柳耀亮

英國心理學(xué)家貝恩布里說過：“差錯(cuò)人皆有之，而作為教師，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤不加以利用是不能原諒的。”然而，在日常教學(xué)中，許多教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題，往往無視其中的合理成分，或簡單地予以否定，或缺乏如何有效利用錯(cuò)題資源進(jìn)行教學(xué)的策略，最終使錯(cuò)題作用得不到發(fā)揮。因此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師除了提高課堂教學(xué)效率、培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣之外，還應(yīng)將學(xué)生的錯(cuò)題有機(jī)地融入教學(xué)中加以利用，從而不斷優(yōu)化教學(xué)資源，使錯(cuò)題真正成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效手段，成為教師反思自己教學(xué)得失的重要載體。

一、“一用”錯(cuò)題：變錯(cuò)題為教學(xué)預(yù)設(shè)的依據(jù)點(diǎn)

在眾多的教學(xué)資源中，教師往往對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題資源很少加以利用，導(dǎo)致預(yù)設(shè)不充分，課堂教學(xué)效果不盡如人意，課內(nèi)外作業(yè)狀況不容樂觀。因此，在教學(xué)預(yù)設(shè)中，教師應(yīng)利用學(xué)生有價(jià)值的錯(cuò)題資源，將題目的易錯(cuò)點(diǎn)有意識(shí)地設(shè)計(jì)到教學(xué)中并加以放大，充分發(fā)揮其教學(xué)功能，使其成為教學(xué)預(yù)設(shè)的有效依據(jù)。

1.為學(xué)習(xí)素材選取提供依據(jù)

學(xué)習(xí)素材的選擇不僅影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)以及對(duì)數(shù)學(xué)抽象與應(yīng)用過程的理解，還直接影響學(xué)習(xí)潛能的發(fā)揮。因此，教師在選擇學(xué)習(xí)素材時(shí)不妨利用學(xué)生的錯(cuò)題，為學(xué)生提供更為真實(shí)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)，幫助他們牢固掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，在“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”一課的教學(xué)預(yù)設(shè)中，筆者收集了這樣的錯(cuò)題資源：學(xué)生將0.416÷0.13錯(cuò)算成416÷13，認(rèn)為把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)都劃去即可。分析錯(cuò)因，歸結(jié)起來主要有兩點(diǎn)：一是學(xué)生受“將小數(shù)變成整數(shù)，使計(jì)算簡便”思想的誤導(dǎo)，造成算法理解上的片面性，誤認(rèn)為只要將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)變成整數(shù)來計(jì)算即可；二是由于例題（被除數(shù)與除數(shù)小數(shù)部分位數(shù)相同）的特殊性，導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算小數(shù)位數(shù)不一致時(shí)出錯(cuò)。對(duì)此，教師除了讓學(xué)生明確“小數(shù)除法應(yīng)根據(jù)哪個(gè)數(shù)來確定被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大多少倍”這一問題外，還可將例題改變?yōu)椤耙粭l1.65米長的彩帶，將它剪成每段0.3米，可以剪多少段”。通過對(duì)“被除數(shù)與除數(shù)小數(shù)位數(shù)不同的兩個(gè)數(shù)相除”這一教學(xué)素材的處理，不僅促進(jìn)學(xué)生積極思考，主動(dòng)關(guān)注被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，在明白算理的基礎(chǔ)上快速地獲取正確的算法，而且有利于教學(xué)難點(diǎn)的突破。

2.為教學(xué)目標(biāo)定位提供依據(jù)

