禹奇才，劉愛榮,肖才濤，傅繼陽

(廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心∥廣東高校結(jié)構(gòu)安全與健康監(jiān)測工程技術(shù)研究中心∥廣州市結(jié)構(gòu)安全與健康監(jiān)測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣東 廣州 510006)

拱在外力作用下一般會發(fā)生兩種失穩(wěn)形式：面內(nèi)失穩(wěn)和面外失穩(wěn)。對于大跨肋拱橋，面外失穩(wěn)臨界荷載遠(yuǎn)低于面內(nèi)失穩(wěn)，所以獲得其側(cè)傾失穩(wěn)臨界荷載顯得非常重要。

失穩(wěn)問題是拱結(jié)構(gòu)的重要課題之一，目前計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的方法最常用的有三種[1-3]：①靜力法。靜力法是通過建立平衡微分方程，在滿足邊界條件的情況下求得臨界荷載，即求解彈性系統(tǒng)平衡路徑分支點(diǎn)所對應(yīng)的荷載值。這種方法比較繁瑣，且平衡微分方程為超越方程，求解十分困難。②能量法。能量法避免了直接求解法的問題，通過建立彈性系統(tǒng)的位勢ΔEp，求解泛函的一級變分，使得ΔEp=0，即總勢能保持不變，說明初始平衡位置是中性平衡的，從而得到臨界荷載計(jì)算公式。已有學(xué)者們提出了一系列的能量法，如Timoshenko法、Rayleigh-Ritz法、Galerkin法和勢能駐值原理等。通過能量法可求解彈性系統(tǒng)的總勢能不再是正定時的荷載值。③動力法。動力法假定體系通過擾動使得結(jié)構(gòu)在原平衡位置附近作微小自由振動，獲得振動方程，并求出其自振頻率的表達(dá)式，根據(jù)體系處于臨界狀態(tài)時頻率等于零這一條件確定臨界荷載。

除了以上三種常見的失穩(wěn)計(jì)算方法，近年來，突變理論也逐漸在工程中得到應(yīng)用。突變理論是研究自然界中不連續(xù)(跳躍性)變化現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用突變理論可得出拱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型和臨界條件[4]。

突變理論是法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)湯姆[5]20世紀(jì)70年代提出的一種新的數(shù)學(xué)理論，并由Posto T[6]完善應(yīng)用的研究不連續(xù)現(xiàn)象的一種新興的數(shù)學(xué)分支，是研究非線性問題的重要手段。近40年來突變理論已經(jīng)在自然學(xué)科、社會學(xué)科、生物學(xué)科和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。目前，基于突變理論的拱結(jié)構(gòu)屈曲研究代表性研究成果有：魏德敏、戴莉莉、沈茂山[4,7-8]應(yīng)用突變理論研究單拱的面內(nèi)靜力失穩(wěn)和非線性動力穩(wěn)定性；潘岳[9]利用折迭突變和尖點(diǎn)突變模型，研究了圓弧雙鉸拱面內(nèi)對稱和反對稱失穩(wěn)。雖然突變理論可作為研究拱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)行為的一種方法，但大部分學(xué)者致力于彈性拱面內(nèi)失穩(wěn)的分析，對于拱結(jié)構(gòu)的面外失穩(wěn)的研究，目前尚未見諸報(bào)道。相對于面內(nèi)失穩(wěn)研究，面外失穩(wěn)屬空間彎扭變形問題，更具復(fù)雜性，拱的面內(nèi)失穩(wěn)變形通過一個幾何方程即可描述，而面外失穩(wěn)變形需要建立多個幾何變量方程來描述。另外面外失穩(wěn)所涉及的變形能較多，建立能量方程比較困難。本文構(gòu)建了平行組拼雙肋拱的側(cè)傾失穩(wěn)能量表達(dá)式，首次通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，建立了尖點(diǎn)突變模型，獲得了平行組拼雙拱肋系統(tǒng)的平衡曲面M方程和分歧點(diǎn)集B方程，通過分析體系失穩(wěn)條件，計(jì)算了分歧點(diǎn)集解，推導(dǎo)了系統(tǒng)側(cè)傾失穩(wěn)臨界荷載計(jì)算公式，提出了平行組拼雙拱肋側(cè)傾失穩(wěn)臨界荷載計(jì)算新方法，采用突變理論所推出的臨界荷載計(jì)算公式不僅簡潔明了，而且計(jì)算精度較高。

