侯曉超, 黃穎為

(西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

非圓齒輪是產(chǎn)生非勻速運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)之一，相對(duì)于勻速的輸入能夠方便地得到非勻速的輸出，它綜合了圓形齒輪和凸輪機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn), 能準(zhǔn)確地以變傳動(dòng)比傳遞較大的動(dòng)力，具有傳動(dòng)平穩(wěn)精確、傳遞效率高和結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于包裝機(jī)械、印刷機(jī)械、泵、流量計(jì)等輕工設(shè)備中[1]。

非圓齒輪節(jié)曲線是非圓齒輪設(shè)計(jì)的關(guān)鍵[2]，人們?cè)诜菆A齒輪方面的研究已取得了一定的成就，但是在設(shè)計(jì)方面，對(duì)于非圓齒輪節(jié)曲線的形狀還未能尋找出一種有效的控制方法[3-4]。因?yàn)椴⒎侨我庑螤畹那€都能用作非圓齒輪節(jié)曲線，實(shí)用的非圓齒輪節(jié)曲線形狀受到許多限制[5]，導(dǎo)致節(jié)曲線封閉的非圓齒輪的種類較少[5]，因此開發(fā)具有新式傳動(dòng)特性的非圓齒輪是十分必要的[6]。

心形非圓齒輪及其共軛齒輪傳動(dòng)是一種新式變傳動(dòng)比傳動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)不同于橢圓齒輪和偏心圓齒輪的傳動(dòng)規(guī)律[7]。

1 心形非圓齒輪的傳動(dòng)特性及節(jié)曲線設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)非圓齒輪的主要任務(wù)就是確定它的節(jié)曲線。節(jié)曲線實(shí)際上是一對(duì)相互嚙合的齒輪在其嚙合過程中實(shí)現(xiàn)無滑動(dòng)地滾動(dòng)的共軛曲線[8]。

圖1所示為一對(duì)心形非圓齒輪傳動(dòng)，因?yàn)橹鲃?dòng)輪的節(jié)曲線形狀為心形，故稱為心形非圓齒輪。該齒輪副中心固定，節(jié)點(diǎn)在中心連線上，當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)一圈時(shí)，從動(dòng)輪也轉(zhuǎn)動(dòng)一周。

圖1 心形非圓齒輪傳動(dòng)

由于中心固定，兩齒輪嚙合半徑r1、r2之和恒為中心距的長(zhǎng)度E，有:

r1+r2=E

(1)

設(shè)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為φ1，瞬時(shí)角速度為ω1，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為φ2，瞬時(shí)角速度為ω2，瞬時(shí)傳動(dòng)比可表示為：

(2)

對(duì)某心形非圓齒輪副進(jìn)行測(cè)繪，得到中心距、齒輪模數(shù)和主動(dòng)輪齒頂離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過換算得主動(dòng)輪節(jié)曲線數(shù)據(jù)，再運(yùn)用公式(2)換算成傳動(dòng)比數(shù)據(jù)，將此數(shù)據(jù)輸入Matlab繪圖，得到心形非圓齒輪傳動(dòng)比變化規(guī)律曲線如圖2所示。

圖2 心形非圓齒輪傳動(dòng)比變化曲線

觀察圖2可知：在整個(gè)圓周上很難找到一個(gè)曲線方程擬合該心形非圓齒輪傳動(dòng)比變化規(guī)律曲線，所以筆者采用分段擬合的方法；在一個(gè)周期([0,2π])內(nèi)，該曲線是以φ1=π為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱曲線，所以只需研究0到π上的變化規(guī)律; 在(0,θ1)段傳動(dòng)比不變，稱為等速段。從A點(diǎn)開始傳動(dòng)比曲線下降，從動(dòng)輪速度開始增大，直到B點(diǎn)曲線到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)從動(dòng)輪速度達(dá)到最大值。然后曲線上升，從動(dòng)輪速度開始減小，直到C點(diǎn)曲線到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)從動(dòng)輪速度達(dá)到最小值。因此稱AB段為加速段，BC段為減速段。由于在計(jì)算非圓齒輪加工數(shù)據(jù)過程中要用到節(jié)曲線的二階導(dǎo)數(shù)[9]，所以采用三次曲線分段構(gòu)造加速段和減速段非圓齒輪節(jié)曲線，從而構(gòu)造整個(gè)心形非圓齒輪的節(jié)曲線[10]。

設(shè)主動(dòng)輪節(jié)曲線方程r1(φ1)為：

(3)