教學(xué)目標(biāo)是教師進(jìn)行教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)與教學(xué)行為的歸宿，是教師教學(xué)行為的重要依據(jù)，而利用學(xué)生的錯(cuò)題資源進(jìn)行教學(xué)，將對(duì)教學(xué)目標(biāo)的理解與定位有著積極的指導(dǎo)意義。例如，在“長方體體積”學(xué)習(xí)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在算出某個(gè)長方體體積后，會(huì)將體積單位錯(cuò)寫成長度單位。造成這一錯(cuò)誤的原因除了粗心外，還有重要的一點(diǎn)是學(xué)生在套用長方體體積公式計(jì)算時(shí)只關(guān)注數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果，忽略了計(jì)算結(jié)果的本質(zhì)已發(fā)生變化，不再是簡單的一維空間這一數(shù)學(xué)事實(shí)。因此，對(duì)長方體體積教學(xué)目標(biāo)的定位，不能僅僅停留于對(duì)體積公式的推導(dǎo)與應(yīng)用上，還應(yīng)充分利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生在解決此類問題的同時(shí)發(fā)展空間想象，重視對(duì)空間觀念的培養(yǎng)與落實(shí)，進(jìn)一步完善該課時(shí)過程與方法的教學(xué)目標(biāo)。

3.為教學(xué)難點(diǎn)確立提供依據(jù)

由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，使得學(xué)生在理解時(shí)常常是勉強(qiáng)知其然，很難知其所以然。因此，在課堂教學(xué)中，教師可以利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，打開學(xué)生理解上的“閘門”，使其成為難點(diǎn)的突破口，讓學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)，把握知識(shí)的內(nèi)涵。例如，教學(xué)“平均數(shù)”一課，有這樣一道習(xí)題（出示女生套圈統(tǒng)計(jì)圖）：小林套中l(wèi)9個(gè)，晶晶套中15個(gè)，敏敏套中13個(gè)，小云套中20個(gè)，小芳套中18個(gè)，她們平均每人套中（ ）個(gè)?！庇袀€(gè)別學(xué)生出現(xiàn)了“平均每人套中22個(gè)”和“平均每人套中l(wèi)2個(gè)”這樣的錯(cuò)誤結(jié)果，反映出學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義尤其是平均數(shù)范圍的理解不夠。因此，教師在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，應(yīng)考慮如何讓學(xué)生理解平均數(shù)是有范圍的、平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的總體情況這一教學(xué)難點(diǎn)。課堂教學(xué)中，教師可以結(jié)合上述錯(cuò)題，通過質(zhì)疑、辨析、討論等活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)探究得出“幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)應(yīng)在大數(shù)與小數(shù)之間”的結(jié)論，深刻理解平均數(shù)范圍的合理性。

二、“二用”錯(cuò)題：變錯(cuò)題為課堂教學(xué)的閃光點(diǎn)

美國教育家杜威指出：“真正思考的人從自己的錯(cuò)誤中吸取知識(shí)比從自己成就中吸取的知識(shí)更多，錯(cuò)誤與探索相聯(lián)姻、相交合，才能孕育出真理?！边@段話啟示我們：當(dāng)出現(xiàn)錯(cuò)題時(shí)，我們不能僅僅經(jīng)歷簡單的糾錯(cuò)、改錯(cuò)活動(dòng)，還需辯證地審視它，嘗試挖掘蘊(yùn)含其中的價(jià)值，將它融入教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，使其成為課堂教學(xué)中的閃光點(diǎn)。

1.使錯(cuò)題成為學(xué)生新知學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)

