周啟元 向緒言 鄒慶云

摘 要 結合數學分析課程特點，在數學分析課程教學中實施發(fā)現教學法，對于激發(fā)學生的學習興趣和自主學習意識，培養(yǎng)學生解決問題的能力、團隊合作能力具有重要的意義。

關鍵詞 數學分析 發(fā)現教學法 教學改革 實踐

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

發(fā)現教學法亦稱假設法和探究法，是美國認知主義心理學家布魯納提倡的一種啟發(fā)式的教學方法，是指教師在學生學習概念和原理時，不是將學習的內容直接提供給學生，而是向學生提供一種問題情境，只是給學生一些事實（例）和問題，讓學生積極思考，獨立探究，自行發(fā)現并掌握相應的原理和結論的一種方法。①布魯納認為，學生主要不是去發(fā)現人類尚未知曉的事物，而是去認識人類幾千年來的認知成果和歷史經驗。

1 對數學發(fā)現法教學的認識

所謂數學發(fā)現教學法，就是指借助教師和教科書向學生提出一系列精心設計的數學問題或作業(yè)，使學生在閱讀、觀察、實驗、解題等過程中，親自去“發(fā)現”數學的概念、定理和解題方法等，使學生成為知識的“發(fā)現者”，以達到使學生加深對知識的體驗和感悟，逐步形成學習和研究數學的積極態(tài)度與情感，掌握學習和研究數學的基本方法與技能，發(fā)展學習和研究數學的能力的目的。②

2 發(fā)現教學法在數學分析③教學中的探索與實踐

數學分析課程是高等院校數學類專業(yè)的主干課程，在培養(yǎng)學生形成嚴謹的邏輯思維能力和推理論證能力、提高學生運用數學方法解決實際問題的能力和開拓學生的創(chuàng)新能力等方面都起著重要的作用。但長期以來，數學分析的教學效果總是不能令人滿意。如何通過改革數學分析課程的教學，提高數學分析的課堂教學效果和教學質量一直是受關注的問題，近年來，也有不少學者做了這方面的研究。④⑤本文將從數學分析的概念教學、命題教學、解題教學、課后作業(yè)等方面嘗試進行發(fā)現教學法，促使學生成為知識的“發(fā)現者”。

2.1 在數學概念的導入中實施發(fā)現教學法

建構主義觀點認為，數學知識不是簡單地通過教師傳授到學生頭腦中去，而是要根據個人的操作、體驗、感悟、交流，思維由淺入深，由低級到高級，由感性認識上升到理性認識來主動構建，并通過反省來調節(jié)。⑥

關于定積分概念的建立，是通過求曲邊梯形的面積與變力所做的功而引入的。在求曲邊梯形面積時，是通過分割、近似作和得到其近似值。教學中通常是直接對曲邊梯形進行塊分割，學生往往不得要領，我們從學生能解決矩形面積的計算與逼近思想出發(fā)，利用發(fā)現法教學，提出課題：曲邊梯形面積如何用對應的矩形面積去近似代替而使得其誤差趨于零？引導學生將曲邊梯形中的連續(xù)曲線所在的邊用一條水平線段代替，就得到一個曲邊梯形面積的近似值，但誤差較大，學生不難發(fā)現：若將該曲邊梯形分成兩塊，即在底邊上插入一個分點，每一塊都用矩形面積代替它，這時的誤差就會比前面的要小.設想：如果將這些曲邊梯形分成三塊（即插入2個分點）、四塊（即插入3個分點）、十塊（插入9個分點）、一百塊、一千塊……、無數多塊，這種誤差是不是會越來越小，最終趨于零？輔助多媒體演示，讓學生表述結論，學生不難得出結論：我們的設想是可行的，即當分的塊愈多（即插入的分點越多），每個小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積，從而小矩形面積的和就越接近曲邊梯形的面積。將此過程用準確的符號語言來敘述并輔以多媒體演示，學生很自然地解決課題所涉及問題，同時也讓學生感知了“以直代曲”的數學思想。

這樣通過明確課題，揭示矛盾，分析矛盾有助于學生對數學概念的深刻領會；有利于數學思想的滲透，同時也有利于學生認識“發(fā)現”思維的某些規(guī)律。

2.2 在數學命題的證明中嘗試發(fā)現教學法

數學命題的證明一般不外乎分析法與歸納法，這種證法實質上就是在已知的條件與現成的結論之間鋪路搭橋，對學生發(fā)散思維的訓練與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)作用不大，發(fā)現教學法能大大地改進其不足，通過引導學生提出一定問題，在條件與結論可能都不大清楚或不十分完整的情況下去完善條件去明確或推廣結論，從而獲得一些正確命題。

