李艷艷，黃衛(wèi)華

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000）

離散數(shù)學與高中數(shù)學新課標中常用邏輯用語的銜接研究

李艷艷，黃衛(wèi)華

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000）

作者在教材分析的基礎上，通過對高中數(shù)學新課程標準中命題及其關系、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、充分條件、必要條件、全稱量詞、存在量詞與離散數(shù)學中的命題符號化及聯(lián)結(jié)詞、推理理論、一階邏輯知識的比較，研究其異同點，從而更好地指導大學離散數(shù)學的教學。

離散數(shù)學；新課標；命題；符號化

1 問題的提出

“離散數(shù)學”是數(shù)學專業(yè)、計算機專業(yè)、經(jīng)濟類等專業(yè)的一門重要的基礎理論課程，它在計算機科學及相關領域中有著廣泛的應用背景，隨著計算機的普及，這門課程越發(fā)顯得重要?！半x散數(shù)學”第一章與第二章的部分內(nèi)容如命題符號化及聯(lián)結(jié)詞，推理理論，一階邏輯等知識，在新課標[1]高中數(shù)學選修1-1中有所講解，可是大學老師對這部分的高中知識不太了解，所以在“離散數(shù)學”的教學中教師對學生基礎掌握不夠，講解上也難以把握知識的深度和廣度。

下面通過對新課標[1]高中數(shù)學選修1-1與《離散數(shù)學》教材的分析研究這些問題的銜接。

2 銜接問題研究

2.1 命題及其關系，簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞與命題符號化

新課標教材給出了命題的定義及命題的分類（真命題，假命題），數(shù)學中常見的命題形式“若p則q”與其等價形式“如果p，那么q”，“只要p，就有q”，主要對“若p則q”的形式討論了原命題，逆命題，否命題，逆否命題的形式與真假關系還有且，或，非三種簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞。

離散數(shù)學在命題定義的基礎上首先將命題分為簡單命題和復合命題，為了命題的符號化給出了更加全面的嚴格的邏輯聯(lián)結(jié)詞的定義，即且，非，或（相容或，排斥或），蘊涵，等價，與非，或非等。

下面首先給出且，或，非，蘊涵聯(lián)結(jié)詞的定義，然后對它們比較分析。

新課標定義：

1） 一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作p∧q，讀作p且q。

2）一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作p∨q，讀作p或q。

3）一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作﹁p，讀作“非p”或p的否定。

離散數(shù)學中的定義：

小寫的英文字母p, q, r, s…表示簡單命題

4）設p, q為兩命題，復合命題“p和q”稱作p與q的合取式，記作p∧q，∧為合取聯(lián)結(jié)詞。

5）設p, q為兩命題，復合命題“p或q”稱作p與q的析取式，記作p∧q，∨為析取聯(lián)結(jié)詞。

6）設p為任一命題，復合命題“非p”稱為p的否定式，記作﹁p，﹁為否定聯(lián)結(jié)詞。

7）設p, q為兩命題，復合命題“如果p，則q”稱作p與q的蘊涵式，記作p→q，→稱作蘊涵聯(lián)結(jié)詞。

直接比較1），2），3）與4），5），6）我們發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學中給出的定義是在簡單命題的基礎上去定義復合命題時引進了邏輯聯(lián)結(jié)詞，更加自然，而且將命題分的比較詳細，給出的聯(lián)結(jié)詞也比較全面；新課標只是邏輯的簡單初步給出的定義籠統(tǒng)且粗糙，沒有對命題分類。所以這種情況教學時就要在同學們中學知識的基礎上，將定義擴展，這樣知識就提升了高度。

新課標中沒有講解蘊涵聯(lián)結(jié)詞可是卻花了大量篇幅詳細的分析了“若p則q”這種形式的命題；離散數(shù)學在7）的基礎上更加全面的講解了蘊涵式以及變形形式“只有p才q，除非p否則q，p僅當q”。這種情況教學時應在復習中學知識的基礎上給出確切的定義，并講解常見的變形形式的符號化。下面通過具體例子進行分析。

例1如果天不下雨，我就不騎自行車上班。

解：若是按照中學課本的要求改寫成“若p則q”，“如果天不下雨，則我不騎自行車上班”；按照《離散數(shù)學》要求符號化，p：天下雨，q：我騎自行車上班，“﹁p →﹁q”。

例2只有天不下雨，我才騎自行車上班。

解：若是按照中學知識的要求改寫成“如果我騎自行車上班，那么天不下雨”，可是這個結(jié)果學生很不好理解，符號化為“q →﹁p”。

例3派小王與小李中的一人去上海。

解：中學對此問題沒有進行詳細的討論，可是離散數(shù)學中將這種情況稱為排斥或，意思是小王去上海并且小李不去上海，或者小李去上海并且小王不去上海，符號化為( p∧﹁q)∨(﹁q∧q)。

