高京南，楊秀良

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

1 引言和預(yù)備知識(shí)

令Xn＝｛1，2，…，n｝．集合Xn上的所有保序部分單變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn上的保序部分單變換半群，記作IOn；Xn上的所有保序部分變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn上的保序部分變換半群，記作POn．它們的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究［1－5］．特別的，V．H．Fernandes［1］研究了IOn的同余，楊浩波［5］研究了POn的同余．本文將進(jìn)一步研究IOn到POn的同態(tài)．

本文的映射是右映射．令S，T為兩個(gè)半群．φ：S→T為映射．若對(duì)任意的x，y∈S，都有（x）φ（y）φ＝（xy）φ，則稱φ為同態(tài)．由文獻(xiàn)［2］知，IOn，POn均為正則半群．

首先介紹一些符號(hào)．S為半群，S中元素的個(gè)數(shù)記為｜S｜，S中的冪等元構(gòu)成的集合記為E（S）．令α：Xn→Xn為映射，記α的定義域?yàn)閐om（α），α的像集記為im（α）．im（α）中元素的個(gè)數(shù)稱為α的秩，記為r（α）．LA表示定義域?yàn)锳的冪等元，其中A?Xn．任取t∈｛1，2，…，n｝，設(shè)集合t｝．則是由的所有冪等元構(gòu)成的集合，故記空變換為0，恒等變換為1n，即

2 主要結(jié)果

在本文中我們得到下面的結(jié)果：

（1）對(duì)任意的α∈IOn，都有（α）φ＝α；

（2）對(duì)任意的α∈IOn，有（α）φ＝α＊，其中：

i1＜i2＜…＜ik且j1＜j2＜…＜jk；

（3）存在冪等元e，f∈E（POn），其中e≠f且ef＝fe＝f，有（1n）φ＝e，（IOn＼｛1n｝）φ＝f；

（4）選取e∈E（POn），對(duì)任意的α∈IOn，都有（α）φ＝e．

（5）（α）φ＝i?dom（α），j?im（α），π為Xn上的雙射，

3 定理1的證明

容易驗(yàn)證定理1給出的映射均是IOn到POn的同態(tài)，故只需證明IOn到POn的所有同態(tài)均可表示成定理1給出的其中某種形式．

令φ為IOn到POn的同態(tài)，則Kerφ＝｛（a，b）∈IOn×IOn：（a）φ＝（b）φ｝．由文獻(xiàn)［1］知，Kerφ為Rees同余，又由文獻(xiàn)［3］知，IOn的所有理想均有形式＝｛α∈IOn：r（α）≤k｝，0≤k≤n．故存在0≤k≤n，使

當(dāng)k＝n時(shí)，Kerφ只有一個(gè)同余類，為IOn，此時(shí)φ滿足形式（4）；當(dāng)k＝n－1時(shí)，Kerφ共有兩個(gè)同余類，分別為，1n，此時(shí)φ滿足形式（3）．故只需討論0≤k≤n－2時(shí)的情況．

當(dāng)k＝0時(shí)，φ在IOn上為單射．φ是同態(tài)，故φ保持冪等元和類．因此對(duì)任一x∈Xn，都存在唯一的y∈Xn，使得（L｛x｝）φ＝L｛y｝．定義μ為Xn上的置換，其中若（L｛x｝）φ＝L｛y｝，就有（x）μ＝y(tǒng)．令α∈IOn，則對(duì)任意的x，y∈Xn，有（x）α＝y(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)L｛x｝α＝L｛y｝，或（L｛x｝）φ·（α）φ＝（L｛y｝）φ，即（（x）μ）（（α）φ）＝（y）μ．

若存在i＜j，使得（i）μ＜（j）μ，并且存在k＜l，使得（l）μ＜（k）μ，如果

故當(dāng)i＜j時(shí)，要么有（i）μ＜（j）μ，要么有（j）μ＜（i）μ．若（i）μ＜（j）μ，則μ是恒等映射，此時(shí)對(duì)應(yīng)的同態(tài)φ具有第（1）種形式．若（j）μ＜（i）μ，則有