拉格朗日中值定理是數學分析中一個非常重要的定理，它的證明過程滲透了一個重要的數學思想方法——構造法。對該定理的證明，通常是直接構造輔助函數，利用羅爾定理去證，學生對構造法的精髓體會不深。我們在證明中嘗試了發(fā)現法教學，針對羅爾定理的第三個條件過于苛刻，取消該條件后，引導學生思考，表示羅爾定理幾何意義的圖形有何改變？提出課題：如果 （）在[]上連續(xù)，在（）內可導， （） ≠ （），是否在（）內存在一點，使得曲線 = （）在該點處也有平行于的切線？學生自然能將該問題轉化為：是否存在（），使得 （） = ，要解決此問題，只需將上式變形為 （） = 0，即 = 0。這樣就將問題轉化為（）在（）內的零點存在問題，從而學生很容易構造出輔助函數（） = （） 。但在 （）在[]上連續(xù)，在（）內可導的假設下，（）滿足羅爾定理的第三個條件不明顯，為此又提出課題：在不改變導數的表達式前提下，如何修改函數（），使得羅爾定理的第三個條件更明顯。學生通過嘗試不難發(fā)現函數（） = （） （） （）即可，再引導學生從幾何上給予解釋。

這樣讓學生親身經歷尋找解決問題的條件的過程，一方面學生對定理中每個條件的作用更了解；另一方面也能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。學生通過對條件進行適當的變更，往往能獲得一些新的結論，這也給學生的研究性學習提供了平臺。

2.3 在解題方法的探索中滲透發(fā)現教學法

數學分析發(fā)現教學法開放性的特點決定了解答數學分析問題方法的多樣性，同時，解題方法的研究本身也是發(fā)現教學法的一個重要內容。在解題方法的探討中滲透發(fā)現教學法，有利于拓展學生的解題思路，提高學生解題的技巧與能力，訓練學生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，如求二重極限，通常的解法是：

由于

令 = （ + ），有

又∣∣≤

從而

故。

此解法是按未肯定二重極限的存在性而做的，也就是說，雖然題目是求極限，語氣中似乎極限是存在的，但我們并沒有利用所求的極限是存在的這一條件。事實上，通過組織學生相互討論、研究，學生容易發(fā)現：如果利用這一條件（極限存在）便可沿一簡單的路徑使（）→（0，0），例如沿軸（即 = 0）。由于二重極限存在，故沿任一路徑的極限應等于二重極限值，即有：

這樣可以選擇到最佳的解題方法。

2.4 在課后作業(yè)的設計中體現發(fā)現教學法

數學分析課后作業(yè)是對數學分析課堂內容的應用與補充，除常規(guī)作業(yè)外，借助發(fā)現教學法，還可給學生布置相關的研討題，拓展學生的思維，創(chuàng)設一種類似于科學研究的途徑，讓學生自主發(fā)現問題、探究問題并獲得結論。研討題通常是對某些定理只提出結論，要求學生去尋找相關的條件，或給出一定的條件（不夠的條件由學生補上）去導出相應的結論；還可要求學生在一定的前提下作尋求充分必要條件的練習。如將文獻[2]中第123頁例題1改編為“如果函數 （）在上可導且 （） = 0沒有實根，你能從羅爾定理推想到函數 （）將具有什么特性？”極大地豐富了該題的內涵，能激發(fā)學生的求知欲。

3 結束語

在心理學家布魯納看來，一個科學家的研究工作和一個學生在課堂上的學習活動，都是同類的智力活動過程，其間只有程度的差別，沒有性質的差異。發(fā)現教學法是對傳統教學方法的改造與補充。通過教師充分挖掘教材中能啟發(fā)學生的“發(fā)現”思維的課題，巧妙設計“誘導”方式，激發(fā)學生勤于思考，將學生提出問題、研究問題和解決問題從而“發(fā)現”新知識能力的培養(yǎng)融會到知識的傳授之中。

基金項目：湖南省教育廳教學改革研究項目[2013，351][2012，142]，湖南文理學院教學改革研究重點項目[JGZD1304]、一般項目[JGYB1312] [JGYB1210]

注釋

①②王子興.數學教育學導論[M].桂林：廣西師范大學出版社，1996.

③ 華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

④ 周啟元.數學分析課程實施分層教學的思考[J].華章，2013（2）：180.

⑤ 董立華，孔淑霞.數學專業(yè)分析類課程研究性教學的改革實踐及探索[J].榆林學院學報，2010.20（4）：84-86.

⑥ 宋秉信.數學學習論[M].重慶：重慶大學出版社，1996.