1 突變理論的基本原理

突變理論是以分叉理論、奇異理論和拓?fù)鋵W(xué)為數(shù)學(xué)工具，用以分析如巖石突然斷裂、橋梁突然坍塌、拱壩等受壓結(jié)構(gòu)失穩(wěn)等傳統(tǒng)的微積分方法不能解釋的不連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。突變理論通過給出系統(tǒng)在突變過程的勢函數(shù)，討論相應(yīng)的突變模型，特別是控制空間中突變集的幾何形狀，定性研究不連續(xù)變化現(xiàn)象。按照幾何形狀的不同，可分為折疊型、尖點(diǎn)型、燕尾型等7種類型的初等突變[10]。

拱結(jié)構(gòu)一般在設(shè)計(jì)荷載作用下變形光滑連續(xù)，但在特殊情況下，如剛度不足，突然失穩(wěn)，從一種連續(xù)的狀態(tài)突然跳躍到不連續(xù)的狀態(tài)，其失穩(wěn)突變過程具有突跳性、滯后性、發(fā)散性、多模型性和不可達(dá)性等特征，這與尖點(diǎn)突變模型的典型性質(zhì)相符合[10]，故本文采用尖點(diǎn)突變模型研究平行組拼雙肋拱的側(cè)傾失穩(wěn)問題。尖點(diǎn)模型突變流形和分叉集如圖1[11]。

圖1 尖點(diǎn)突變模型示意圖Fig.1 Cusp catastrophe model sketch

由圖1，尖點(diǎn)突變的勢函數(shù)為

(1)

式中x是狀態(tài)變量，a和b是控制變量，控制變量a為分裂因素，控制變量b為正常因素，狀態(tài)空間(x,a,b)是三維的。如果系統(tǒng)在演變過程中控制變量a>0，則系統(tǒng)的狀態(tài)位于奇點(diǎn)集的另一側(cè)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果a<0，但系統(tǒng)沿路徑2演化，而不去跨越分叉集，則系統(tǒng)只能以漸變的方式進(jìn)化。只有a<0，且系統(tǒng)沿路徑1跨越分岔集，系統(tǒng)才發(fā)生突變。

相應(yīng)的平衡曲面M(平衡路徑)方程為

(2)

平衡曲面的奇點(diǎn)集S除了滿足式(2)，尚應(yīng)滿足：

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)并消去狀態(tài)變量x可得分叉集B：

Δ=4a3+27b2=0

(4)

由圖1可知，平衡曲面M是一帶有褶皺的曲面，M曲面分為三葉。

(5)

(6)

能量取極小值，物體才處于穩(wěn)定狀態(tài)。所以上下葉表示系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，中葉表示不穩(wěn)定狀態(tài)。

2 拱側(cè)傾失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變

2.1 平行組拼雙肋拱側(cè)傾失穩(wěn)的力學(xué)模型

平行組拼雙肋拱在徑向均布荷載作用下，側(cè)傾失穩(wěn)后的變形圖、空間曲線坐標(biāo)如圖2所示。

圖2 平行組拼雙肋拱側(cè)傾失穩(wěn)變形Fig.2 Parallel dual-arch-ribs buckling deformation

組拼拱發(fā)生側(cè)傾失穩(wěn)后，任意截面s垂直于拱平面x軸，在指向拱軸法向的y軸和在拱軸切線重合的z軸三個方向分別發(fā)生了線位移u、υ、ω并繞這三個軸發(fā)生轉(zhuǎn)角β、γ、θ。拱肋截面主軸x、y、z也發(fā)生了變位，相對于變形拱的坐標(biāo)系取為ξ、η、ζ。

