林紅磊，唐小妹，劉瀛翔，王飛雪

(國防科技大學 電子科學與工程學院，湖南 長沙，410073)

現(xiàn)代化后的導航信號中大多含有導頻通道[1]，如Galileo-E1[2]和GPS-L5[3]等信號。對這類信號的捕獲，若不進行導頻通道與數(shù)據(jù)通道的組合，將會損失信號中的一部分能量，使得檢測損耗增大。目前已有的導頻與數(shù)據(jù)通道的組合捕獲算法主要包括非相干組合、差分組合、相干組合捕獲算法[4-9]。Yang 等[4]給出了導頻與數(shù)據(jù)通道的相干組合捕獲算法，并給出了一種并行捕獲的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。Mongredien 等[5]給出了一種數(shù)據(jù)與導頻通道的非相干組合捕獲算法，并對其性能進行了深入分析。Hegarty[6]對比了相干與非相干組合算法的性能，指出在高載噪比下相干組合算法優(yōu)于非相干組合算法，但是，在低載噪比下，非相干組合算法優(yōu)于相干組合算法。Borio[7]給出了一種導頻/數(shù)據(jù)通道的差分組合算法，并將該組合算法和相干組合，非相干組合算法的性能進行比較，結(jié)果表明差分組合算法的性能弱于相干組合和非相干組合算法的結(jié)論。Ta等[8]針對E1 信號，對導頻與數(shù)據(jù)通道的3 種組合算法作了進一步的深入研究，給出了3 種組合檢測量的檢測性能的近似推導結(jié)果和仿真驗證性能，得出了在無數(shù)據(jù)輔助的情況下，當載噪比大于24 dB·Hz 時，相干組合算法優(yōu)于其他2 種組合算法；當載噪比低于24 dB·Hz 時，非相干組合算法性能最好。上述文獻在分析比較不同組合檢測量的檢測性能時并未根據(jù)信號的參數(shù)進行中頻積累時間的最優(yōu)設(shè)計，也沒有考慮信號多普勒等因素對不同組合算法性能的影響，因此，分析不夠全面。在傳統(tǒng)導航信號的捕獲研究領(lǐng)域，很多文獻均提到了中頻積累時間的優(yōu)化問題，并給出了一種有效的優(yōu)化方法[10-13]。其中文獻[10]給出了在包絡檢波下的非相干積累時的中頻積累時間的優(yōu)化設(shè)計方法，文獻[11]給出了在平方律檢波下的非相干積累時的最優(yōu)中頻積累時間的優(yōu)化設(shè)計方法，并將優(yōu)化結(jié)果與同等條件下包絡檢波的最優(yōu)設(shè)計性能進行了比較，得出了包絡檢波的性能優(yōu)于平方律檢波的結(jié)論；文獻[12]深入討論了差分后積累時最優(yōu)中頻積累時間的優(yōu)化問題，并將其與同等條件下的包絡檢波下的非相干后積累的性能進行了比較，得出了差分后積累的性能優(yōu)于非相干后積累。對于含導頻信號的組合捕獲算法，同樣存在最優(yōu)中頻積累時間的優(yōu)化問題。在此，本文作者建立導航信號的一般檢測模型，給出已有的非相干組合檢測量、差分組合檢測量和相干組合檢測量，證明了相干組合檢測量是非相干組合和差分組合檢測量的一種二次組合，在此基礎(chǔ)上設(shè)計一種通用的組合捕獲檢測量，使得上述3 種檢測量均是該通用組合捕獲檢測量的一種特殊形式。在分段相干-視頻積累優(yōu)化的方法的基礎(chǔ)上給出了該通用組合檢測量的一種二維優(yōu)化模型，并在給定輸入?yún)?shù)的情況下得出最優(yōu)參數(shù)，在此基礎(chǔ)上討論最優(yōu)參數(shù)隨輸入信號載噪比、最大多普勒容限以及導頻功率系數(shù)的變化規(guī)律。

1 信號檢測模型

本文以導頻與數(shù)據(jù)通道正交的情況為例進行討論，實際上所用方法和結(jié)論也適用于導頻與數(shù)據(jù)通道同相的情況。信號檢測的一般模型如圖1 所示。

