王丙均,袁明霞

(1．金陵科技學(xué)院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169； 2．南京大學(xué)金陵學(xué)院基礎(chǔ)部,江蘇 南京 210089)

盡管有效市場假說說明所有可以用到的信息都反映在股票當(dāng)前時刻的價格中，以前的股票價格的各種波動不會帶來什么信息，然而股票的一些統(tǒng)計信息，確實可以反映股票的一些行為。Kloeden and Lorenz[1]研究了如下的隨機(jī)微分方程

d(x(t))=f(t,x(t),Ex(t),Ex2(t))dt+g((t,x(t),Ex(t),Ex2(t))dW(t)。

即方程的解的不僅僅依賴于自身而且依賴于其期望和二階矩,見文獻(xiàn)[2—3]。但是期望和二階矩這些數(shù)字特征不容易得到。所以這些年來，帶有時間平均的隨機(jī)微分方程在金融模型中的應(yīng)用吸引了越來越多的關(guān)注，因為時間平均非常易于得到，實用性很強(qiáng)。這類問題的一些研究成果可以在文獻(xiàn)[4-10]找到。例如文獻(xiàn)[10]研究了帶有時間平均的隨機(jī)微分方程

1 預(yù)備知識

令(U,‖‖U)，(H,‖‖)分別為可分的希爾伯特空間;L2(U,H)為所有的從U到H的Hilbert-Schmidt 算子構(gòu)成的空間;W(t),t≥0為定義在概率空間(Ω,F,P)上的一個U值柱形布朗運(yùn)動;Ft,t≥0為(Ω,F,P)上自然域流。記為 ‖‖L2:=‖‖L2(U,H),‖‖:=‖‖H。

帶有時間平均的無窮維隨機(jī)偏微分方程

(1)

‖S(t)‖≤M

(2)

引理1[11]假設(shè) φ(t),t≥0為一個 L2(U,H)值可料過程,則對與任意的p≥2，存在常數(shù) C(p,T)>0，使得

2 溫和解的存在性和唯一性

為了證明溫和解的存在唯一性,做出如下假設(shè),形式上和傳統(tǒng)的李普希茲條件和線性增長條件類似。

(H1)(李普希茲條件) 存在一個正的常數(shù)k使得對于所有的x,x1,y,y1∈H和t∈[0,T]，有

‖f(t,x,y)-f(t,x1,y1)‖∨‖g(t,x,y)-g(t,x1,y1)‖L2≤k(‖x-x1‖+‖y-y1‖)

定義H值的過程x(t),t∈[0,T] 稱為是(1)的溫和解，若其對每個t∈[0,T]，滿足

(3)

證明首先，假設(shè)x(t)是方程(1)的一個溫和解,初值為x(0)=x0。來證明(3)的正確性。

利用引理1,Holder不等式,(H2),Jensen不等式 和(2),有

利用Gronwall’s 不等式,得

接下來,將證明方程的溫和解的存在性和唯一性。

定義一個空間Π,其上的范數(shù)記為‖‖Π，

(4)

其中α>0?？梢则炞CΠ是一個Banach空間(見[10])。注意到由(4),可以得到

(5)

對x∈Π定義算子

要證明方程(1)的溫和解的存在唯一性等價于尋找算子Ψ在Banach空間Π中的不動點。

令x(t)∈Π，和(3)的證明類似，有

利用(5)得

所以Ψ:Π→Π。

接下來將證明Ψ:Π→Π是一個壓縮算子。令x,y∈Π,由引理1,Holder 不等式,(H1),Jensen 不等式和(5),有

其中b=(4T)p-1Mpkp+4p-1MpkpC(p,T)。

則

其中

顯然,ρ(α)>0和 ρ(∞)=0，選取 α充分的大，使得 ρ(α)∈(0,1)，則可以得到

‖Ψx-Ψy‖Π≤ρ(α)‖x-y‖Π

這說明Ψ:Π→Π是一個壓縮映射,由Banach不動點定理,存在唯一的x(t)∈Π，使得Ψx(t)=x(t),t∈[0,T]，這就是方程(1)的溫和解。

3 結(jié) 語

本文在Yin和Wu工作的基礎(chǔ)上[10]，將有限維空間中帶有時間平均的隨機(jī)微分方程，推廣到無窮維空間中，且為隨機(jī)偏微分方程。在參數(shù)滿足一定的條件下,證明了溫和解的存在唯一性。

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