假設(shè)拱軸線為圓弧拱，則發(fā)生側(cè)傾失穩(wěn)后圓弧拱的扭轉(zhuǎn)角及側(cè)傾位移函數(shù)可分別表示為:

(7)

式中C1、C2分別為拱側(cè)傾變形后拱頂扭轉(zhuǎn)角及拱頂側(cè)傾位移的0.5倍，α為圓弧拱的圓心角，φ為截面s對應(yīng)的圓心角。

公式(7)滿足拱腳兩端固接邊界條件，即：

2.2 側(cè)傾屈曲的能量方程

略去拱的軸向壓縮變形能和剪切變形能的影響，平行組拼雙肋拱的總勢能可表示為：

∏=Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ

(8)

上式中Ux為拱肋的面內(nèi)彎曲變形能、Uy為側(cè)向總體彎曲變形能、Uz為扭轉(zhuǎn)變形能、Uy1為拱肋局部彎曲變形能、Uby為橫撐彎曲變形能、V為豎向外力勢能、UQ為橫向干擾力所做的功。

1)面內(nèi)彎曲變形能Ux。

(9)

(10)

式中，EIx為拱肋面內(nèi)抗彎剛度，k為側(cè)向變形曲率，R為圓弧拱半徑。

2)拱肋的側(cè)傾變形能Uy和扭轉(zhuǎn)變形能Uz。

(11)

代入位移函數(shù)，得

(12)

式中，EIy為拱肋的側(cè)向抗彎剛度，GId為拱肋抗扭剛度。

3) 局部彎曲變形能Uy1和Uby。

組拼雙肋拱側(cè)傾失穩(wěn)的變形和對應(yīng)的彎矩圖如圖3示，拱肋截面繞y軸的轉(zhuǎn)角為γ，拱肋局部變形在節(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角為γ2，則由于剛性節(jié)點(diǎn)上各桿的夾角保持不變，橫撐在節(jié)點(diǎn)A的轉(zhuǎn)角γ1=γ-γ2。設(shè)橫撐的桿端彎矩為M1，拱肋的桿端彎矩為M2。

圖3 拱肋和橫撐的局部變形和彎矩圖Fig.3 Local transformation and bending moment

由橫撐的轉(zhuǎn)角位移方程，可得：

(13)

式中EIby為橫撐沿拱肋徑向的抗彎剛度。

由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件M1=2M2，得

(14)

設(shè)想將彎曲變形能平攤在節(jié)間長度d上，則全部橫撐的彎曲變形能為

(15)

則一個節(jié)間內(nèi)單根拱肋的局部彎曲變形能為

(16)

整體結(jié)構(gòu)局部彎曲變形勢能可表示為

(17)

(18)

4) 外力勢能Vy。

拱軸受均布徑向荷載作用后豎向變形為υ，則外力勢能Vy等于q在υ上所做的功的負(fù)值，即：

(19)

5) 橫向干擾力做功。

設(shè)x軸方向的橫向干擾力為Q，則橫向干擾力所做的功為

(20)

將式(10)、(12)、(17)、(19)、(20)代入式(8)得總勢能：

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(21)

由平衡曲面方程：

(22)

所以，

(23)

將式(23)代入(21)得

∏ =Ux+Uy+Uz+Uy1+Uby-V+UQ=

(24)

2.3 突變模型的建立

利用簡單的數(shù)學(xué)變換，將系統(tǒng)總勢能轉(zhuǎn)化成以a,b為控制變量，以x為狀態(tài)變量的尖點(diǎn)突變模型。作變量代換，令：

(25)

(26)

(27)

變量代換后則，系統(tǒng)能量方程可表示為：

2.4 側(cè)傾屈曲條件分析

由圖1可知，拱的側(cè)傾失穩(wěn)突變行為是一種以b為正常因素，以-a為分裂因素的尖角突變，它的行為曲面M分為三葉。由式(5)，上、下葉表示為

(28)

而中葉表示為

(29)

