賀志啟 劉 釗

(東南大學土木工程學院，南京210096)

在小剪跨比鋼筋混凝土梁中(剪跨比小于2左右)，同時存在著“梁作用”和“拱作用”的雙重受剪機制.上述2種機制的作用比例與很多因素相關(guān)，包括梁的剪跨比、配箍率和混凝土強度等，其中剪跨比是決定性因素[1-2].一般認為，對于剪跨比λ≤1的深梁，剪力主要通過“拱模型”直接傳遞至支座;對于λ≥2的淺梁，剪力主要經(jīng)由“梁模型”進行間接傳遞;當1≤λ≤2時，這2種機制共同作用.

為了恰當反映小剪跨比RC梁內(nèi)的復雜受剪機制，國內(nèi)外學者提出了多種理論模型，如桁架拱模型[3]、拉壓桿模型[4]等.這些模型均為超靜定模型，難點是如何進行解耦分析.一種處理方式是假設模型中所有桿件均具有相同的軸向剛度，以此求解超靜定模型[5-6];還有學者通過非線性有限元分析來求解超靜定模型[7]，其中模型中壓桿的寬度根據(jù)支承情況確定，并假設拉桿能夠達到屈服;本文作者也曾借助于拉壓桿模型的最大強度建立準則，從理論上給出了“梁作用”和“拱作用”的解耦關(guān)系[8].

本文遵循能量原理的思路，通過3個層次的最小應變能分析，研究了小剪跨比RC梁受剪分析的最優(yōu)拉壓桿模型.該模型是靜定模型，并且能夠恰當表達小剪跨區(qū)域內(nèi)的雙重受剪機制.

1 拉壓桿模型的最小應變能準則

拉壓桿模型的理論基礎是塑性下限定理，然而，混凝土材料的塑性變形能力有限，并不是塑料力學中所假想的理想剛塑性材料.因此，為避免出現(xiàn)超出混凝土塑性變形能力的應力重分布，拉壓桿模型的變形應盡可能小，即為“最大剛度準則”.同時，結(jié)構(gòu)的剛度和內(nèi)部的應變能是直接相關(guān)的.對于能量封閉體系，能量守恒表現(xiàn)為外力功W等于結(jié)構(gòu)應變能U，即

式中，P為外荷載;K為拉壓桿模型的總體剛度;Fi，Li及εmi分別為拉壓桿模型中第i根桿件的內(nèi)力、長度及平均應變.

據(jù)此，可推演得到“最大剛度準則”等價于“最小應變能準則”，即

考慮到混凝土壓桿的剛度遠大于鋼筋拉桿的剛度，因而拉壓桿模型的應變能絕大部分集中在拉桿[4].因此，拉壓桿模型的最小應變能準則可改寫為

式中，Π為拉桿應變能指標;Ti和Li為第i根拉桿的內(nèi)力和長度;εy為鋼筋屈服應變.

本文遵循能量原理的思路，借助多層次的最小應變能分析，以此實現(xiàn)拉壓桿模型的最優(yōu)參數(shù)化構(gòu)形.所提出的策略是:拓撲優(yōu)化分析→STM基本構(gòu)形→最小應變能分析→STM最優(yōu)構(gòu)形.即首先通過結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化分析確定拉壓桿模型的基本構(gòu)形，然后針對由混凝土壓桿和鋼筋拉桿構(gòu)成的拉壓桿模型，進行最小應變能分析，以此推導模型的最優(yōu)構(gòu)形參數(shù).

2 最小應變能拓撲優(yōu)化分析

2.1 拓撲優(yōu)化分析程序的開發(fā)

拉壓桿模型的自動生成問題可轉(zhuǎn)化為連續(xù)體的拓撲優(yōu)化問題，并常常以最小應變能作為優(yōu)化目標.在基于最小應變能指標的拓撲優(yōu)化分析中，通過不斷地從連續(xù)體中剔除應變能密度低的單元，最后實現(xiàn)結(jié)構(gòu)總體剛度的極大化，即結(jié)構(gòu)應變能的最小化.優(yōu)化的目標函數(shù)可表示為[9]

式中，Cj為結(jié)構(gòu)中單元j的應變能;Wj為單元j的重量.

若進一步定義結(jié)構(gòu)性能指標ω，則優(yōu)化目標是使得性能指標取得極大值，即

式中，下標“0”表示初始狀態(tài);“i”表示經(jīng)過第 i次優(yōu)化后的狀態(tài).

