三、深入探究

1.設(shè)疑

師：看到3的倍數(shù)的特征，你有什么疑問嗎？

生5：為什么3的倍數(shù)的特征要看各位上的數(shù)的和，而2、5的倍數(shù)的特征只要看個位上的數(shù)字？

2.驗證

師：判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，可以用這個數(shù)除以3，如果沒有余數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。也可以把這個數(shù)分解成整百整十?dāng)?shù)，分別除以3，看是否有余數(shù)。以234為例，要判斷它是否是3的倍數(shù)，可以從這個數(shù)的高位除起，先用2個百除以3，每個百都余幾？共余幾？同樣道理，3個10除以3，每個十都余幾？共余幾？個位上還有4，將余下來的數(shù)相加是幾？9除以3，沒有余數(shù)，說明什么？

生6：2個百除以3，每個百都余1，共余2，3個10除以3，每個十都余1，共余3，個位上還有4，將余下來的數(shù)相加是9，9除以3，沒有余數(shù)，說明234是3的倍數(shù)。

結(jié)合小棒圖演示計算過程：

■

師：你能同樣的方法分析345是不是3的倍數(shù)嗎？

生6：3個100除以3，余下3個1；4個10除以3，余下4個1；個位上還有5，將余下的數(shù)相加是12，12除以3，沒有余數(shù)，說明345就是3的倍數(shù)。

（學(xué)生同桌之間照此思路分析3的倍數(shù)）

3.提煉

師：判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，需要根據(jù)整個數(shù)都除以3來判斷嗎？

生7：不用的，只要看各位上的數(shù)除以3以后余下的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以了。

師：但是，前面得出的結(jié)論卻是看各位上的數(shù)的和，這是怎么回事？（引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才的驗證過程）

生7：因為各位上的數(shù)除以3余下的數(shù)恰好與原來數(shù)位上的數(shù)相同，比如，百位上的數(shù)是2，除以3余下的數(shù)也是2；十位上是3，除以3余下的數(shù)也是3。所以，各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

生8：真巧！原來是這樣?。。ň拖癜l(fā)現(xiàn)了新大陸，學(xué)生興奮不已）

4.歸納：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

四、溝通聯(lián)系

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們不但知道了3的倍數(shù)的特征，而且還用除法計算對結(jié)論進(jìn)行了驗證。想一想，2和5的倍數(shù)的特征能用剛才的思路進(jìn)行分析嗎？為什么2和5的倍數(shù)的特征只要看個位上的數(shù)字？

生9：2、5的倍數(shù)的特征也可以用除法計算進(jìn)行推理證明的，因為整百、整十的數(shù)都是2、5的倍數(shù)，所以2和5的倍數(shù)只要看個位上的數(shù)字。endprint

師：看來，3的倍數(shù)的特征和2、5的倍數(shù)的特征，它們的判斷方法是一致的，都可以用除法來進(jìn)行驗證，只是2、5的倍數(shù)，整十、整百的數(shù)都是它們的倍數(shù)，所以只要看個位上的數(shù)字。能用這個方法探究其他數(shù)的倍數(shù)的特征嗎？如，4、9的倍數(shù)的特征。課后大家可以繼續(xù)研究。

五、練習(xí)鞏固

1.判斷下面哪些數(shù)是3的倍數(shù)：45、74、236、876、3698。

2.學(xué)習(xí)“劃去3、6、9”的判斷方法。

生10：在判斷3698時，只要把3、6、9先劃去，直接看8就行了。

師：為什么不先求和也能判斷？

生10：因為當(dāng)各位上的數(shù)除以3的余數(shù)是3、6、9的時候，這些余數(shù)本身就是3的倍數(shù)，如果繼續(xù)除以3，就沒有余數(shù)了，所以可以先劃去。

生11：照你這么說，如果余數(shù)大于3，還可以先劃去3的倍數(shù)，再用余下的數(shù)的和來判斷。

師：你能舉例說明嗎？

生10：比如876，每位除以3的余數(shù)分別是8、7、6，8里面有2個3，就劃去2個3，還余下2；7里面也有2個3，也劃去還余1；6可以全部劃去，最后只要根據(jù)2+1=3，就能判876是3的倍數(shù)了。

師：你真善于思考，在證明結(jié)論的過程中，你又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了新的判斷方法。

3.在方框里填上數(shù)字，使這個數(shù)是3的倍數(shù).