圖1 導航信號檢測的一般模型Fig.1 Model of signal detection

記輸入捕獲模塊的中頻信號為

其中：μ 為導頻通道的功率和整個信號功率的比，簡稱導頻功率系數(shù)，0≤μ≤1；dD(t)為數(shù)據(jù)通道上的導航電文；dP(t)為導頻通道上的二級碼，通常二級碼速率小于等于電文速率；cD(t)和cP(t)分別為數(shù)據(jù)和導頻通道偽隨機碼；C 為信號功率；n(t)為帶限高斯白噪聲，雙邊帶功率譜密度為N0，方差滿足σn2=N0·Fs，則輸入信號載噪比RCN=C/(2N0)。

中頻信號通過正交下變頻后在一個PIT(預檢測積分時間)內(nèi)與本地復現(xiàn)的偽碼信號作相干積分，得到相應的相關(guān)值，如圖2 所示。

對含導頻通道的GNSS 信號，相干積分后共輸出四路相關(guān)值信號，分別記為YD,I(τ，fd)，YP,I(τ，fd)， YD,Q(τ，fd)和YP,Q(τ，fd)，下標I/Q 表示I/Q 支路，D/P 表示數(shù)據(jù)/導頻通道，其表達式如下：

其中：nD,I，nD,Q，nP,I和nP,Q～N(0，1)為歸一化后的噪聲分量；Tc為相干積分時間(中頻積累時間)；Fs為信號采樣率；N=Tc·Fs為相干積分時間內(nèi)的采樣點數(shù)；R為偽隨機碼的自相關(guān)函數(shù)，忽略碼相位偏移造成的損耗，則有R=1；ΔΦ 為數(shù)據(jù)與導頻通道的殘余相位，記L 為多普勒fd引起的相干損耗，則有L=sinc2(πTcfd)。相干積累后，經(jīng)過K 次非相干后積累可得到最終檢測統(tǒng)計量，其中K 為中頻積累分段數(shù)，總的積分時間為T=Tc·K。

檢測性能的好壞與檢測量的設(shè)計及積累參數(shù)的選擇密切相關(guān)，對傳統(tǒng)導航信號，文獻[10-13]從最優(yōu)參數(shù)選擇的角度給出了最優(yōu)中頻積累時間的一般優(yōu)化方法。對含導頻的導航信號，文獻[4-9]通過設(shè)計不同的導頻-數(shù)據(jù)通道的組合檢測量以提高檢測性能。實際上，對含導頻的導航信號而言，依然存在最優(yōu)中頻積累時間的選擇問題，因此，本文在不同組合檢測量的基礎(chǔ)上，證明了相干組合檢測量是非相干組合檢測量和差分檢測量的一種組合，進而設(shè)計了一個由組合系數(shù)控制的通用的導頻和數(shù)據(jù)通道的組合捕獲檢測量，然后利用分段相關(guān)-視頻積累的優(yōu)化方法，建立了該組合檢測量的一個二維優(yōu)化模型，通過對該優(yōu)化問題的求解，可以得出不同條件下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。

2 通用組合檢測量的設(shè)計

2.1 非相干組合檢測量

非相干組合算法通過平方運算消除導頻與數(shù)據(jù)通道上的相位殘差及電文跳變的影響，然后對各分量進行能量積累。導頻與數(shù)據(jù)通道的非相干組合原理如圖所示。

第i 個PIT 內(nèi)導頻/數(shù)據(jù)通道的非相干組合可表示為

記有信號時為H1，無信號式為H0，則H1時zi服從非中心的Χ2(4)分布，H0時zi服從中心Χ2(4)分布。

非相干組合方式可以通過非相干方式進行后積累，即K 個PIT 檢測量的累加和構(gòu)成了最終的檢測量，表達式為

H1時Z 服從非中心的Χ2(4K)分布，H0時，Z 服從中心Χ2(4K)分布。

2.2 差分組合檢測量

差分組合算法通過對導頻和數(shù)據(jù)間作差分處理來消除導頻與數(shù)據(jù)通道上的相位殘差，通過取模消除電文的影響，實現(xiàn)能量的積累。導頻和數(shù)據(jù)通道的差分組合原理如圖3 所示。

