蘇丹丹

（羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系, 廣東 羅定 527200）

一類在幼年時期傳播的SIS傳染病模型分析

蘇丹丹

（羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系, 廣東 羅定 527200）

利用微分方程的穩(wěn)定性理論與傳染病模型的理論知識,研究了一類僅在幼年時期傳播的SIS傳染病模型,討論了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性態(tài).并通過構(gòu)造Liapunov函數(shù), 得到了系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)處全局漸近穩(wěn)定的閾值.

傳染病模型; 平衡點(diǎn); 局部漸近穩(wěn)定; 全局漸近穩(wěn)定

1 引言

近年來, 流行病模型的研究越來越受到重視.目前已有大量的文獻(xiàn)研究傳染病模型[1-3],然而大多數(shù)的文獻(xiàn)都是假設(shè)傳染病對所有人都具有相同的傳染性.而事實(shí)上并非如此,有些傳染病只在不同年齡階段的人群中進(jìn)行傳播.如麻疹、水痘、幼兒急診等傳染病多發(fā)于幼年(兒童)階段;而傷寒、副傷寒、血吸蟲病、鉤端螺旋體病、白喉、流行性腦脊髓炎等則多在成年人之間傳染流行.因此考慮具有不同傳染率的不同年齡階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型更具有其必要性和實(shí)際意義.

文獻(xiàn)[4]討論了具有幼年和成年兩個階段結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型;文獻(xiàn)[5-6]討論了具有階段結(jié)構(gòu)的SIS傳染病模型;文獻(xiàn)[7]討論了一類具有階段結(jié)構(gòu)和非線性接觸率的SI傳染病模型的漸近性態(tài),但這些文獻(xiàn)主要研究的是僅在成年個體中傳播的傳染病模型,而對僅在幼年時期傳播的傳染病模型的研究鮮見.因此，本文著重討論了一類僅在幼年時期傳播的SIS傳染病模型.并結(jié)合文獻(xiàn)[6,8,9,10]的理論方法得到了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處全局漸近穩(wěn)定的閾值.

2 引理

引理 1［8］考慮一階常系數(shù)線性微分方程組

的根(E為單位矩陣),li為零或正整數(shù),由根λi的初級因子的次數(shù)決定.

若特征方程（2）的根均具有負(fù)實(shí)部,則方程組（1）的零解是漸近穩(wěn)定的. 若特征方程（2）具有正實(shí)部的根, 則方程組（1）的零解是不穩(wěn)定的. 若特征方程（2）沒有正實(shí)部的根,但有零根或具零實(shí)部的根,則方程組（1）的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的,這要看零根或具零實(shí)部的根其初級因子的次數(shù)是否等于1而定.

引理 2［8］設(shè)給定常系數(shù)的n次代數(shù)方程

其中ai=0(對一切i>n ),那么方程（3）的一切根均有負(fù)實(shí)數(shù)部分的充要條件是下列不等式同時成立:

引理 3［8］假設(shè)微分方程組

3 模型建立

將所考慮的人群按年齡結(jié)構(gòu)分為幼年和成年兩個階段,而傳染病僅發(fā)生在幼年階段,故將幼年人群分為易感人群和染病人群兩類,假設(shè)該傳染病不具有免疫性,即感染病人治愈后仍可再次受到感染.為此我們建立以下數(shù)學(xué)模型:

初始條件:

其中,S1（t）,S2（t）,I （t）分別表示t時刻幼年易感人群、成年人群和幼年染病人群的密度,α為出生率,r為幼年死亡率,β為成年死亡率,Ω為幼年轉(zhuǎn)化為成年的轉(zhuǎn)化率,b為因病死亡率,a為疾病傳染率,c為治愈率,此外假設(shè)所有參數(shù)皆為正數(shù).

定理 1是系統(tǒng)（5）的正不變集.

證 明對任意的（S1,S2,I）∈R+3,由（5）式可知

從而結(jié)論成立.

4 平衡態(tài)的穩(wěn)定性分析

[1] YANNI XIAO,LANSUN CHEN. Analysis of a three species eco-epidemiological model[J]. J Math Anal Appl,2001, 258(2): 733-754.

[2] HETHCOTE H W,VAN-DEN-DRIESSCHE P. Two SIS epidemiologic models with delays[J]. Math Biol, 2000, 40(1): 3-26.

[3] MICHAEL Y LI,MULDOWNEY J S. Global stability for the SEIR model in epidemiology[J]. Math Bilsci ,1995, 125(2): 155-164.

[4] 原存德, 胡寶安. 具有階段結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2002, 25(2): 193-203.

[5] 胡寶安, 陳博文, 原存德. 具有階段結(jié)構(gòu)的SIS傳染病模型[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報, 2005, 20(1): 58-64.

[6] 張雙德, 郝海, 李宏偉. 一類具有兩階段結(jié)構(gòu)的自治SIS傳染病系統(tǒng)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2004, 20(1): 7-11.

[7] 邱志鵬, 王開發(fā). 具有階段結(jié)構(gòu)和非線性接觸率的SI傳染病模型的漸近性態(tài)[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報, 2004, 19(2): 156-160.

[8] 王高雄, 周之銘, 朱思銘, 王壽松. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社, 2003: 240-302.

[9] 馬知恩, 周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2001: 41-96, 296-300.

[10] 馬知恩. 種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M]. 合肥: 安徽教育出版社, 1996: 51-55.

Analysis of a kind of SIS epidemic model disseminated in childhood

SHU Dan-dan
(Department of Education, Luoding Polytechnic College, Luoding 527200, P.R.C.)

The stability and the epidemic model theory of the differential equation are used in this paper, and a kind of SIS epidemic model only disseminated in childhood is studied. The stable condition of system in equilibrium point is discussed. In addition, by constructing Liapunov function, the global asymptotic thresholds of disease free and the endemic equilibrium are obtained.

epidemic model; equilibrium point; local asymptotic stability; global asymptotic stability

O175

A

1003-4271(2014)02-0249-07

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.02.16

2013-12-06

蘇丹丹(1980-), 女, 湖北隨州人, 講師, 碩士; 研究方向: 應(yīng)用數(shù)學(xué).(E-mail:sudandan@163.com)

國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(10990011).