本文借助既有相關(guān)拓撲優(yōu)化算法，通過對通用有限元程序ANSYS進行二次開發(fā)，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)漸進拓撲優(yōu)化功能，可實現(xiàn)平面和空間拉壓桿模型的自動生成.該程序的編制框架為(見圖1):程序不斷地剔除低應變能密度的單元，直至有限元模型的連續(xù)性遭到破壞而不能運算為止;性能指標ω取得最大值時對應的拓撲構(gòu)形，即為最優(yōu)構(gòu)形.編制該程序的關(guān)鍵技術(shù)包括:

①通過ANSYS程序中的生死單元功能來實現(xiàn)單元的剔除.

圖1 拓撲優(yōu)化程序框架

②通過三參數(shù)(ρe，R0和RΔ)來控制單元剔除的速度.通過單元移除率ρe來控制在每次演進過程中，剔除單元數(shù)量占總激活單元數(shù)量的最大比例(一般可取為5% ～10%);同時，通過下式來計算第i次演進時低應變能密度的閥值:

式中，[ζe，i]為第i次演進時低應變能密度的閥值，當單元的應變能密度小于該值時，應進行剔除;ˉζe，i為第i次演進時所有激活單元的應變能密度平均值;R0為初始比率，可取為1%;RΔ為演進速率，可取為1%.

③通過平滑化操作來避免棋盤式單元形態(tài)的出現(xiàn).首先計算節(jié)點的平滑應變能(將與節(jié)點相鄰單元應變能的平均值作為該節(jié)點的平滑應變能)，然后計算單元的平滑應變能(將單元上4個節(jié)點平滑應變能的平均值作為該單元的平滑應變能).

2.2 小剪跨比梁的拓撲優(yōu)化分析

針對跨中作用單點集中力的簡支梁，進行了最小應變能拓撲優(yōu)化分析，得到了不同剪跨比加載梁的最優(yōu)拓撲構(gòu)形(見圖2)，由圖2可得:① 當剪跨比λ=1時，全部的集中荷載通過斜壓桿直接傳遞至支座;②當剪跨比有所增大時，模型中出現(xiàn)了斜向拉桿，表明桁架模型開始發(fā)揮作用;③當剪跨比進一步增大，λ＞2時，模型中出現(xiàn)多根間接斜壓桿，說明桁架模型逐漸起主導作用.

圖2 不同剪跨比梁的最優(yōu)拓撲構(gòu)形架

至此，借助于拓撲優(yōu)化分析的結(jié)果，可以確定小剪跨比梁中拉壓桿模型的基本構(gòu)形為:① 當λ≤1時，最優(yōu)模型為“直接壓桿模型”.該模型中的斜壓桿為集中力作用點與支座中心的連線，易于確定.②當1＜λ≤2時，最優(yōu)模型為“帶斜拉桿的桁架模型”(見圖2(b)、(c)).在無腹筋梁中，斜拉桿為混凝土拉桿;在有腹筋梁中，斜拉桿由腹筋構(gòu)成.該模型中存在3根傾角不同的斜壓桿，但目前還無法定量確定其幾何參數(shù).

3 最小應變能參數(shù)分析

為了定量計算深梁(1＜λ≤2)中拉壓桿模型的斜壓桿傾角，這里進行了2個層次的最小應變能參數(shù)分析.

3.1 最小應變能自動搜索

利用編制的算法，自動搜索應變能最小的拉壓桿模型構(gòu)形.模型的基本形狀如圖3(a)所示，模型中節(jié)點B(或節(jié)點C)的位置可在豎向和水平向2個方向變動，節(jié)點E(或節(jié)點F)的位置可在水平方向變動.算法的基本結(jié)構(gòu)如下:① 分層變化拉壓桿模型的幾何參數(shù)x1(0→a)，x2(0→d)和x3(0→a);②提取每種模型中所有拉桿的內(nèi)力Ti和長度Li，并計算應變能指標∑TiLi;③搜索應變能指標最小的拉壓桿模型，即為最優(yōu)模型.

針對不同剪跨比的深梁，按上述算法可自動搜索得到拉壓桿模型的最優(yōu)幾何參數(shù)(x1，x2和x3)，如表1所示.通過對這些最優(yōu)拉壓桿模型的幾何形狀進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:①桿件AE和BE大體上呈垂直關(guān)系;②桿件 AE和BD大致平行.根據(jù)這些規(guī)律，可用圖3(b)所示的簡化模型來代替前述最優(yōu)模型，該模型中只存在斜壓桿傾角θ這一單參數(shù).

