朱明芬

經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，問題是數(shù)學(xué)的心臟，思考是數(shù)學(xué)的核心，發(fā)展是數(shù)學(xué)的目標(biāo)，思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)，而且可以使我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行推理，為解決數(shù)學(xué)問題起到促進(jìn)和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級(jí)、八年級(jí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實(shí)生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學(xué)模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機(jī)事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準(zhǔn)備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個(gè)人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學(xué)中選一名去參加某音樂會(huì). 事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號(hào)，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個(gè)盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實(shí)際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個(gè)白球和一個(gè)紅球，這三個(gè)球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個(gè)球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機(jī)事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識(shí)相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個(gè)三角形）

（2） 先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再從F，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，在解決概率問題時(shí)，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個(gè)，藍(lán)球有一個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個(gè)數(shù)；

（2） 第一次摸出一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍(lán)球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個(gè)球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設(shè)口袋中黃球的個(gè)數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計(jì)算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設(shè)小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍(lán)球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分?jǐn)?shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定摸法種數(shù). 因?yàn)閤、y、6-x-y均為自然數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=5，6-x-y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3，6-x-y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍(lán)三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學(xué)知識(shí)中，蘊(yùn)含著“無形”的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，寫在教材里；數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識(shí)與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學(xué)能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學(xué)神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學(xué)）

經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，問題是數(shù)學(xué)的心臟，思考是數(shù)學(xué)的核心，發(fā)展是數(shù)學(xué)的目標(biāo)，思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)，而且可以使我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行推理，為解決數(shù)學(xué)問題起到促進(jìn)和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級(jí)、八年級(jí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實(shí)生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學(xué)模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機(jī)事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準(zhǔn)備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個(gè)人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學(xué)中選一名去參加某音樂會(huì). 事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號(hào)，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個(gè)盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實(shí)際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個(gè)白球和一個(gè)紅球，這三個(gè)球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個(gè)球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機(jī)事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識(shí)相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個(gè)三角形）

（2） 先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再從F，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，在解決概率問題時(shí)，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個(gè)，藍(lán)球有一個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個(gè)數(shù)；

（2） 第一次摸出一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍(lán)球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個(gè)球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設(shè)口袋中黃球的個(gè)數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計(jì)算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設(shè)小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍(lán)球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分?jǐn)?shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定摸法種數(shù). 因?yàn)閤、y、6-x-y均為自然數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=5，6-x-y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3，6-x-y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍(lán)三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學(xué)知識(shí)中，蘊(yùn)含著“無形”的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，寫在教材里；數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識(shí)與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學(xué)能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學(xué)神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學(xué)）

經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，問題是數(shù)學(xué)的心臟，思考是數(shù)學(xué)的核心，發(fā)展是數(shù)學(xué)的目標(biāo)，思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 在概率知識(shí)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，不僅可使我們深刻理解和掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)，而且可以使我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行推理，為解決數(shù)學(xué)問題起到促進(jìn)和深化的作用.

一、 建模思想

經(jīng)過七年級(jí)、八年級(jí)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)具備了一些概率模型，如拋硬幣、摸小球、擲骰子等，現(xiàn)實(shí)生活中抓鬮、抽簽等問題都可以轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學(xué)模型，這樣我們就可以用列表法或者畫樹狀圖的方法列出等可能的各種結(jié)果，求出隨機(jī)事件的概率，從而也可判斷游戲的公平性. 想一想，下面的問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)模型呢？

例1 只有一張電影票，小明和小麗用抽簽的方法來決定誰可以去看電影，于是準(zhǔn)備了兩張相同的小紙條，一張寫“去”，另一張寫“不去”，誰抽到“去”，則這個(gè)人就去看電影，這種方法公平嗎？

例2 我們用抽簽的方法從3名同學(xué)中選一名去參加某音樂會(huì). 事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條，并在1張紙條上畫上記號(hào)，其余兩張紙條不畫. 把3張紙條放在一個(gè)盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條，這種方法公平嗎？

【分析】例1實(shí)際上就是：拋一枚硬幣，求正面朝上（或反面朝上）的概率問題；例2可以轉(zhuǎn)化為摸球問題，如：一只小袋子裝有兩個(gè)白球和一個(gè)紅球，這三個(gè)球除了顏色外完全一樣.甲、乙、丙三人依次從袋子中摸出一個(gè)球，求每人摸到紅球的概率.

二、 數(shù)形結(jié)合的思想

有關(guān)概率的問題層出不窮，解決的方法也多種多樣，我們常用的方法是列舉法，即用列表或畫樹狀圖的方法來解決問題，這種圖文并茂的解題方法直觀形象地展示了隨機(jī)事件的所有等可能結(jié)果，可以說是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而現(xiàn)在又出現(xiàn)了很多概率問題與幾何知識(shí)相結(jié)合的例子，真可謂是“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難”.

例3 如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上.

（1） 現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，在所畫的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是______；（只需要填一個(gè)三角形）

（2） 先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再從F，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形與△ABC面積相等的概率（用畫樹狀圖或列表格求解）.

【分析】（1） ∵△ABC的面積為×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面積也為6且不與△ABC全等，故填△DFG或△DHF；

（2） 畫樹狀圖：

由樹狀圖可知：共有六種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的三角形有3種，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所畫三角形與△ABC面積相等的概率P==.

三、 方程思想

方程思想是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，在解決概率問題時(shí)，如能根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，列出方程或方程組，則可使問題圓滿解決.

例4 不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中紅球有兩個(gè)，藍(lán)球有一個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是紅球的概率為.

（1） 求袋中黃球的個(gè)數(shù)；

（2） 第一次摸出一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；

（3） 若規(guī)定摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍(lán)球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一個(gè)球，摸后放回）得20分，問小明有哪幾種摸法？

【分析】（1） 設(shè)口袋中黃球的個(gè)數(shù)為未知數(shù)m，根據(jù)摸到紅球的概率=，列方程=，解得m=1；

（2） 通過列表或畫樹狀圖來計(jì)算兩次都摸到紅球的概率為；

（3） 設(shè)小明摸到紅球有x次，摸到黃球有y次，則摸到藍(lán)球有（6-x-y）次，根據(jù)摸到三種球的分?jǐn)?shù)和等于20，列出關(guān)于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后討論二元一次方程組的自然數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定摸法種數(shù). 因?yàn)閤、y、6-x-y均為自然數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=5，6-x-y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3，6-x-y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，6-x-y=2. 綜上，小明共有三種摸法：摸到紅、黃、藍(lán)三種球分別為1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.

在“有形”的數(shù)學(xué)知識(shí)中，蘊(yùn)含著“無形”的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，寫在教材里；數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，體現(xiàn)在知識(shí)與技能的形成過程中. 若我們能在解決問題的過程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高我們的數(shù)學(xué)能力與綜合素質(zhì). 通過以上問題的闡述，你是否已經(jīng)掌握了這把開啟數(shù)學(xué)神奇之門的金鑰匙呢？

（作者單位：常熟市孝友中學(xué)）