此時(shí)對(duì)應(yīng)的同態(tài)φ具有第（2）種形式．

當(dāng)1≤k≤n－2時(shí)，為討論此情況，首先引入以下引理．

同理可得e2e1＝LA．從而e1e2＝e2e1∈．

引理2 設(shè)φ是IOn到POn的同態(tài)，Kerφ＝，1≤k≤n－2，令（）φ＝η，其中η∈POn為冪等元．則是由中個(gè)冪等元構(gòu)成的集合，且對(duì)任意的，都有αβ＝βα＝η．

習(xí)近平總書記在黨的十九大報(bào)告中指出：“堅(jiān)持富國(guó)和強(qiáng)軍相統(tǒng)一，強(qiáng)化統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)、頂層設(shè)計(jì)、改革創(chuàng)新和重大項(xiàng)目落實(shí)，深化國(guó)防科技工業(yè)改革，形成軍民融合深度發(fā)展格局，構(gòu)建一體化的國(guó)家戰(zhàn)略體系和能力?！边@是以習(xí)近平同志為核心的黨中央著眼新時(shí)代堅(jiān)持和發(fā)展中國(guó)特色社會(huì)主義，著眼國(guó)家發(fā)展和安全全局作出的重大戰(zhàn)略部署。

αβ＝（γ）φ（δ）φ＝（γδ）φ＝η，βα＝（δ）φ（γ）φ＝（δγ）φ＝η．

從而αβ＝βα＝η．

有了以上引理作為理論依據(jù)，接下來繼續(xù)對(duì)1≤k≤n－2時(shí)的情況進(jìn)行討論．

當(dāng)1≤k≤n－2時(shí)，由可知，為Kerφ的一個(gè)同余類．故可設(shè)＝τ，其中τ∈POn為冪等元．不失一般性，令r（τ）＝i，其中0≤i≤n．

ατ＝（β）φ（γ）φ＝（βγ）φ＝τ，τα＝（γ）φ（β）φ＝（γβ）φ＝τ，

因此ατ＝τα＝τ．

情況1 當(dāng)1≤k≤n－3時(shí)，2≤k＋1≤n－2，則＞n．故．此時(shí)不等式無解，從而此情況不成立．

情況2 當(dāng)k＝n－2時(shí)，有＝n，故．解此不等式可得i＝0，x＝1．即＝｛0｝，．

下面又分兩種子情形：

子情況2．1 設(shè)（1n）φ＝LA，A≠Xn．令δ1，δ2，…，δn，其中dom（δi）＝Xn＼｛i｝．則，i≠j．設(shè)（δi）φ＝LAi，i＝1，2，…，n．則由δi1n＝1nδi＝δi可得

（δi）φ（1n）φ＝（1n）φ（δi）φ＝（δi）φ，

（?i∈Xn）（ie）π＝j(luò)e．

則π是Xn上的雙射，且對(duì)任意的i∈Xn，都有（L｛i｝′）φ＝a（i）π．

a（i）π（α）φa（j）π＝（L｛i｝′）φ（α）φ（L｛j｝′）φ＝（α）φ≠0．

故k＝n－2時(shí)，具有第（5）種形式．

［1］Fernandes V H．The monoid of all injective order preserving partial transformations on a finite chain［J］．Semigroup Forum，2001，62（2）：178－204．

［2］Ganyushkin O，Mazorchuk V．Introduction to classical finite transformation semigroup［M］．London：Springer Verlag，2009：259－282．

［3］Ganyushkin O，Mazorchuk V．On the structure ofIOn［J］．Semigroup Forum，2003，66（3）：455－483．

［4］Howie J M．Fundamentals of semigroup theory［M］．New York：Oxford University Press，1995：132－159．

［5］楊浩波．保序部分變換半群上的同余［J］．杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，6（3）：161－163．