第i 個PIT 內(nèi)導頻/數(shù)據(jù)通道的差分組合可表示為

后積累方式與非相干組合一樣，如式(4)所示。根據(jù)中心極限定理可以近似得到H1和H0時檢測統(tǒng)計量Z 的分布特性，具體可參考文獻[7-8]。

2.3 相干組合檢測量

相干組合在導頻與數(shù)據(jù)通道間相對電文符號未知的情況下，通過二選一的取大方式，使得最終的檢測量近似達到導頻與數(shù)據(jù)通道間能量相干積累的效果。后積累方式采用非相干累積，相干組合算法如圖4所示。

第i 個PIT 內(nèi)相干組合檢測統(tǒng)計量為

其中：

可見：該算法通過取大運算獲得導頻與數(shù)據(jù)通道在一個PIT 內(nèi)的相對符號，實現(xiàn)導頻與數(shù)據(jù)通道的相干積累。后積累K 次后所得檢測量為對檢測統(tǒng)計量Z 的統(tǒng)計特性的分析，可參考文獻[7-8]。

圖2 導頻與數(shù)據(jù)通道非相干組合捕獲算法Fig.2 Pilot and data channel non-coherent combining acquisition algorithm

圖3 導頻與數(shù)據(jù)通道差分組合捕獲算法Fig.3 Pilot and data channel differentially coherent combining acquisition algorithm

圖4 導頻與數(shù)據(jù)通道相干組合捕獲算法Fig.4 Pilot and data channel semi-coherent combining acquisition algorithm

2.4 通用組合檢測量

下面在相干檢測量的基礎(chǔ)上推導通用的導頻與數(shù)據(jù)通道組合的捕獲檢測量。將式(7)代入式(6)可得

實際上，式(9)的取大操作可以直接用絕對值運算替代，即

由式(3)和式(5)可知：相干組合檢測量實際上可以表示成非相干組合和差分組合的一種二次組合。由此可以給出含導頻信號捕獲的一種通用的組合捕獲檢測量的表達式為

其中：znon,i(τ，fd)和zdiff,i(τ，fd)分別為第i 次PIT 內(nèi)的非相干組合和差分組合檢測量；λ 為組合系數(shù)。實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖5 所示。

圖5 通用的導頻與數(shù)據(jù)通道組合的捕獲算法Fig.5 Universal pilot and data channel combining acquisition algorithm

后積累K 次后所得檢測量為

由式(12)可知：

當λ=0 時，通用組合檢測量退化為非相干組合檢測量；

當λ=∞時，通用組合檢測量退化為差分組合檢測量；

當λ=2 時，通用組合檢測量退化為相干組合檢測量。

可以證明znon,i(τ，fd)和zdiff,i(τ，fd)之間是相關(guān)的，因此兩者并不獨立，這樣，zi在H0和H1下統(tǒng)計特性的解析表達式將會變得比較復雜。為此，本文結(jié)合中頻積累時間的優(yōu)化方法給出該通用組合檢測量的一種數(shù)值優(yōu)化設(shè)計方法。

3 通用組合檢測量的優(yōu)化

3.1 優(yōu)化參數(shù)

從通用組合檢測量的表達式看，其檢測性能和組合系數(shù)λ 有關(guān)，為了使得該檢測量的檢測性能最優(yōu)，需要對組合系進行優(yōu)化。由于不同組合系數(shù)下的檢測量存在一個最優(yōu)中頻積累時間，因此，在對組合系數(shù)優(yōu)化的同時需考慮最優(yōu)中頻積累時間，故該問題將轉(zhuǎn)化選擇合適的組合系數(shù)λ 和視頻積累分段數(shù)K，使得通用組合檢測量的檢測性能最優(yōu)。因此，優(yōu)化參數(shù)設(shè)計為λ 和K。

3.2 目標函數(shù)

參考分段相關(guān)-視頻積累的優(yōu)化準則，將檢測量的最大檢測損耗作為優(yōu)化目標。文獻[14-15]給出了等效理想檢測因子的概念，即達到相同檢測性能時候?qū)南喔蓹z測量的信噪比，其換算關(guān)系為

