王仕勤

模型思想是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》新增的四個核心概念之一，并在課程設(shè)計思路中強調(diào)“要重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”。模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，所以模型思想的滲透應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語言、符號或圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為概念系統(tǒng)、算法系統(tǒng)、關(guān)系、定律等，具有一般化、典型化和精確化的特點。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，實際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握、應(yīng)用的過程，所以數(shù)學(xué)模型在“圖形與幾何”教學(xué)中有著不可替代的作用。本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，就“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)中如何滲透建模思想和提高教學(xué)效益，談一些粗淺的認(rèn)識，以期拋磚引玉，共同提高。

一、經(jīng)歷“生活原型——數(shù)學(xué)模型”的抽象過程

空間想象能力具有較強的抽象性，需要不斷地從具體實物中抽象出數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)生活原型到數(shù)學(xué)模型的過渡。因此，課堂教學(xué)中，教師要充分利用一些典型的生活素材和實際問題，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實際的生活情境，為構(gòu)建模型提供豐富的感性體驗，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生體會和感悟模型思想。

案例：教學(xué)“體積”

師（將兩個大小相同的杯子裝上同樣多的水，把一塊石頭浸沒在其中的一個杯子里）：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：水面比原來升高了。

師：為什么升高呢？杯子中的水增加了？

生2：不是的，是石頭占了一部分水的空間，把水“擠”高了。

師：這位同學(xué)說得很好，實際上地球上的物體都占有一定的空間。

師（再拿一塊較大的石頭放入另一個杯子里）：你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：水面比第一個杯子里的水面高。

師：你知道這是為什么嗎？

生4：第二次放的石頭比第一次的大。

師：你能用數(shù)學(xué)的語言說說嗎？

……

“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”，有效建模是聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與生活的橋梁。鮮活的素材應(yīng)當(dāng)來源于學(xué)生的生活現(xiàn)實，可以是學(xué)生在生活中看到的、聽到的、感受到的，也可以是他們在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科學(xué)習(xí)過程中能夠思考和操作的屬于思維層面的現(xiàn)實。上述教學(xué)中，“體積”這一概念模型比較抽象，但學(xué)生在生活中對于“×××的位子被占了”這些感性體驗比較豐富，于是我立足于學(xué)生的這些生活經(jīng)驗，使抽象的數(shù)學(xué)概念有了豐富的表象作支撐，學(xué)生很自然地理解了物體所占空間有大有小，并能用數(shù)學(xué)語言說出體積的概念。因此，學(xué)習(xí)素材應(yīng)盡量來源于社會、自然與科學(xué)中的現(xiàn)象和問題，且這些現(xiàn)象與問題應(yīng)當(dāng)包括一定的數(shù)學(xué)價值。

二、經(jīng)歷“已有模型——新建模型”的創(chuàng)造過程

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴塔爾反復(fù)強調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行這種再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)行的知識灌輸給學(xué)生?！睆哪撤N意義上說，數(shù)學(xué)本身就是主體建構(gòu)的一種產(chǎn)物，應(yīng)該是活的、動態(tài)的、開放的。學(xué)生的“再創(chuàng)造”必須經(jīng)過自己的探究、發(fā)現(xiàn)，所以教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。

案例：教學(xué)“三角形的面積”

師：這節(jié)課學(xué)習(xí)三角形面積，你們準(zhǔn)備如何來研究它？

生1：我想研究它與學(xué)過的什么圖形有關(guān)。

生2：我想把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形。

師：你們的想法都有道理。每個小組的桌上都有學(xué)具，利用這些學(xué)具進行操作、研究，看能否發(fā)現(xiàn)三角形面積的計算公式。（學(xué)生分組進行操作、研究）

師：誰愿意把自己小組的研究情況展示給大家？

生3：我用兩個三角形拼成了一個長方形，也可以拼成一個平行四邊形。

生4：我也是用兩個三角形拼成了一個長方形。

師：很好。你們的研究結(jié)果呢？

生5：因為原三角形的底等于長方形的長，原三角形的高等于長方形的寬，所以三角形面積=長方形面積÷2=底×高÷2。

師：為什么要除以2？

生5：因為要用兩個完全一樣的三角形才能拼成一個長方形，所以求一個三角形的面積要除以2。

師：真會動腦筋。還有不一樣的方法嗎？

生6：把平行四邊形沿對角線剪開，得到兩個一樣的三角形，所以三角形面積=底×高÷2。

……

在這個教學(xué)案例中，學(xué)生最大的收獲莫過于他們主動參與了建模的各個環(huán)節(jié)。教師提出三角形如何來研究的問題，喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)模型，為構(gòu)建新模型打下了良好的基礎(chǔ)。學(xué)生通過獨立思考、操作、交流，探索出了三角形的面積=底×高÷2?！叭切蚊娣e的計算公式”這一模型的構(gòu)建過程，是學(xué)生“創(chuàng)造數(shù)學(xué)”的生動過程。幾何圖形的教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，給學(xué)生呈現(xiàn)現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題，在問題解決的過程中，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、操作、比較、分析、綜合、歸納、建構(gòu)等一系列探究活動，獲得“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”的實際體驗，品嘗到數(shù)學(xué)探索成功的喜悅。

三、經(jīng)歷“問題解決——模型構(gòu)建”的探索過程

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?！蔽以凇叭切蔚娜呹P(guān)系”一課教學(xué)中，為讓學(xué)生建立“三角形的兩邊之和大于第三邊”的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了“制造問題——發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——建立模型”的教學(xué)路徑，使數(shù)學(xué)模型得以能動的構(gòu)建。