4□2 65□ 12□1

【課后反思】

回顧整節(jié)課，由于教學(xué)活動以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以理解概念本質(zhì)為核心，教學(xué)貼著學(xué)生的思維前行，因此收到了較好的教學(xué)效果，具體表現(xiàn)在以下幾個方面。

一、基于學(xué)生的認(rèn)知水平切入教學(xué)

在學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”之前，學(xué)生已具備怎樣的認(rèn)知水平呢？由于3的倍數(shù)要根據(jù)各位數(shù)上的和是否是3的倍數(shù)來判斷，而先前學(xué)習(xí)的“2、5倍數(shù)的特征”是看個位上的數(shù)來判斷的，顯然，新知與原有經(jīng)驗是不一致的；學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中幾乎沒有“將各位上的數(shù)相加的和”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，所以，學(xué)生要自主發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征是困難的。在眾多的教學(xué)設(shè)計中，為了給學(xué)生提供合適的探究材料，教師可謂想盡辦法，最常見的有以下兩種材料：先引導(dǎo)學(xué)生在百數(shù)表中找到3的倍數(shù)，然后組織學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測、驗證（如人教版、北師大版的編排）；在計數(shù)器上分別表示出幾個3的倍數(shù)，看看各用了幾顆數(shù)珠（如蘇教版的編排）。但是教學(xué)實踐表明，不管給學(xué)生怎樣的探究材料，學(xué)生還是難以自主探究出3的倍數(shù)的特征，即使在一些大型的公開課中也不例外。多數(shù)情況是在教師近乎直白告知的引導(dǎo)下，如：“3的倍數(shù)和各位上的數(shù)有什么關(guān)系？”“將每個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字加起來試試看？”結(jié)論才千呼萬喚始出來的。

顯然，小學(xué)生由于受知識和思維特點的限制，并不具備自主探究出結(jié)論的能力。如果課堂教學(xué)不顧學(xué)生的思維現(xiàn)狀，把大量的時間用于所謂的自主探究，那么，這樣的教學(xué)不但是低效的，而且學(xué)生對知識的理解也僅僅停留在形式化層面，對思維能力的培養(yǎng)并無多大價值。再者，對預(yù)先就知道結(jié)論的學(xué)生而言（知道的學(xué)生人數(shù)不在少數(shù)），這樣的課堂教學(xué)既沒有什么思維增量，也不利于學(xué)生探究意識的培養(yǎng)。

既然學(xué)生無力自主探究出結(jié)論，何不以此為起點切入教學(xué)，及時調(diào)整探究方向？所以，在課的引入環(huán)節(jié)，首先讓學(xué)生回憶2、5的倍數(shù)的特征及探究方法，從而引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的方法探究3的倍數(shù)的特征，讓學(xué)生再次經(jīng)歷舉例、觀察、猜想、驗證、歸納等探究活動，從中獲得對探究方法的更為豐富的體驗。探究過程中，學(xué)生由2、5的倍數(shù)的特征類比推理3的倍數(shù)的特征，從個位上發(fā)現(xiàn)不了規(guī)律聯(lián)想到從十位、百位進(jìn)行觀察思考，雖然這些探究活動都沒有結(jié)果，但是學(xué)生越是不得其解，就越想知道其中的奧秘。當(dāng)學(xué)生的思維處于憤悱狀態(tài)時，考慮到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，教師不再一廂情愿地要求學(xué)生繼續(xù)人為地去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而是及時通過超前學(xué)習(xí)的學(xué)生的回答來呈現(xiàn)3 的倍數(shù)的特征。讓學(xué)生頗有“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之感。為什么3的倍數(shù)的特征要看各位上的數(shù)的和，而2、5的倍數(shù)的特征只要看個位上的數(shù)字呢？真可謂是“一波未平，一波又起”，繼續(xù)將學(xué)生的思維引向探究現(xiàn)象背后的本質(zhì)。

