于 鏑，白雪峰，任偉建，康朝海

(1.東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江大慶163318;2.哈爾濱醫(yī)科大學(xué)(大慶校區(qū))醫(yī)學(xué)信息學(xué)院，黑龍江大慶163319)

0 引言

近年來，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)大量存在于自然界和人類社會生活中，如WWW、城市交通網(wǎng)、生物代謝網(wǎng)絡(luò)和大型電力網(wǎng)絡(luò)等，所以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究引起眾多領(lǐng)域?qū)W者的極大關(guān)注［1-5］。同步是一類十分重要的非線性現(xiàn)象，并且歷史悠久，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步由于其廣泛的應(yīng)用前景而倍受研究人員的青睞。目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)漸近同步取得了豐富的研究成果［6-14］。文獻(xiàn)［6］對線性耦合常微分方程所描述的系統(tǒng)，考慮存在耦合與非耦合并存時，通過矩陣特征值分析得到局部和全局同步的充分條件。文獻(xiàn)［7］由若干相同結(jié)點(diǎn)線性耦合組成的復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)，通過同步狀態(tài)線性化，用主穩(wěn)定函數(shù)法判斷同步流形穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的局部和全局同步。文獻(xiàn)［8］利用鄰近結(jié)點(diǎn)信息與度值最大的結(jié)點(diǎn)相連耦合實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步優(yōu)化。文獻(xiàn)［9］考慮了無向網(wǎng)絡(luò)且耦合結(jié)點(diǎn)均為線性情況時的同步控制，并總結(jié)歸納出同步控制與網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)控制在本質(zhì)上是一致的，進(jìn)而為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制開辟了新的控制思路。牽引控制是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制的有效方法之一［10-15］。其中文獻(xiàn)［12］對一類線性耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)證明了通過足夠大的耦合度，僅牽制部分節(jié)點(diǎn)即可實(shí)現(xiàn)整個網(wǎng)絡(luò)的同步。更有趣的是，文獻(xiàn)［13］提出了只應(yīng)用一個控制器的牽制控制方案實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步。文獻(xiàn)［14，15］則對一般耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出線性控制協(xié)議，給出網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)同步的充分條件，并引入耦合強(qiáng)度和控制增益的自適應(yīng)控制機(jī)制，提出了更為靈活的控制方案。

以上成果大都是關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的漸近同步，即網(wǎng)絡(luò)在無限時間內(nèi)達(dá)到同步。在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步通常需要在有限時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。因此，對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時間同步的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，但該方面的研究成果較少。受多智能體網(wǎng)絡(luò)有限時間協(xié)調(diào)控制［16-20］的啟發(fā)，筆者針對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題，提出非光滑控制協(xié)議，并給出實(shí)現(xiàn)有限時間同步的充分條件。

1 問題描述

考慮一類由N個節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，第i個節(jié)點(diǎn)動態(tài)描述如下

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步解s(t)可以是一個平衡點(diǎn)、周期軌跡或混沌軌跡。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)的有限時間同步問題描述如下。

定義1 若存在時刻t*＞0且對于?i，j和t≥t*都有‖xi(t)-s(t)‖=0，則稱該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了有限時間同步。

筆者的目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的反饋控制律，使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)在該控制下實(shí)現(xiàn)有限時間同步。在給出主要結(jié)果前，先給出如下假設(shè)和引理。對于網(wǎng)絡(luò)(1)各個節(jié)點(diǎn)動態(tài)滿足下面假設(shè)。

假設(shè)1 存在常值矩陣K，使

引理1［19］考慮如下微分方程

其中c＞0，0＜α＜1，則函數(shù) x(t)將會在有限時間內(nèi)收斂到零點(diǎn)，且對于所有t≥t*，有x(t)=0。

引理 2［20］令xi∈ (i=1，2，…，N)，0 ＜ α ＜1。若xi≥0 且，則

2 主要結(jié)果

為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)各節(jié)點(diǎn)同步，提出非光滑連續(xù)控制協(xié)議，并基于有限時間穩(wěn)定性引理，給出復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)有限時間同步的充分條件。不失一般性，令第i=N個節(jié)點(diǎn)作為驅(qū)動節(jié)點(diǎn)，則受控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述為

其中ui為第i個節(jié)點(diǎn)的控制協(xié)議，在ui控制作用下使復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)在t≥t*時實(shí)現(xiàn)x1(t)=x2(t)=…=xN(t)，即實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步。

定義同步誤差為ei(t)=xi(t)-xN(t)，i=1，…，N，則定義ε(t)=［e1(t)，…，eN(t)］T為網(wǎng)絡(luò)誤差矢量。分別設(shè)計(jì)兩種不同的控制協(xié)議為

其中i=1，…，N-1，函數(shù))，z=［z1，…，zn］T，0 ＜ α ＜1，且 sigα(z)=［sigα(z1)，…，sigα(zn)］T。di為控制增益，則在控制協(xié)議(5)和協(xié)議(6)的作用下，網(wǎng)絡(luò)誤差動態(tài)分別為