式中：

Pfa和Pd由檢測量的統(tǒng)計特性決定。顯然，在虛警概率相同時，等效理想檢測因子越大，檢測性能越強。

檢測損耗定義為檢測量的等效理想檢測因子相對理想相干接收機的檢測損耗，具體為

其中：Dc為理想相干接收機的檢測因子。當fd為信號多普勒容限時，對應檢測損耗最大，優(yōu)化目標尋找最大檢測損耗的最小值。

3.3 約束條件

針對恒虛警檢測進行討論，約束條件即為相應的虛警概率，另外考慮最長的相干積分時間不能超過1個電文或1 個二級碼的長度，因此，分段數(shù)K 存在1個最小值的約束，本文討論電文速率和二級碼速率相同的情況，設(shè)1 個電文符號寬度為Td。

3.4 優(yōu)化模型

根據(jù)優(yōu)化參數(shù)、目標函數(shù)和約束條件，該優(yōu)化問題可用下面模型描述

其中：N 為自然數(shù)集；RCN為輸入信號載噪比；fd為最大的殘留多普勒；μ 為導頻通道占整個信號的功率比；T 為總積累時間。上述4 個參數(shù)表征檢測量中輸入信號的參數(shù)。λ 為通用檢測量的組合系數(shù)；K 為后積累次數(shù)或中頻積累的分段數(shù)，則相干積累時間Tc=T/K，K 要使得相干積分時間小于1 個電文寬度Td。Pfa0=1×10-5，Td=1 ms。為保證仿真結(jié)果的準確性，選擇仿真次數(shù)為107次。

3.5 優(yōu)化結(jié)果及分析

下面討論一組典型參數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果，參數(shù)取值如表1 所示。

表1 輸入信號參數(shù)表Table 1 Value of signal parameters

在信號參數(shù)給定的情況下，最大檢測損耗是關(guān)于組合系數(shù)λ 和分段數(shù)K 的二維函數(shù)，該函數(shù)在整個λ和K 組成的二維域上存在一個最小值的點P(λ，K)，該點即為所求的最優(yōu)設(shè)計點，對應的λ 和K 即為所得最優(yōu)參數(shù)。仿真數(shù)值解的二維域由λ 和K 的離散點組成，其中λ 為從0 到4 以0.2 為間隔步進增加，K 為從5 到20 以1 為間隔步進增加。最大檢測損耗關(guān)于λ和K 的變化關(guān)系如圖6 所示。由圖6 可知：在上述參數(shù)下，最優(yōu)的參數(shù)選擇為λ=1.6，K=11，此時最大檢測損耗為4.296 2 dB。

圖7 所示為上述二維優(yōu)化模型退化為2 個一維模型時的優(yōu)化結(jié)果。由圖7 可知：在固定λ 的情況下，該優(yōu)化問題與文獻[10-13]中給所給的最優(yōu)中頻積累時間的優(yōu)化結(jié)果一致的，優(yōu)化效果較明顯；在固定K及λ 取不同值時，該問題退化為文獻[7-8]中的3 種組合檢測量的性能比較。另外，從圖7(a)可以看出：最優(yōu)組合系數(shù)的優(yōu)化空間并不是很大，相比非相干組合算法，只提高0.2 dB 左右，比相干組合算法提高約0.05 dB。

圖6 最大檢測損耗隨λ 和K 的變化Fig.6 Maximum detection loss in different λ and K

圖7 一維優(yōu)化模型的參數(shù)優(yōu)化Fig.7 Optimum parameter of one dimension model

下面分別討論最優(yōu)參數(shù)λ 和K 隨信號參數(shù)RCN，fd以及μ 的變化規(guī)律。

3.5.1 最優(yōu)參數(shù)與輸入載噪比的關(guān)系

下面分析輸入信號多普勒容限最大為500 Hz，導頻功率系數(shù)為0.5，總積分時間為5 ms，載噪比從33～42 dB·Hz 變化時檢測量的最優(yōu)參數(shù)及最大損耗的最小值。