從圖1中的C平面(控制平面)，M的折線在C上的投影稱為尖角分叉集合，任何加載路徑經(jīng)過分叉集合時都會使拱產(chǎn)生突變行為。

建立靜態(tài)平衡方程：

(30)

上式可表示為尖點(diǎn)突變模型平衡曲面M，平衡曲面M上兩條垂直切線的點(diǎn)集S的方程為

(31)

S集在控制平面上的投影為分叉集B，如圖1。

令：

?2+(?-1)2)+

(32)

所以，

a=(qcr-q)×

(33)

由上式可知qcr與橫撐間距d2成反比，與拱肋間距b成反比。

當(dāng)在平衡曲面M中葉時，則必須滿足式(29)即，3x2+a<0，由x2>0，所以a<0即q>qcr時，即結(jié)構(gòu)處于失穩(wěn)狀態(tài)。

當(dāng)在平衡曲面M上、下葉時，由式(28)得3x2>-a，由圖1，當(dāng)a>0時，即q-a恒成立；當(dāng)a<0，即q>qcr時，且滿足3x2>-a時，此時對應(yīng)組拼雙肋拱失穩(wěn)后的平衡狀態(tài)， M曲面是在褶皺外的上、下葉上。由b的正負(fù)決定曲面M是在上葉還是下葉。當(dāng)b<0時，即Q<0對應(yīng)上葉。當(dāng)b>0，Q>0對應(yīng)下葉。橫向干擾力Q的正負(fù)值表示力的方向。

當(dāng)在平衡曲面M的S集上時，由式(31)得3x2+a=0，此時對應(yīng)著臨界狀態(tài)，組拼雙肋拱處于平衡狀態(tài)，即x=0，所以a=0，q=qcr，qcr即為臨界荷載，當(dāng)q>qcr時，發(fā)生第一類分支點(diǎn)失穩(wěn)。

3 算例分析

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

為了驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的側(cè)傾臨界荷載計(jì)算公式的正確性，采用Midas/Civil軟件，建立一組不同跨徑、不同矢跨比的組拼雙肋拱有限元計(jì)算分析模型，有限元模型中的橫撐數(shù)目和間距根據(jù)表1中的d確定，圖4僅僅為有限元計(jì)算模型示意圖。拱肋和橫撐均采用梁單元。表1給出了跨徑為60～120 m的平行組拼雙肋拱的計(jì)算參數(shù)；表2為臨界荷載理論解與有限元數(shù)值解的比較，可以看出理論解與有限元計(jì)算結(jié)果的比較非常吻合，最大誤差為4.97%。說明本文基于尖點(diǎn)突變理論所推導(dǎo)的平行組拼雙肋拱側(cè)傾失穩(wěn)臨界荷載的理論計(jì)算公式是正確、可靠的。

表1 計(jì)算參數(shù)

4 結(jié) 論

1)引入突變理論，推導(dǎo)了平式組拼雙肋拱的側(cè)傾失穩(wěn)能量方程，建立了雙拱肋側(cè)傾屈曲的尖點(diǎn)突變模型。

2)基于突變理論基本原理，根據(jù)尖點(diǎn)突變模型的M曲面圖形，分析了平式組拼雙肋拱側(cè)傾臨界荷載與平衡曲面M上中下葉的對應(yīng)關(guān)系，首次推導(dǎo)出平行組拼雙肋拱的側(cè)傾失穩(wěn)臨界臨界荷載qcr計(jì)算公式。

3)通過與有限元數(shù)值解進(jìn)行對比，證明了突變理論適用于組拼雙肋拱的側(cè)傾失穩(wěn)分析，且驗(yàn)證了本文所建立的尖點(diǎn)突變模型和所推導(dǎo)的臨界荷載qcr計(jì)算公式的正確性。

4)由本文推導(dǎo)的側(cè)傾失穩(wěn)臨界荷載qcr計(jì)算公式可知qcr與橫撐間距d2成反比，與拱肋間距b成反比。

表2 臨界荷載理論解與有限元解的比較

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