劉藝藝，竇霽虹，趙紅妮

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 西安710127)

0 引言

平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的定性理論在微分方程定性理論中占有重要地位，對(duì)它的研究大多集中在一個(gè)具體的系統(tǒng)。對(duì)于參數(shù)系統(tǒng)的研究具有重要的意義，當(dāng)參數(shù)取定為某一值時(shí)，系統(tǒng)就成為一個(gè)新的系統(tǒng)，這樣只需對(duì)一類參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行研究，就可以得到一系列系統(tǒng)的隨參數(shù)變化的性質(zhì)。系統(tǒng)參數(shù)研究的方法一般是將其余參數(shù)看成常量，將要研究的參數(shù)看成唯一變量，對(duì)其進(jìn)行研究［1，2］;或者構(gòu)造高階方程，通過對(duì)高階微分方程的研究確定原始系統(tǒng)的性質(zhì)［3］;還有利用不等式分析方法，通過放大或縮小不等式來(lái)尋找滿足結(jié)果的若干條件［4］;或是選取適當(dāng)?shù)臈l件，反過來(lái)求解參數(shù)應(yīng)該滿足的范圍［5～11］?；谝陨蠀?shù)系統(tǒng)的研究方法，本文主要對(duì)系統(tǒng)

在a＞0時(shí)進(jìn)行定性分析，得到系統(tǒng)極限環(huán)的不存在性、存在唯一性的一些充分條件，并分析出系統(tǒng)參數(shù)變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性態(tài)是如何影響的。

1 系統(tǒng)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析

求解方程組

當(dāng)δ≥2時(shí)，O(0，0)為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn);當(dāng)0＜δ＜2時(shí)，O(0，0)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn);當(dāng)－2＜δ＜0時(shí)，O(0，0)為穩(wěn)定的焦點(diǎn);當(dāng)δ≤－2時(shí)，O(0，0)為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。

當(dāng)δ=0時(shí)，O(0，0)為(1)對(duì)于線性系統(tǒng)的中心，應(yīng)用形式級(jí)數(shù)法，得到:

(ⅰ)當(dāng)l＞0時(shí)，O(0，0)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

(ⅱ)當(dāng)l＜0時(shí)，O(0，0)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

(ⅲ)當(dāng)l=0時(shí)，系統(tǒng)(1)化為

(4)當(dāng)n＜0時(shí)，

2 系統(tǒng)無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)分析

2.1 對(duì)系統(tǒng)(1)作Poincare第一變換

系統(tǒng)(4)在B(u，0)對(duì)應(yīng)的線性部分矩陣為

(1)當(dāng)n＞0，l≥0時(shí);

(2)當(dāng)n＞0，l＜0時(shí):

(3)當(dāng)n＜0時(shí)可類似的進(jìn)行討論。

2.2 對(duì)系統(tǒng)(1)作Poincare第二變換

當(dāng)n≠0時(shí)，D(0，0)不是系統(tǒng)(6)奇點(diǎn);當(dāng)n =0時(shí)，D(0，0)是系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)。

3 系統(tǒng)參數(shù)變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性態(tài)的影響

綜上所述，系統(tǒng)(1)的有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的性態(tài)如表1所示。

當(dāng)n＜0時(shí)可類似的進(jìn)行討論。

表1 系統(tǒng)(1)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的性態(tài)

表2 系統(tǒng)(1)的無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)當(dāng)n＞0時(shí)的性態(tài)

4 系統(tǒng)極限環(huán)的分析

定理1:當(dāng)lδ≥0且l2+δ2≠0時(shí)，系統(tǒng)(1)在全平面內(nèi)不存在閉軌線。

定理2:當(dāng)l=δ=0時(shí)，系統(tǒng)(1)存在一族圍繞O(0，0)的閉軌線。

證明:由前面的討論知，當(dāng)l=δ=0時(shí)O(0，0)為系統(tǒng)中心，所以在O(0，0)鄰域內(nèi)充滿閉軌線。

下面僅就lδ＜0的情況討論。

先給出引理1［13］。

引理1:考慮微分方程組

2.1.3.1 順產(chǎn)不同時(shí)期BMI、新生兒體質(zhì)量與盆底肌力治療前后的相關(guān)性 順產(chǎn)者盆底肌力減退治療前后變化只與產(chǎn)后BMI存在正相關(guān)(P<0.05)，見表6。

(1)當(dāng)x≠0時(shí)，xg(x)＞0;當(dāng)y≠0時(shí)，yφ(x)＞0;

(2)f(x)，g(x)，φ(y)連續(xù)可微;φ(y)單調(diào)遞增;f(0)＜0(f(0)＞0);

(3)存在常數(shù)α，β，使f1(x)=f(x)+g(x)［α +βF(x)］有簡(jiǎn)單零點(diǎn)x1＜0與x2＞0，而且在區(qū)間(x1，x2)上f1(x)≤0(f1(x)≥0);

(5)所有閉軌線包圍x軸上的區(qū)間［x1，x2］，則系統(tǒng)(7)最多有一個(gè)極限環(huán);如果它存在，則是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)。

(1)當(dāng)x≠0時(shí)，xg(x)=x2(ax2+1)＞0;當(dāng)y≠0時(shí)，yφ(x)=y2(ny2+my+1)＞0;

(2)f(x)=F'(x)=－δ－3lx2連續(xù)可微，g (x)，φ(y)連續(xù)可微;φ'(y)=3ny2+2my+1＞0，φ(y)單調(diào)遞增;f(0)=－δ＜0;

(3)存在常數(shù)α=0，β=1，使f1(x)=－δ－3lx2+(x+ax3)(－δx－lx3)，f1(1)＞0，f1(－1)＞0，f1(0)＜0，則由函數(shù)連續(xù)性和介值定理，存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)x1＜0與x2＞0，而且在區(qū)間(x1，x2)上f1(x)≤0;

(5)閉軌線若存在必包含O(0，0)，所以所有閉軌線都包圍x軸上的區(qū)間［x1，x2］;則系統(tǒng)(1)最多有一個(gè)極限環(huán);如果它存在，則穩(wěn)定。

同理得到定理4。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)一類三次系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，并總結(jié)出參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性態(tài)的影響，得到有關(guān)定理。對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的討論方法還可以應(yīng)用于其它系統(tǒng)。

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