案例：教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”

師（請學(xué)生從材料袋中取出一根吸管）：你們能將這根吸管剪成三段并圍成一個三角形嗎？endprint

生（信心十足）：能！（學(xué)生有的成功圍成了三角形，有的則圍不成）

師：操作過程中有什么問題嗎？

生1：老師，我剪的三段吸管怎么圍不成三角形呢？

師：看來，不是隨便剪成三段就可以圍成三角形的，這里面隱藏著什么秘密？能不能把沒有圍成的“作品”貢獻出來供大家研究？

師（出示下圖）：這三根吸管肯定圍不成三角形嗎？

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生2：另兩根吸管斜一點，或許三角形就可能圍成。

師演示過程如下：

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生3：我知道為什么圍不成三角形了，因為這兩根吸管合起來沒有第三根長。

師：是啊，由此你們可以得到什么結(jié)論？

生4：當(dāng)兩根吸管的長度之和小于第三根時，不能圍成三角形。

師：那兩根吸管的長度和多長時，就能圍成三角形呢？

生5：我猜兩根吸管的長度和與第三根一樣長時，能圍成三角形。

生6：我猜兩根吸管的長度和比第三根長時，才能圍成三角形。

師：大家的猜測對不對呢？我們再來做一次實驗。請同桌每人拿一根吸管，合作完成這兩個實驗。（不一會兒，學(xué)生通過實驗知道兩根吸管的長度和與第三根一樣長時不能圍成三角形，只有當(dāng)兩根吸管的長度和比第三根長時才能圍成三角形）

……

讓學(xué)生任意剪吸管，會出現(xiàn)許多不確定因素，即有的學(xué)生能圍成三角形，有的圍不成。教師成功地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，進而產(chǎn)生了進一步研究的欲望。學(xué)生在交流中，經(jīng)驗得以分享；在質(zhì)疑中，模型得以顯現(xiàn)；在補充中，意義得以拓展。顯然，學(xué)生對這個數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程的體驗是深刻的，是學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、探究、解決的過程。雖然經(jīng)過一波三折才逐漸揭開數(shù)學(xué)神秘的面紗，但這樣的過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更真實，探究的結(jié)果更可信，記憶也就更深刻。

四、經(jīng)歷“猜想驗證——模型建構(gòu)”的思維過程

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，要變“被動接受”為“主動建構(gòu)”，思維是核心。“圖形與幾何”領(lǐng)域中有許多性質(zhì)、特征、公式的教學(xué)，可以讓學(xué)生通過猜想、驗證的方法，親身經(jīng)歷模型的建構(gòu)過程。猜想是依據(jù)已有的材料或知識經(jīng)驗，做出符合一定規(guī)律或事實的推測性想象。對于探索或發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來說，猜想是一種重要的思維方法。讓學(xué)生驗證自己的猜想，使學(xué)生在驗證過程中發(fā)現(xiàn)新的問題，并在解決新問題的過程中完善自己的猜想，發(fā)揮創(chuàng)造才能，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣的學(xué)習(xí)過程可以概括為“提出猜想——進行驗證——自我反思——建立模型”，這不僅是一個主動學(xué)習(xí)的過程，更是一個發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、能動建模、創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過程。

例如，在“長方形、正方形面積”的練習(xí)課上，我設(shè)計了這樣一題：“一個長方形的長是15厘米，剪去一個最大的正方形后，求剩下的小長方形的周長?！眹@這個問題，我設(shè)計了如下的教學(xué)流程：一是提供材料引出疑問，即“長方形的寬不一定，怎樣求剩下的小長方形的周長”。二是引導(dǎo)學(xué)生提出猜想或假設(shè)。有的學(xué)生假設(shè)原長方形的寬為12厘米時，剩下的小長方形的周長是30厘米。這時有學(xué)生提出質(zhì)疑：“如果寬是9厘米，小長方形的周長還是30厘米嗎？”三是讓學(xué)生進行驗證。如當(dāng)寬為10厘米、8厘米等不同數(shù)據(jù)時，剩下的小長方形周長都是30厘米。四是引導(dǎo)學(xué)生反思?！安还軐捠嵌嗌伲羧ヒ粋€最大的正方形后剩下的小長方形的周長是一個固定不變的值，這是為什么？”五是建立模型。長方形的長是a，寬是b，剪去一個最大的正方形后剩下的小長方形的長為b，寬是a-b，周長等于（b+a-b）×2=2a，剩下小的長方形的周長就是原來長方形的長的2倍……學(xué)生主要圍繞原長方形的寬究竟是多少展開討論、探究，當(dāng)有學(xué)生提出對假設(shè)的方法進行賦值時，其他學(xué)生對其可靠性和正確性心存疑慮。我從學(xué)生有疑入手，引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)尋找規(guī)律，讓學(xué)生自己經(jīng)歷主動建構(gòu)的過程，體會到驗證也是自主建模的好方法。

著名數(shù)學(xué)家懷特海說過：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究?！痹凇皥D形與幾何”教學(xué)中運用模型思想組織教學(xué)，能使學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)知識的豐富內(nèi)涵，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，使教學(xué)收到事半功倍的效果。在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)模型思想，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，既是實際問題數(shù)學(xué)化的過程，也是思維訓(xùn)練的過程。因此，在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想，必將有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的能力，使學(xué)生日后也能像數(shù)學(xué)家那樣嘗試用模型思想解決生活中的實際問題。

（責(zé)編 杜 華）endprint