宋治濤

摘要：

對古典概型中的均等分組問題進行了研究；并分析了幾種常見的均等分組情況，結合實例給出了相應的算法。

關鍵詞：

古典概型； 均等分組； 排列組合

中圖分類號：

G4

文獻標識碼：A

文章編號：1672-3198（2014）04-0165-03

1 問題的提出

概率統(tǒng)計課程是大學數(shù)學的一門重要的基礎理論課程之一，是絕大部分本科生的必修課程。其前半部分是概率論的知識，后半部分是統(tǒng)計學的知識；在概率論的知識中，必然會講到最古老、最理想的隨機試驗——古典概型，在其中必定會講解一類典型的例題——分配問題，如文獻[1][2]中都用到了下述例題：

引例 把15名新生隨機地平均分到三個班級去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生，問：

（1）每個班各分到一名優(yōu)秀生的概率是多少？

（2）3名優(yōu)秀生分到同一個班的概率是多少？

解 （1）令A：“每個班各分到一名優(yōu)秀生”，

則A中樣本點的個數(shù)為（3?。ぃ–412C48C44）。

又因為樣本空間中樣本點的總個數(shù)為C515C510C55，

2 均等分組的各種情況

為了便于說明問題，我把均等分組分解為兩種情況來說明，先討論比較簡單的完全均等分組的情況，然后就推廣的一般情況進行總結，并分別就不同的情況給出相應的實例及計算公式。

2.1 完全均等分組

定義1 把n=km個元素隨機地等分成m組，每組有k個元素，我們稱這樣的分組為完全均等分組。

在上述完全均等分組的定義中，沒有對元素是否相同和組是否有別給出說明，下面針對元素、組的各種可能情況，分別給出實例。

2.1.1 相同元素的分組

定義2 相同元素的分組是指參加分組的元素完全一樣，相互之間沒有區(qū)別。

下面通過兩個實例來說明相同元素分組的兩種情況。

例1 把4個相同的乒乓球放到四個完全一樣的盒子中，每個盒子中都有一個球，問一共有多少種放法？

分析 本題的實質是把四個乒乓球均分成四份；因為球完全相同，所以只有一種分組情況；又因為盒子完全一樣，所以與排列無關，不論怎么放，結果都是一樣的。最后的結果只有一種。

例2 把4個相同的乒乓球放到四個不同的盒子中，每個盒子中都有一個球，問一共有多少種放法？

分析 本題的實質還是把四個乒乓球等分成四份；因為球完全相同，所以只有一種分組情況；雖然盒子不一樣了，但是不論怎么放，結果都是一樣的。所以最后的結果仍然只有一種。

綜上可得，相同元素的完全均等分組只有一種分法。

2.1.2 不同元素的無序分組

定義3 不同元素的無序分組是指把n=km個不同元素隨機地等分成m組（組內(nèi)元素沒有順序之分），每組有k個元素，且組之間沒有任何區(qū)別。

對于這種分組，因為組之間沒有區(qū)別，所以分組與組的順序無關，但是與組的數(shù)量有關；下面通過實例加以說明。

例3 把10名籃球隊員隨機地等分成兩組進行籃球比賽，問總共有多少種分法？

分析 把10名隊員分別記為M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7，M8，M9，M10，然后進行如下分組：

（1）M1，M2，M3，M4，M5 M6，M7，M8，M9，M10

（2）M6，M7，M8，M9，M10 M1，M2，M3，M4，M5

（3）M1，M2，M3，M4，M6 M5，M7，M8，M9，M10

（4）M5，M7，M8，M9，M10 M1，M2，M3，M4，M6

…… ……

從上表可以看出，（1）、（2）的區(qū)別僅僅是選取隊員的先后順序不同，從分組比賽的實質來看是一樣的，所以它們只能算是一種分組情況；（3）、（4）也是屬于同一種分組；以此類推，各種可能的取法都是兩兩相同的。

2.2 不完全均等分組

定義5 不完全均等分組是指把n個元素或其一部分隨機地分成m組（組內(nèi)元素沒有順序之分），其中部分組含有元素個數(shù)相等。

不完全均等分組情況比較復雜，不僅涉及元素是否相同、分組是否有序，還與所含元素個數(shù)相等的組的種數(shù)有關，下面分情況給出。

相同元素的分組情況與完全均等分組基本一致，在這里就不再贅述。

2.2.1 不同元素的無序分組

定義6 不同元素的無序分組是指把n個不同元素或其一部分隨機地分成m組，其中各組或部分組所含元素個數(shù)相等，且組與組之間沒有區(qū)別。

此種分組與上述完全均等分組中的無序分組情況類似，下面通過兩個實例來說明。

例6 從12名籃球隊員中選出10名，然后平均分成兩組，問有多少種不同的分法？

2.2.2 不同元素的有序分組

定義7 不同元素的有序分組是指把n個不同元素或其一部分隨機地分成m組，其中各組或部分組所含元素個數(shù)相等，且組與組之間有順序區(qū)別。

此種分組也是典型的分配問題，首先按組取出來，然后分配到各個不同的組中去。在上述不同元素的無序分組基礎上，再加以排列就可以了。下面通過三個實例來說明。

例8 從12名籃球隊員中隨機地選出10名，然后平均分成兩組，分別由甲、乙?guī)ш犛柧?，問有多少種不同的分法？

3 結束語

綜上可知，均等分組的實際題目千差萬別，大家在做題時，一定要仔細閱讀題干，首先分清大類，然后關注細枝末節(jié)，靈活運用計算方法。

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2003：12-18.

[2]卓相來，岳嶸.概率統(tǒng)計簡明教程[M].東營：中國石油大學出版社，2012：12-17.

[3]劉鳳霞.從一次討論引出的思考[J].高等數(shù)學研究，2005， 8（6）：18-20.

[4]李智明，張長城.關于分配問題的一點注記[J].高等數(shù)學研究，2009， 12（1）：89-92.