二、順著學(xué)生的思維展開教學(xué)

3的倍數(shù)的特征為什么要看各位上的數(shù)之和呢？結(jié)論呈現(xiàn)后，不管是先前探究未果的學(xué)生，還是事先知道結(jié)論的學(xué)生，大多將思維的焦點聚焦于此。

我們知道，一個數(shù)的倍數(shù)的特征，其數(shù)論原理是“尋求一個自然數(shù)能否被另一個自然數(shù)整除”，簡便的判別方法是“可把這個自然數(shù)分為大小不等的兩個自然數(shù)的和，并且使較大的加數(shù)已能被另一個自然數(shù)整除時，只要判別較小的加數(shù)能否被另一個自然數(shù)整除就可以了”。如，判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，分析如下：345=3×100+4×10+5=3×99+3+4×9+4+5，因為在計算單位“十”、“百”、“千”……中，9、99、999…是3最大的倍數(shù)，按照位值原則，每個數(shù)位余下的數(shù)恰好是各位上的數(shù)，所以，3的倍數(shù)的特征是各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。

如果照此進(jìn)行抽象地分析，對小學(xué)生而言，顯然難度太大。小學(xué)五年級學(xué)生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡時期，在理解抽象的數(shù)學(xué)原理時，仍應(yīng)以具體形象的實物操作做支撐，才能完成向抽象思維的過渡。

為了讓學(xué)生能理解推理證明的過程，掌握概念的本質(zhì)，教師采用了先扶后放的教學(xué)策略。首先，讓學(xué)生明確：判別一個自然數(shù)是否是3的倍數(shù)，就是通過除法計算，從高位到低位依次除以3，如果余數(shù)為0，這個數(shù)就是3的倍數(shù)；如果余數(shù)不是0，則把每位除以3的余數(shù)相加，看是否是3的倍數(shù)。然后結(jié)合小棒圖，使學(xué)生直觀感知每個數(shù)位上除以3余下的數(shù)恰好是各位上的數(shù)。由于以除法計算為基礎(chǔ)，并輔以數(shù)形結(jié)合，多數(shù)學(xué)生能理解推理證明過程?；貧w知識本源的學(xué)習(xí)，不但使學(xué)生透過現(xiàn)象理解概念的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，同時也有利于學(xué)生養(yǎng)成追根究底的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

理解了3的倍數(shù)的特征，那么，2、5的倍數(shù)的特征為什么只要看個位上的數(shù)字呢？有了先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生自然就想到了2、5的倍數(shù)的特征也可以用除法計算進(jìn)行推理證明，因為整百、整十的數(shù)都是2、5的倍數(shù)，所以2和5的倍數(shù)只要看個位上的數(shù)字。相信有的學(xué)生能運用這樣的探究經(jīng)驗和思維方法繼續(xù)去探究4、9的倍數(shù)的特征。由于順著學(xué)生的思維進(jìn)行教學(xué)，不但自然地溝通了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也加深了學(xué)生對知識本質(zhì)的理解。

在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，判斷3698是否是3的倍數(shù)時，有的學(xué)生居然想到了“劃去3、6、9的方法”，只要看8就行了，理由是當(dāng)各位上的數(shù)除以3的余數(shù)是3、6、9的時候，這些余數(shù)本身就是3的倍數(shù)，如果繼續(xù)除以3，就沒有余數(shù)了，所以可以劃去?？梢?，雖然小學(xué)生理解3的倍數(shù)的原理有些困難，但是實踐證明，以除法計算為基礎(chǔ)，并借助直觀教學(xué)手段，學(xué)生不但能理解其原理，有的學(xué)生甚至能以此為基礎(chǔ)，想到更簡潔的判斷方法。

（責(zé)編 金 鈴）endprint