在新知學(xué)習(xí)中，尤其是概念課，教學(xué)切入點(diǎn)的選擇與把握顯得尤為重要。利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源作為新知的切入點(diǎn)也不失為一種良策，能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)他們從另一種方式進(jìn)行再思考，從而合理地建構(gòu)新知。例如，在學(xué)習(xí)“角的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容前，筆者收集了學(xué)生在“描出圖形中其中一個(gè)角”這一練習(xí)中出現(xiàn)的一些錯(cuò)題（如下圖）：有只描了一個(gè)“●”（即頂點(diǎn)）的，有用直尺畫出兩條邊的，還有描出一個(gè)“角”的。產(chǎn)生以上錯(cuò)誤的主要原因是教師在新知引入時(shí)沒有考慮到學(xué)生對(duì)角的原有認(rèn)知與數(shù)學(xué)中的角之間的差距，導(dǎo)致新授過后學(xué)生對(duì)角的感知還是比較粗淺的。另外，還可能是由于學(xué)生缺乏正確描角的經(jīng)驗(yàn)和平時(shí)的不良作業(yè)習(xí)慣所致。根據(jù)以上分析，教師在新知引入時(shí)不妨從以下兩方面入手：一方面，為避免以往從實(shí)物圖片中引入角造成對(duì)角本質(zhì)屬性感知的干擾，可直接讓學(xué)生指認(rèn)平面圖形（三角形）中的角，充分暴露學(xué)生對(duì)角的原有認(rèn)識(shí)，找到新知切入的突破口；另一方面，遵循學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，借助課件隱去原先的三角形，依次出現(xiàn)角的頂點(diǎn)、兩條邊，讓學(xué)生自主完善角的正確表象，使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的角必須具備一個(gè)點(diǎn)和兩條直直的線，為后面認(rèn)識(shí)角的組成埋下伏筆。通過多數(shù)學(xué)生對(duì)角的錯(cuò)誤指認(rèn)這一資源，找到前概念與正確概念之間的最佳切合點(diǎn)，在師生交流互動(dòng)中逐漸把前概念中錯(cuò)誤的、片面的、模糊的意識(shí)剔除，從而建立正確的角的概念。

2.使錯(cuò)題成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)endprint

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程?！倍趯W(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中，錯(cuò)題資源也是一種不可忽視的教學(xué)資源。如果將錯(cuò)題作為教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生自己親歷實(shí)踐過程，這樣的新知建構(gòu)才是深刻而有意義的。例如，在“平行四邊形的面積計(jì)算”新授教學(xué)后，少數(shù)學(xué)生在選擇有效數(shù)據(jù)計(jì)算平行四邊形面積時(shí)總會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)選成“鄰邊相乘”這一現(xiàn)象。究其原因，一方面是教師對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的教學(xué)方式存在問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)公式的理解不深刻；另一方面是學(xué)生受長方形面積計(jì)算公式的負(fù)遷移影響以及個(gè)人學(xué)習(xí)習(xí)慣上的問題，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)選數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。因此，這一錯(cuò)誤啟發(fā)我們教師在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生知道平行四邊形面積的計(jì)算公式，會(huì)用公式進(jìn)行計(jì)算，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索平行四邊形面積公式的過程。通過實(shí)踐操作、合作交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)方法，真正感悟“底×高”的算理。我們不妨安排以下三個(gè)層次，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索的過程。首先根據(jù)對(duì)平行四邊形面積公式的猜想，為學(xué)生提供學(xué)具，使其通過動(dòng)手操作將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；然后小組合作交流，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬與原來平行四邊形的底和高之間的關(guān)系，同時(shí)通過多媒體顯示剪拼轉(zhuǎn)化的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確平行四邊形面積用“底×高”計(jì)算的算理；最后通過選擇不同的平行四邊形，讓學(xué)生先利用推導(dǎo)得出的公式口算平行四邊形的面積，再通過剪、拼及轉(zhuǎn)化來驗(yàn)證推導(dǎo)出的公式正確與否，從而提升對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的進(jìn)一步理解與內(nèi)化。因此，教師應(yīng)善于利用錯(cuò)題資源，將它作為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、操作、合作等探索發(fā)現(xiàn)的過程，并給予學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間，使其自主地抹去頭腦中那些錯(cuò)誤的猜想，促進(jìn)新知的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展。

3.使錯(cuò)題成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長點(diǎn)

