白 秀, 楊培鳳, 額爾敦其其格

(1.呼和浩特民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

歐朝芳等[1]討論了傳輸線中非線性效應(yīng)所引起的波形的變化, 并建立非線性和色散兩種效應(yīng)同時(shí)存在時(shí)的波動(dòng)方程:

(1)

該文獻(xiàn)中,分析了波在非線性無(wú)色散傳輸線和非線性有色散傳輸線中的傳播情況,得出了非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)關(guān)系的結(jié)論,同時(shí),利用行波法求得了方程的孤波解[1].岳萍等[2]應(yīng)用影射法求解此傳輸線中弱色散解非線性波動(dòng)方程得到了孤波解和橢圓函數(shù)解，郭鵬等[3]應(yīng)用試探函數(shù)法、Sine-Cosine 方法[4]求得了非線性傳輸線方程(1)的解．

He-變分方法[5-6]具有既簡(jiǎn)單又直接的特性，它基于He-半逆解法[5]，建立一種巧妙的變分泛函，進(jìn)而構(gòu)造非線性偏微分方程(組)的孤立子解等精確解.該方法曾被成功應(yīng)用到求解Benjanmin One方程[9]和吸孤子方程[10]等方程的孤子解中.本文從文獻(xiàn)[6-11]得到啟示，利用變分方法對(duì)非線性傳輸線方程(1)進(jìn)行求解，成功推出該方程幾種不同形式的孤子解.

1 利用變分方法求解非線性傳輸線方程的求解

設(shè)行波變換為u(x,t)=u(ξ),ξ=kx-λt，對(duì)方程(1)進(jìn)行行波約化，得到

(2)

(λ2-α)u-bλ2u2-βu″=0.

(3)

再利用半逆解法，可得到(2)式的變分公式

(4)

(5)

1.1 情形1

設(shè)(1)的孤子解為:

u(ξ)=ptanh2(qξ).

(6)

將(6)代入變分公式(4)中，得到雙參數(shù)p、q的函數(shù)：

(7)

對(duì)討論(7)的穩(wěn)定性，建立聯(lián)立方程組：

(8)

(9)

然后，求解上述方程組中的(8)和(9)式，得到參數(shù)p、q的取值如下：

(10)

(11)

從而得到原方程的孤子解:

(12)

1.2 情形2

設(shè)(1)的孤子解為:

u(ξ)=psech[qξ]·tanh2(qξ).

(13)

將(13)代入變分公式(4)中，得到雙參數(shù)p、q的函數(shù)：

(14)

討論(14)的穩(wěn)定性，建立聯(lián)立方程組：

(15)

(16)

然后，求解上述方程組，得到參數(shù)p、q的取值如下：

(17)

(18)

從而得到原方程的孤子解:

(19)

1.3 情形3

設(shè)(1)的孤子解為:

u(ξ)=psech2[qξ]·tanh(qξ).

(20)

將(20)式代入變分公式(4)中，得到雙參數(shù)p、q的函數(shù)：

(21)

討論(21)的穩(wěn)定性，建立聯(lián)立方程組：

(22)

(23)

然后，求解上述方程組，得到參數(shù)p、q的取值如下：

(24)

(25)

從而得到原方程的孤子解:

(26)

1.4 情形4

設(shè)(1)的孤子解為:

u(ξ)=ptanh4(qξ).

(27)

將(27)式代入變分公式(4)中，得到雙參數(shù)p、q的函數(shù)：

(28)

討論(28)的穩(wěn)定性，建立聯(lián)立方程組：

(29)

(30)

然后，求解上述方程組，得到參數(shù)p、q的取值如下：

(31)

(32)

從而得到原方程的孤子解:

(33)

2 結(jié)語(yǔ)

He-變分方法是求解偏微分方程精確解的有效工具，本文基于He-半逆解法，對(duì)弱色散解非線性波動(dòng)方程進(jìn)行構(gòu)造對(duì)應(yīng)變分公式，進(jìn)而尋找這些方程的孤子解.這些結(jié)果顯示，該變分方法簡(jiǎn)單明了，利用它可以構(gòu)造其他學(xué)者用行波法、影射法和Sine-Cosine方法等法所求得解之外的孤立子解.同時(shí)，由此方法得到非線性傳輸線的波動(dòng)方程具有孤立波解，這是一個(gè)很重要的結(jié)論，如果把電壓波的振幅認(rèn)定很小，還可以把方程(1)化為KDV方程.

參考文獻(xiàn):

[1] 歐朝芳, 胡頡, 佘守憲.非線性傳輸線中的孤子[J].大學(xué)物理, 2006, 25(2): 42-45.

[2] 岳萍，龔倫訓(xùn)． 弱色散非線性波動(dòng)方程的孤波解和Jacobi橢圓函數(shù)解[J]．大學(xué)物理，2008，27(12):15-17．

[3] 郭鵬, 陳宗廣, 孫小偉.非線性傳輸線方程的幾類顯式精確解[J].大學(xué)物理，2010，29(4):20-21.

[4] 郭鵬，陳宗廣，孫小偉.求解非線性傳輸線方程的簡(jiǎn)便方法[J].大學(xué)物理，2012，31(9):25-26.

[5] HE J H.Some asymptotic methods for strongly nonlinear wave equation [J].Internet J Modern Phys B, 2006 ,20 (10):1141-1199.

[6] HE J H.Non-preservative methods for strongly nonlinear problems [J].Berlin: dissertation.De-Verlag in Internet GmbH, 2006.

[7] HE J H.New interpretation of homotopy perturbation method[J].Internet J Modern Phys B, 2006 ,20(18):2561-2568.

[8] Erdunbuhe, Temuerchaolu.A Generalized (G'/G)-expansion method and its applications to the Whitham-Broer-Kaup-like equations [J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版, 2012，41(2): 120-131.

[9] TAO Z L.Variational approach to the Benjamin Ono equation [J].Nonlinear analysis: real world applications, 2009,10(3):1939-1941.

[10] TAO Z L.Solving breaking solution equation by He′s variational method [J].Comput Math Appl, 2009 (58):2395-2397.

[11] ZHANG J.Variational approach to solitary wave solution of the generalized Zakharov equation [J].Comput Math Appl, 2007 (54):1043-1046.