如圖1所示，心形非圓齒輪主動(dòng)輪節(jié)曲線等速段(θ1對(duì)應(yīng)圓弧)嚙合半徑恒等于中心距的一半，加速段為AB段，減速段為BC段，加速段節(jié)曲線AB經(jīng)過點(diǎn)A(θ1，E/2),點(diǎn)B(θ2，r1max)，由于節(jié)曲線必須光滑連接，故節(jié)曲線連續(xù)且一階可導(dǎo)。等速段導(dǎo)數(shù)為零，即節(jié)曲線在A點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)為零，A點(diǎn)可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)必須相等，因此節(jié)曲線在A點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)等于零。節(jié)曲線在B點(diǎn)取得極大值，故節(jié)曲線在B點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也等于零。聯(lián)立線性方程組：

(4)

可解得AB段節(jié)曲線方程。

減速段節(jié)曲線BC，經(jīng)過點(diǎn)B(θ2，r1max)和點(diǎn)C(π，r1min)，且分別在B點(diǎn)和C點(diǎn)取得最大值和最小值，故節(jié)曲線在B點(diǎn)和C點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。聯(lián)立線性方程組：

(5)

可解得BC段節(jié)曲線方程。

在非圓齒輪設(shè)計(jì)中，一般會(huì)給定傳動(dòng)比的范圍(imin，imax)和中心距E，節(jié)曲線嚙合半徑的最大值r1max和最小值r1min可以通過公式(6)、(7)計(jì)算得到。

(6)

(7)

這樣就可以得到心形非圓齒輪副主動(dòng)輪的節(jié)曲線方程r1(φ1)。

從動(dòng)輪節(jié)曲線方程:

(8)

調(diào)整θ1、θ2的值,也就是調(diào)整起始加速點(diǎn)和起始減速點(diǎn)的位置，可以改變節(jié)曲線形狀以滿足封閉非圓齒輪傳動(dòng)節(jié)曲線輪齒等分條件。

2 心形非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計(jì)實(shí)例

現(xiàn)以裝盒機(jī)開盒機(jī)構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計(jì)為例，具體說明心形非圓齒輪節(jié)曲線的設(shè)計(jì)方法，驗(yàn)證其方法的正確性和實(shí)用性。并給出從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線、速度曲線、加速度曲線。

裝盒機(jī)開盒機(jī)構(gòu)吸盤在回轉(zhuǎn)一周過程中完成取盒放盒動(dòng)作，取盒放盒動(dòng)作要求在運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)速度為零，中間過程可以盡量快，以提高效率。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中吸盤速度變化規(guī)律為：零—加速—減速—零—加速—減速—零的循環(huán)過程，因此筆者選用心形非圓齒輪以實(shí)現(xiàn)此非勻速比傳動(dòng)要求。開盒機(jī)構(gòu)工作原理如圖3所示。

圖3 非圓齒輪開盒機(jī)構(gòu)工作原理

經(jīng)計(jì)算,該機(jī)構(gòu)中非圓齒輪副需滿足的傳動(dòng)比范圍為(0.85，1.52)，需滿足的中心距為90 mm。加速起始角θ1選π/2，減速起始角θ2選3π/4。代入公式(3)～(7)計(jì)算得到主動(dòng)輪節(jié)曲線方程為：

代入公式(8)可得從動(dòng)輪節(jié)曲線方程，運(yùn)用CAD作圖得到所要非圓齒輪傳動(dòng)節(jié)曲線如圖4所示。

圖4 開盒機(jī)構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線

將主動(dòng)輪節(jié)曲線方程代入公式(2),可以得到傳動(dòng)比函數(shù):

用Matlab繪圖，可以得到設(shè)計(jì)所得心形非圓齒輪副的傳動(dòng)比曲線，如圖5所示。

圖5 傳動(dòng)比曲線

圖6 轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線

圖7 從動(dòng)輪角速度變化曲線

圖8 從動(dòng)輪角加速度變化曲線

從角速度變化曲線看，運(yùn)動(dòng)過程滿足設(shè)計(jì)要求；角加速度變化曲線基本光滑，說明運(yùn)動(dòng)比較平穩(wěn)，沒有大的沖擊。

3 結(jié) 語(yǔ)

非圓齒輪是實(shí)現(xiàn)非勻速傳動(dòng)的一種有效機(jī)構(gòu)，它可以按照設(shè)計(jì)者的要求實(shí)現(xiàn)需要的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文介紹了一種新型非圓齒輪副——心形非圓齒輪，從傳動(dòng)特性出發(fā)分析了該非圓齒輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律。重點(diǎn)闡述了用三次曲線分段構(gòu)造心形非圓齒輪節(jié)曲線,對(duì)非圓齒輪設(shè)計(jì)具有一定的應(yīng)用價(jià)值。最后舉例驗(yàn)證節(jié)曲線設(shè)計(jì)方法，并通過Matlab計(jì)算作圖給出了心形非圓齒輪傳動(dòng)轉(zhuǎn)角函數(shù)曲線，從動(dòng)輪角速度變化曲線和角加速度變化曲線，供設(shè)計(jì)人員選用心形非圓齒輪時(shí)參考。

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