課堂教學(xué)中，學(xué)生的想法有時(shí)看起來非常幼稚，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的，如果教師稍加挖掘，或許能在這些“幼稚”“錯(cuò)誤”的背后創(chuàng)造新的發(fā)展的契機(jī)。所以，教學(xué)中教師要巧妙地把錯(cuò)誤作為學(xué)生智力發(fā)展的資源，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度靈活地糾正錯(cuò)誤，給學(xué)生的創(chuàng)新思維創(chuàng)建良好的發(fā)展空間。例如，教學(xué)“化簡比”一課，有位學(xué)生在化簡3/8∶3/11時(shí)直接寫出答案8∶11，顯然答案是錯(cuò)誤的。教師面對(duì)錯(cuò)題，適時(shí)調(diào)控課堂教學(xué)，讓學(xué)生將解題過程寫在黑板上，并問板演的學(xué)生：“你這樣做是怎樣想的？”通過該生的回答，其他學(xué)生自主嘗試發(fā)現(xiàn)3/8∶3/11化成最簡整數(shù)比不是8∶11，而是11∶8。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，并通過小組間的討論得出同分子分?jǐn)?shù)化簡比的巧妙方法——只要將分母調(diào)換位置即可。這一巧妙方法的得出源于那道“錯(cuò)題”，源于那位出“錯(cuò)”學(xué)生的個(gè)性化思維。而教師所做的無非是捕捉到這一“錯(cuò)誤”資源后，以辨錯(cuò)、改錯(cuò)為起點(diǎn)，通過自主探究、討論交流，引導(dǎo)學(xué)生找到了分子相同的兩數(shù)比化簡的巧妙方法，在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的同時(shí)，保護(hù)了那位出錯(cuò)學(xué)生的自尊心。

三、“三用”錯(cuò)題 ：變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)

有效的練習(xí)設(shè)計(jì)離不開選材的優(yōu)劣，“拿來主義”和“題海戰(zhàn)術(shù)”只會(huì)抑制學(xué)生的思維與興趣。那么，要獲得好的練習(xí)選材，巧用數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源是其中的一個(gè)有效途徑。不妨利用原先的錯(cuò)題資源，將錯(cuò)題作為教師在課堂練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)的開發(fā)點(diǎn)，并充分挖掘其合理因素，使練習(xí)功能得到充分的發(fā)揮，最終提高課堂教學(xué)效率。

1.將錯(cuò)題開發(fā)置于專項(xiàng)練習(xí)中

在數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師往往忽視對(duì)專項(xiàng)練習(xí)的設(shè)計(jì)。其實(shí)，專項(xiàng)練習(xí)是針對(duì)學(xué)生所學(xué)新知中的難點(diǎn)或?qū)W生答題的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練的。因此，教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)和組織專項(xiàng)練習(xí)，讓學(xué)生通過新技能的專項(xiàng)訓(xùn)練，盡快牢固掌握新知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“除法豎式”后，常有學(xué)生在除法豎式的書寫格式和商的定位上出現(xiàn)錯(cuò)誤，這也是除法筆算起始課的教學(xué)重、難點(diǎn)。教師即使結(jié)合具體的情境將豎式中每一步所表示的意義在教學(xué)中都落實(shí)到位了，但是在實(shí)際答題時(shí)學(xué)生還是會(huì)出錯(cuò)。所以，在新授教學(xué)之后，教師有必要利用這一錯(cuò)題設(shè)計(jì)如下的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固除法豎式的格式，盡可能避免類似的錯(cuò)誤出現(xiàn)。