通過例3我們知道離散數(shù)學將邏輯連接詞“或”分為兩種情況即“相容或”與“排斥或”，這種分類更加符合實際，而高中內(nèi)容沒有對此分類。

例4王一樂是計算機系的學生。他生于1968年或1969年，他是三好學生。

解：該問題若是用高中知識改寫成“若p則q”的形式是辦不到的，它的符號化應該為p:王一樂是計算機系的學生，q:他生于1968年，r:他生于1969年，s:他是三好學生“( p∧(q∨r)∧s)”。

2.2 充分條件，必要條件與推理理論

新課標中的定義

8）一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時，我們就說，由p可以推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件。

9）一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時，我們說，p是q的充分必要條件。

離散數(shù)學定義

10）若(A1∧A2∧…∧Ak)→B為重言式，則稱A1, A2,…, Ak推出結(jié)論B的推理正確，B是A1, A2,…, Ak的邏輯結(jié)論或有效結(jié)論，記作(A1∧A2∧…∧Ak) B。

判斷下列推理是否正確

例5a: 如果天氣涼快，小王就不去游泳。天氣涼快，所以小王沒去游泳。

b: 如果我上街，我一定去新華書店。我沒上街，所以我沒去新華書店。

解：這兩個問題用高中知識判斷可知：都正確，但實質(zhì)上a正確，b錯誤。

具體求解過程為a: p:天氣涼快；q：小王去游泳，寫成推理的形式結(jié)構(gòu)為：((p →﹁q)∧p)→﹁q通過等值演算法得到真值為1；b: p:我上街，q：我去新華書店，寫成推理形式為((p →q)∧﹁p)→﹁q，通過主析取范式法得推理錯誤。

新課標中強調(diào)了由p通過推理可以得出q，即條件p一定是真命題，而離散數(shù)學中特別強調(diào)了當p是假命題時都有pq，所以在離散數(shù)學的教學時應在高中的基礎上針對這種情況重點講解，但是在以往的教學中發(fā)現(xiàn)這種情況學生很難理解。離散數(shù)學在高中充分條件與必要條件的基礎上講解的推理理論包含知識更加廣泛，內(nèi)容更有深度。

2.3 全稱量詞，存在量詞與一階邏輯

新課標定義

11） 短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。例如每個對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。

12） 短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。例如有些函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)。

13）全稱命題：“對個體域中M的任意一個x，有p(x)成立”符號化為x∈M, p(x)。

14）特稱命題：“存在個體域M中的一個x0，使p(x0)成立”符號化x0∈M, p(x0).

新課標講的比較簡單可是離散數(shù)學是在對簡單命題進行更加詳細的符號化時引進了個體詞，個體域，謂詞，量詞。

離散數(shù)學定義

全稱量詞 對應日常語言中的“一切”，“所有的”，“任意的”等詞，用符號“”表示。

x表示對個體域里所有個體。xF(x)表示個體域里所有個體都有性質(zhì)F。

存在量詞 對應日常語言中的“存在著”，“有一個”，“至少有一個”等詞，用符號“”表示。x表示對個體域里所有個體。xF(x)表示個體域里所有個體都有性質(zhì)F。

離散數(shù)學還特別強調(diào)了全總個體域（宇宙間一切事物構(gòu)成的個體域），新課標沒有強調(diào)。

例6將“所有的人都長著黑頭發(fā)”符號化

解：M :人的集合，p(x)長著黑頭發(fā)，x∈M, p(x)。

離散數(shù)學中，若考慮個體域為人類集合應符號化為xp(x)，p(x): x長著黑頭發(fā)，若考慮個體域為全總個體域，則引進特性謂詞M(x) ：x是人，這時符號化為x(M(x)→p(x))。

新課標

例7將“有的文山人沒去過文筆塔”。

從這兩個例子我們發(fā)現(xiàn)新課標中的個體域?qū)嶋H上就是離散數(shù)學的全總個體域。

通過以上三方面的比較使我們更好的了解了中學簡單邏輯的內(nèi)容，也就掌握了學生的中學基礎，離散數(shù)學教學時就能根據(jù)這些相同點和不同點更好的做教學設計從而讓學生更加透徹的掌握所學內(nèi)容。

［1］ 人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.新課標、高中數(shù)學選修1-1[M].北京：人民教育出版社，2013：1-60.

［2］ 耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數(shù)學[M].北京：清華大學出版社，2010：1-41.

Research on the Link between Discrete Mathematics and the Common Logic Language in New Mathematics Standard for High Schools

LI Yan-yan, HUANG Wei-hua
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

The paper studies the differences and similarities among propositions and their relations, simple logical connectives, sufficient condition, necessary condition, universal quantifier, existential quantifier and the symbolization of proposition and connectives in discrete mathematics, reasoning theory, the first-order logic knowledge, for providing better guidance for college discrete mathematics teaching, based on the analysis of new mathematics standard for high schools.

Discrete mathematics; new curriculum standard; proposition; symbolization

O158

A

1674-9200（2014）06-0040-03

（責任編輯 劉常福）

2014-03-14

文山學院重點學科“數(shù)學”建設項目（12WSK01）。

李艷艷（1982-），女，甘肅慶陽人，文山學院數(shù)學學院講師，碩士，主要從事矩陣理論及其應用研究。