表2 所示為最優(yōu)設(shè)計參數(shù)隨輸入信號載噪比的變化關(guān)系。由表2 可見：最優(yōu)組合系數(shù)和最優(yōu)分段數(shù)基本上滿足隨著信號載噪比的增加而增加的變化規(guī)律，最大損耗隨信號載噪比的增加而減小。

根據(jù)上面的優(yōu)化結(jié)果，可以得出：高載噪比下，增加λ 和K 有利于提升通用檢測量的檢測性能；低載噪比下，減小λ 和K 有利于提高檢測量的檢測性能。這與文獻[8]和[11]所給結(jié)論是一致的。

表2 不同載噪比下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)Table 2 Optimum parameters in different CNR

3.5.2 最優(yōu)參數(shù)與多普勒容限的關(guān)系

下面分析輸入信號載噪比為40 dB·Hz，導頻功率系數(shù)為0.5，總積分時間為5 ms，多普勒容限從200～1 000 Hz 變化時檢測量的最優(yōu)參數(shù)及最大損耗的最小值。

表3 所示為不同多普勒容限下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)?？梢钥闯?，隨多普勒容限的增加，最優(yōu)組合系數(shù)逐漸減小，最優(yōu)分段數(shù)逐漸增加，相應的最大損耗逐漸增加。

隨著多普勒容限的增加，為抵抗多普勒損耗的增加，需增加分段數(shù)，減小相干積分時間[11]。但實際上從優(yōu)化結(jié)果上看最大損耗依然呈現(xiàn)增加的趨勢，這相當于輸入信號載噪比降低。根據(jù)前面的分析，最優(yōu)組合系數(shù)應呈減小的趨勢，仿真結(jié)果與此吻合。

據(jù)此可以得出在多普勒容限較大時，小的組合系數(shù)和大的分段數(shù)有利于提高檢測性能，多普勒容限小時，大的組合系數(shù)和小的分段數(shù)有利于提高檢測性能。

表3 不同多普勒容限下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)Table 3 Optimum parameters in different fd

3.5.3 最優(yōu)參數(shù)與導頻功率系數(shù)的關(guān)系

下面分析輸入信號載噪比為40 dBHz，多普勒容限500 Hz，總積分時間為5 ms，導頻功率系數(shù)為從0.1～0.9 變化時檢測量的最優(yōu)設(shè)計點及相應的最大檢測損耗。

表4 所示為不同導頻功率系數(shù)下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。從表4 可以看出：最優(yōu)分段數(shù)和導頻信號功率比無明顯的關(guān)系；最優(yōu)組合系數(shù)隨導頻功率系數(shù)現(xiàn)增加后減小的趨勢變化，在μ=0.5 左右達到最大；相應地，最大檢測損耗呈先減小后增加的趨勢，在μ=0.5 左右時達到最小。

表4 不同導頻功率系數(shù)下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)Table 4 Optimum parameters in different μ

上述數(shù)值解是在導頻上次級碼速率與電文速率相同時所得的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。當相干積累時間小于一個電文寬度時，對捕獲而言，導頻通道和數(shù)據(jù)通道是一樣的，因此，理論上最優(yōu)組合系數(shù)和最大檢測損耗關(guān)于導頻功率以0.5 呈偶對稱，從仿真結(jié)果來看，大致滿足這一關(guān)系。

4 結(jié)論

(1) 本文證明了導頻與數(shù)據(jù)通道的相干組合檢測量是非相干組合檢測量和差分組合檢測量的二次組合形式，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一種通用的導頻與數(shù)據(jù)通道的組合檢測量。

(2) 利用分段相關(guān)-視頻積累的優(yōu)化方法，對該組合檢測量的檢測性能進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化后的性能優(yōu)于非相干組合檢測量、差分組合檢測量和相干組合檢測量。

(3) 分析并給出了通用組合檢測量中的組合系數(shù)和最優(yōu)分段數(shù)隨輸入信號載噪比、多普勒容限和導頻信號功率系數(shù)的變化規(guī)律。

(4) 本文結(jié)論可以用于指導含導頻的GNSS 信號的捕獲算法設(shè)計，亦可用來指導含導頻的擴頻信號的接收設(shè)計。

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