2.將錯(cuò)題開發(fā)置于基礎(chǔ)練習(xí)中

基礎(chǔ)練習(xí)主要是面向全體學(xué)生，為檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握程度而設(shè)計(jì)的，其作用是不可小看的。但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往采用簡單的“拿來主義”，直接選用書本的一些習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，根本未考慮基礎(chǔ)練習(xí)設(shè)計(jì)與應(yīng)用的功能，導(dǎo)致學(xué)生的練習(xí)效果下降，錯(cuò)誤百出。當(dāng)然，如果教師能根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)題，充分重視基礎(chǔ)練習(xí)的作用，將錯(cuò)題資源在基礎(chǔ)練習(xí)中進(jìn)行合理的處理與開發(fā)，相信學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤率的情況會(huì)大為改善。例如，教學(xué)“三角形的面積”一課，在面積公式運(yùn)用過程中，部分學(xué)生對(duì)“三角形面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半”這一知識(shí)點(diǎn)不理解，導(dǎo)致在相應(yīng)的變式練習(xí)或解決問題中出錯(cuò)。針對(duì)這一情況，教師不妨將這一錯(cuò)題作為基礎(chǔ)練習(xí)的開發(fā)點(diǎn)，在新授過后設(shè)計(jì)如下圖的練習(xí)。通過自主選擇、互動(dòng)互辯，不僅使學(xué)生牢固地掌握了三角形面積公式，加深了對(duì)“等底等高”的認(rèn)識(shí)，而且進(jìn)一步理解了三角形面積與它等底等高平行四邊形面積之間的關(guān)系，初步體會(huì)“等積變形”的數(shù)學(xué)思想。

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3. 將錯(cuò)題開發(fā)置于綜合練習(xí)中

在學(xué)生的錯(cuò)題中，我們不難發(fā)現(xiàn)常常有一類錯(cuò)題是因新舊知識(shí)的相互干擾和學(xué)生的思維定式所致。因此，在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)，我們可以利用錯(cuò)題設(shè)計(jì)綜合性練習(xí)，以提高學(xué)生的辨別、分析及綜合應(yīng)用能力。例如，在“解決連除問題”教學(xué)中，學(xué)生往往受思維定式的影響，解決問題時(shí)不假思索地選擇“連除”來解決，導(dǎo)致出錯(cuò)。為避免學(xué)生套用模式解決問題，教師可從培養(yǎng)學(xué)生解讀數(shù)學(xué)信息、分析與解決問題的能力出發(fā)，設(shè)計(jì)一些綜合性強(qiáng)的練習(xí)（如下圖）。通過錯(cuò)題資源的利用，可以幫助我們明確練習(xí)的目標(biāo)與針對(duì)性，促使我們重視練習(xí)的設(shè)計(jì)，積極做到以學(xué)定練，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的目的。

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實(shí)踐證明，通過變錯(cuò)題為教學(xué)預(yù)設(shè)的依據(jù)點(diǎn)、變錯(cuò)題為課堂教學(xué)的閃光點(diǎn)、變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)，確實(shí)有效地改進(jìn)了教學(xué)，提高了課堂教學(xué)的效率，并在一定程度上減輕了教師的工作負(fù)擔(dān)。因此，面對(duì)錯(cuò)題，教師應(yīng)該正確對(duì)待、合理利用，既使學(xué)生逐步形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又實(shí)現(xiàn)師生雙贏。

（責(zé)編 杜 華）endprint

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程?！倍趯W(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中，錯(cuò)題資源也是一種不可忽視的教學(xué)資源。如果將錯(cuò)題作為教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生自己親歷實(shí)踐過程，這樣的新知建構(gòu)才是深刻而有意義的。例如，在“平行四邊形的面積計(jì)算”新授教學(xué)后，少數(shù)學(xué)生在選擇有效數(shù)據(jù)計(jì)算平行四邊形面積時(shí)總會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)選成“鄰邊相乘”這一現(xiàn)象。究其原因，一方面是教師對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的教學(xué)方式存在問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)公式的理解不深刻；另一方面是學(xué)生受長方形面積計(jì)算公式的負(fù)遷移影響以及個(gè)人學(xué)習(xí)習(xí)慣上的問題，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)選數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。因此，這一錯(cuò)誤啟發(fā)我們教師在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生知道平行四邊形面積的計(jì)算公式，會(huì)用公式進(jìn)行計(jì)算，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索平行四邊形面積公式的過程。通過實(shí)踐操作、合作交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)方法，真正感悟“底×高”的算理。我們不妨安排以下三個(gè)層次，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索的過程。首先根據(jù)對(duì)平行四邊形面積公式的猜想，為學(xué)生提供學(xué)具，使其通過動(dòng)手操作將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；然后小組合作交流，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬與原來平行四邊形的底和高之間的關(guān)系，同時(shí)通過多媒體顯示剪拼轉(zhuǎn)化的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確平行四邊形面積用“底×高”計(jì)算的算理；最后通過選擇不同的平行四邊形，讓學(xué)生先利用推導(dǎo)得出的公式口算平行四邊形的面積，再通過剪、拼及轉(zhuǎn)化來驗(yàn)證推導(dǎo)出的公式正確與否，從而提升對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的進(jìn)一步理解與內(nèi)化。因此，教師應(yīng)善于利用錯(cuò)題資源，將它作為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、操作、合作等探索發(fā)現(xiàn)的過程，并給予學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間，使其自主地抹去頭腦中那些錯(cuò)誤的猜想，促進(jìn)新知的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展。