圖3 集中荷載作用深梁(1＜λ≤2)的拉壓桿模型

表1 集中荷載作用深梁(1≤λ≤2)的最優(yōu)拉壓桿模型參數(shù)

3.2 最小應變能目標函數(shù)求解

針對圖3(b)所示的單參數(shù)簡化模型，基于最小應變能原理，直接推導斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值.在簡化模型中，拉桿的應變能分析如表2所示.

表2 簡化模型中的拉桿應變能分析

半模型中拉桿的應變能指標為

為使應變能取得最小值，斜壓桿傾角θ應滿足

因此，斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值可求解為

同時，可求得最優(yōu)模型中斜拉桿BE的內(nèi)力為

在無腹筋梁中，該斜向拉力由受拉混凝土承擔;在有腹筋梁中，主要由腹筋承擔.

在表1中，除列出了最優(yōu)模型的幾何參數(shù)外，還列出了不同模型的應變能指標.可以發(fā)現(xiàn)，雖然“直接壓桿模型”中的荷載傳遞最為直接，但其拉桿應變能并不是最小的.只有當梁的剪跨比λ接近于1時，“直接壓桿模型”中的應變能才與最優(yōu)的“帶斜拉桿的桁架模型”的應變能相差無幾.

3.3 最優(yōu)拉壓桿模型的特征

通過前述3個層次的最小應變能分析(最小應變能拓撲優(yōu)化分析、最小應變能自動搜索和最小應變能目標函數(shù)求解)，確定了小剪跨比RC深梁的最優(yōu)拉壓桿模型構(gòu)形，該模型具有以下特征:①當梁的剪跨比λ≤1時，受剪分析的最優(yōu)模型為“直接壓桿模型”，此時剪力荷載通過斜壓桿直接傳遞至支座;②當梁的剪跨比1＜λ≤2時，受剪分析的最優(yōu)模型為“帶斜拉桿的桁架模型”(見圖3(b))，斜拉桿與斜壓桿大體上呈垂直關(guān)系，而斜壓桿傾角θ與剪跨比λ直接相關(guān)，其最優(yōu)角度為θ=78-13λ.

4 無腹筋小剪跨比梁的抗剪強度

在無腹筋小剪跨比RC梁中，拉壓桿模型中的斜向拉桿表征了混凝土的受拉作用.當混凝土斜拉桿斷裂時，可反映無腹筋梁劈裂破壞時的抗剪承載力，即

式中，WBE為斜向拉桿的寬度，可假設為與之垂直壓桿 AE 長度的一半[10]，即 WBE=0.5d/sinθ;TBE為斜向拉桿的內(nèi)力，可按式(10)計算;b為腹板厚度;ft為混凝土軸心抗拉強度，可按ft=0.5(fc)2/3進行換算，fc為混凝土棱柱體抗壓強度.

根據(jù)式(11)，抗剪承載力可推導為

將斜壓桿傾角θ的最優(yōu)取值代入式(12)，并經(jīng)最小二乘擬合，最終可得無腹筋小剪跨比RC梁抗剪承載力的簡化計算式為

式中，λ≤2.

為驗證本文所提抗剪強度計算公式的正確性，與文獻[11]收集的20根無腹筋短梁的抗剪承載力試驗值進行對比，如圖4所示.由此可見，本文公式能夠較好地反映剪跨比對無腹筋梁抗剪承載力的影響，并且與 GB50010—2010規(guī)范[12]中的式(6.3.4)相比，本文所提出的理論公式與試驗數(shù)據(jù)擬合線更為接近，有更好的計算精度.

圖4 無腹筋RC深梁抗剪承載力試驗值與計算值的對比

5 結(jié)論

1)提出了確定拉壓桿模型最優(yōu)構(gòu)形的“多層次最小應變能分析方法”.該方法首先借助結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化分析擬定拉壓桿模型的基本構(gòu)形，并利用最小應變能參數(shù)分析確定模型的最優(yōu)構(gòu)形參數(shù)，具有適應能力強、參數(shù)化建模等特點.

2)小剪跨RC梁內(nèi)存在著復雜的受剪機制，當梁的剪跨比λ≤1時，剪力荷載通過“拱模型”直接傳遞至支座;當1＜λ≤2時，剪力荷載通過“帶斜拉桿的桁架模型”進行間接傳遞，模型中斜拉桿與斜壓桿大體上呈垂直關(guān)系，而斜壓桿傾角θ與剪跨比λ直接相關(guān)，其最優(yōu)角度為θ=78-13λ.

3)本文依據(jù)拉壓桿模型所提出的無腹筋小剪跨比梁抗剪承載力計算式，形式簡潔，并且能夠較好地反映剪跨比的影響.

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