其中i=1，…，N-1。

定理1 考慮由式(1)描述的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，令假設(shè)1成立，節(jié)點(diǎn)之間無向連通，在控制協(xié)議(5)的作用下，若λmax［‖K‖IN+c(L-D)］≤0(其中λmax(·)為矩陣的最大特征值)，則網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)有限時間同步。其中D=diag{d1，…，dN-1，0}，L為節(jié)點(diǎn)之間的外部耦合矩陣。

證明 考慮如下Lyapunov函數(shù)

第1個不等式由假設(shè)1得出，第2個不等式由引理2和矩陣性質(zhì)‖K‖IN≥K，K∈n×n得到。則當(dāng)λmax［‖K‖IN+c(L-D)］≤0時，由Γ正定和引理1可得，網(wǎng)絡(luò)誤差在有限時間

內(nèi)達(dá)到零，則網(wǎng)絡(luò)(1)可在有限時間內(nèi)達(dá)到同步。

定理2 考慮由(1)描述的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，令假設(shè)1成立，節(jié)點(diǎn)間無向連通，在控制協(xié)議(6)的作用下，若λmax［‖K‖IN+c(L-D)］≤0，則網(wǎng)絡(luò)(1)同樣可實(shí)現(xiàn)有限時間同步，并且有限時間為

證明 考慮如下Lyapunov函數(shù)

前面與定理1證明過程類似，只有最后一步根據(jù)下面的推導(dǎo)得證。令λi為L的特征值，同時wi為相應(yīng)于λi的特征向量，令{wi}為N中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。令，可得，進(jìn)一步有，則有。當(dāng)時，由引理1可得，網(wǎng)絡(luò)誤差在有限時間

內(nèi)達(dá)到零，即網(wǎng)絡(luò)(1)可在有限時間內(nèi)達(dá)到有限時間同步。

3 仿真研究

Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)是典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并且其同步研究在保密通信、信號處理和生命科學(xué)等方面有著十分廣闊的應(yīng)用前景，引起了廣大學(xué)者的極大關(guān)注。下面就針對這兩個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行有限時間同步仿真研究。

實(shí)例1 首先考慮由5個Chen系統(tǒng)所構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)。其中非線性特性描述如下

其中 xi=［xi1，xi2，xi3］T，取第 5 個節(jié)點(diǎn)作為驅(qū)動點(diǎn)，令‖K‖ =30.934 2［14］，D=diag{3.8，6，8，6，0}，c=32，內(nèi)部和外部耦合矩陣分別取為

則在控制協(xié)議(5)和協(xié)議(6)的作用下，網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線分別如圖1和圖2所示。由仿真圖形可知，大約在t=0.6 s后網(wǎng)絡(luò)同步誤差趨于零，網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)有限時間同步。

圖1 Chen網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線(控制協(xié)議(5)作用下)Fig.1 Synchronization error curves of Chen networks(under the action of control protocol(5))

圖2 Chen網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線(控制協(xié)議(6)作用下)Fig.2 Synchronization error curves of Chen networks(under the action of control protocol(6))

實(shí)例2 考慮由5個Lü系統(tǒng)所構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)。其中非線性特性描述如下

取第5 個節(jié)點(diǎn)作為驅(qū)動點(diǎn)，且‖K‖ =16.278 7［21］，D=diag{4，4，4，4，0}，c=17，內(nèi)部和外部耦合矩陣同上。則在控制協(xié)議(5)和協(xié)議(6)的作用下，網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線分別如圖3和圖4所示。由仿真圖形可知，大約在t=0.2 s后網(wǎng)絡(luò)同步誤差趨于零，網(wǎng)絡(luò)(1)實(shí)現(xiàn)有限時間同步。

圖3 Lü網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線(控制協(xié)議(5)作用下)Fig.3 Synchronization error curves of Lü networks(under the action of control protocol(5))

圖4 Lü網(wǎng)絡(luò)同步誤差曲線(控制協(xié)議(6)作用下)Fig.4 Synchronization error curves of Lü networks(under the action of control protocol(6))

在上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時間同步仿真研究過程中，控制增益矩陣D的取值決定網(wǎng)絡(luò)有限時間收斂的快速性，但同時也影響收斂過程中同步誤差的大小。如果控制增益矩陣D中的元素選取較大數(shù)值，則能得到快速的有限時間收斂的同步誤差曲線，但此時同步誤差振蕩幅度較大。所以需要選取合適的控制增益得到既快速又振蕩適度的收斂過程。

4 結(jié) 語

筆者針對具有線性耦合的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步問題，提出非光滑連續(xù)控制協(xié)議，并基于有限時間穩(wěn)定性引理，給出了實(shí)現(xiàn)有限時間同步的充分條件。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步過程中，網(wǎng)絡(luò)同步不僅受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜徒Y(jié)點(diǎn)之間耦合影響，而且在控制協(xié)議中加入非線性函數(shù)使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步特性得到改善，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提方案的可行性和有效性。下一步將研究不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題。

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