3.使錯(cuò)題成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長點(diǎn)

課堂教學(xué)中，學(xué)生的想法有時(shí)看起來非常幼稚，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的，如果教師稍加挖掘，或許能在這些“幼稚”“錯(cuò)誤”的背后創(chuàng)造新的發(fā)展的契機(jī)。所以，教學(xué)中教師要巧妙地把錯(cuò)誤作為學(xué)生智力發(fā)展的資源，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度靈活地糾正錯(cuò)誤，給學(xué)生的創(chuàng)新思維創(chuàng)建良好的發(fā)展空間。例如，教學(xué)“化簡比”一課，有位學(xué)生在化簡3/8∶3/11時(shí)直接寫出答案8∶11，顯然答案是錯(cuò)誤的。教師面對(duì)錯(cuò)題，適時(shí)調(diào)控課堂教學(xué)，讓學(xué)生將解題過程寫在黑板上，并問板演的學(xué)生：“你這樣做是怎樣想的？”通過該生的回答，其他學(xué)生自主嘗試發(fā)現(xiàn)3/8∶3/11化成最簡整數(shù)比不是8∶11，而是11∶8。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，并通過小組間的討論得出同分子分?jǐn)?shù)化簡比的巧妙方法——只要將分母調(diào)換位置即可。這一巧妙方法的得出源于那道“錯(cuò)題”，源于那位出“錯(cuò)”學(xué)生的個(gè)性化思維。而教師所做的無非是捕捉到這一“錯(cuò)誤”資源后，以辨錯(cuò)、改錯(cuò)為起點(diǎn)，通過自主探究、討論交流，引導(dǎo)學(xué)生找到了分子相同的兩數(shù)比化簡的巧妙方法，在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的同時(shí)，保護(hù)了那位出錯(cuò)學(xué)生的自尊心。

三、“三用”錯(cuò)題 ：變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)

有效的練習(xí)設(shè)計(jì)離不開選材的優(yōu)劣，“拿來主義”和“題海戰(zhàn)術(shù)”只會(huì)抑制學(xué)生的思維與興趣。那么，要獲得好的練習(xí)選材，巧用數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源是其中的一個(gè)有效途徑。不妨利用原先的錯(cuò)題資源，將錯(cuò)題作為教師在課堂練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)的開發(fā)點(diǎn)，并充分挖掘其合理因素，使練習(xí)功能得到充分的發(fā)揮，最終提高課堂教學(xué)效率。

1.將錯(cuò)題開發(fā)置于專項(xiàng)練習(xí)中

在數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師往往忽視對(duì)專項(xiàng)練習(xí)的設(shè)計(jì)。其實(shí)，專項(xiàng)練習(xí)是針對(duì)學(xué)生所學(xué)新知中的難點(diǎn)或?qū)W生答題的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練的。因此，教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)和組織專項(xiàng)練習(xí)，讓學(xué)生通過新技能的專項(xiàng)訓(xùn)練，盡快牢固掌握新知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“除法豎式”后，常有學(xué)生在除法豎式的書寫格式和商的定位上出現(xiàn)錯(cuò)誤，這也是除法筆算起始課的教學(xué)重、難點(diǎn)。教師即使結(jié)合具體的情境將豎式中每一步所表示的意義在教學(xué)中都落實(shí)到位了，但是在實(shí)際答題時(shí)學(xué)生還是會(huì)出錯(cuò)。所以，在新授教學(xué)之后，教師有必要利用這一錯(cuò)題設(shè)計(jì)如下的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固除法豎式的格式，盡可能避免類似的錯(cuò)誤出現(xiàn)。

2.將錯(cuò)題開發(fā)置于基礎(chǔ)練習(xí)中

基礎(chǔ)練習(xí)主要是面向全體學(xué)生，為檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握程度而設(shè)計(jì)的，其作用是不可小看的。但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往采用簡單的“拿來主義”，直接選用書本的一些習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，根本未考慮基礎(chǔ)練習(xí)設(shè)計(jì)與應(yīng)用的功能，導(dǎo)致學(xué)生的練習(xí)效果下降，錯(cuò)誤百出。當(dāng)然，如果教師能根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)題，充分重視基礎(chǔ)練習(xí)的作用，將錯(cuò)題資源在基礎(chǔ)練習(xí)中進(jìn)行合理的處理與開發(fā)，相信學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤率的情況會(huì)大為改善。例如，教學(xué)“三角形的面積”一課，在面積公式運(yùn)用過程中，部分學(xué)生對(duì)“三角形面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半”這一知識(shí)點(diǎn)不理解，導(dǎo)致在相應(yīng)的變式練習(xí)或解決問題中出錯(cuò)。針對(duì)這一情況，教師不妨將這一錯(cuò)題作為基礎(chǔ)練習(xí)的開發(fā)點(diǎn)，在新授過后設(shè)計(jì)如下圖的練習(xí)。通過自主選擇、互動(dòng)互辯，不僅使學(xué)生牢固地掌握了三角形面積公式，加深了對(duì)“等底等高”的認(rèn)識(shí)，而且進(jìn)一步理解了三角形面積與它等底等高平行四邊形面積之間的關(guān)系，初步體會(huì)“等積變形”的數(shù)學(xué)思想。

■

3. 將錯(cuò)題開發(fā)置于綜合練習(xí)中

在學(xué)生的錯(cuò)題中，我們不難發(fā)現(xiàn)常常有一類錯(cuò)題是因新舊知識(shí)的相互干擾和學(xué)生的思維定式所致。因此，在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)，我們可以利用錯(cuò)題設(shè)計(jì)綜合性練習(xí)，以提高學(xué)生的辨別、分析及綜合應(yīng)用能力。例如，在“解決連除問題”教學(xué)中，學(xué)生往往受思維定式的影響，解決問題時(shí)不假思索地選擇“連除”來解決，導(dǎo)致出錯(cuò)。為避免學(xué)生套用模式解決問題，教師可從培養(yǎng)學(xué)生解讀數(shù)學(xué)信息、分析與解決問題的能力出發(fā)，設(shè)計(jì)一些綜合性強(qiáng)的練習(xí)（如下圖）。通過錯(cuò)題資源的利用，可以幫助我們明確練習(xí)的目標(biāo)與針對(duì)性，促使我們重視練習(xí)的設(shè)計(jì)，積極做到以學(xué)定練，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的目的。

■

實(shí)踐證明，通過變錯(cuò)題為教學(xué)預(yù)設(shè)的依據(jù)點(diǎn)、變錯(cuò)題為課堂教學(xué)的閃光點(diǎn)、變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)，確實(shí)有效地改進(jìn)了教學(xué)，提高了課堂教學(xué)的效率，并在一定程度上減輕了教師的工作負(fù)擔(dān)。因此，面對(duì)錯(cuò)題，教師應(yīng)該正確對(duì)待、合理利用，既使學(xué)生逐步形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又實(shí)現(xiàn)師生雙贏。

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建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程?！倍趯W(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中，錯(cuò)題資源也是一種不可忽視的教學(xué)資源。如果將錯(cuò)題作為教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生自己親歷實(shí)踐過程，這樣的新知建構(gòu)才是深刻而有意義的。例如，在“平行四邊形的面積計(jì)算”新授教學(xué)后，少數(shù)學(xué)生在選擇有效數(shù)據(jù)計(jì)算平行四邊形面積時(shí)總會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)選成“鄰邊相乘”這一現(xiàn)象。究其原因，一方面是教師對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的教學(xué)方式存在問題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)公式的理解不深刻；另一方面是學(xué)生受長方形面積計(jì)算公式的負(fù)遷移影響以及個(gè)人學(xué)習(xí)習(xí)慣上的問題，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)選數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。因此，這一錯(cuò)誤啟發(fā)我們教師在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生知道平行四邊形面積的計(jì)算公式，會(huì)用公式進(jìn)行計(jì)算，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索平行四邊形面積公式的過程。通過實(shí)踐操作、合作交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)方法，真正感悟“底×高”的算理。我們不妨安排以下三個(gè)層次，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索的過程。首先根據(jù)對(duì)平行四邊形面積公式的猜想，為學(xué)生提供學(xué)具，使其通過動(dòng)手操作將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；然后小組合作交流，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的長方形的長和寬與原來平行四邊形的底和高之間的關(guān)系，同時(shí)通過多媒體顯示剪拼轉(zhuǎn)化的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確平行四邊形面積用“底×高”計(jì)算的算理；最后通過選擇不同的平行四邊形，讓學(xué)生先利用推導(dǎo)得出的公式口算平行四邊形的面積，再通過剪、拼及轉(zhuǎn)化來驗(yàn)證推導(dǎo)出的公式正確與否，從而提升對(duì)平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程的進(jìn)一步理解與內(nèi)化。因此，教師應(yīng)善于利用錯(cuò)題資源，將它作為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、操作、合作等探索發(fā)現(xiàn)的過程，并給予學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間，使其自主地抹去頭腦中那些錯(cuò)誤的猜想，促進(jìn)新知的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展。

3.使錯(cuò)題成為學(xué)生創(chuàng)造性思維的生長點(diǎn)

課堂教學(xué)中，學(xué)生的想法有時(shí)看起來非常幼稚，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的，如果教師稍加挖掘，或許能在這些“幼稚”“錯(cuò)誤”的背后創(chuàng)造新的發(fā)展的契機(jī)。所以，教學(xué)中教師要巧妙地把錯(cuò)誤作為學(xué)生智力發(fā)展的資源，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度靈活地糾正錯(cuò)誤，給學(xué)生的創(chuàng)新思維創(chuàng)建良好的發(fā)展空間。例如，教學(xué)“化簡比”一課，有位學(xué)生在化簡3/8∶3/11時(shí)直接寫出答案8∶11，顯然答案是錯(cuò)誤的。教師面對(duì)錯(cuò)題，適時(shí)調(diào)控課堂教學(xué)，讓學(xué)生將解題過程寫在黑板上，并問板演的學(xué)生：“你這樣做是怎樣想的？”通過該生的回答，其他學(xué)生自主嘗試發(fā)現(xiàn)3/8∶3/11化成最簡整數(shù)比不是8∶11，而是11∶8。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，并通過小組間的討論得出同分子分?jǐn)?shù)化簡比的巧妙方法——只要將分母調(diào)換位置即可。這一巧妙方法的得出源于那道“錯(cuò)題”，源于那位出“錯(cuò)”學(xué)生的個(gè)性化思維。而教師所做的無非是捕捉到這一“錯(cuò)誤”資源后，以辨錯(cuò)、改錯(cuò)為起點(diǎn)，通過自主探究、討論交流，引導(dǎo)學(xué)生找到了分子相同的兩數(shù)比化簡的巧妙方法，在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的同時(shí)，保護(hù)了那位出錯(cuò)學(xué)生的自尊心。

三、“三用”錯(cuò)題 ：變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)

有效的練習(xí)設(shè)計(jì)離不開選材的優(yōu)劣，“拿來主義”和“題海戰(zhàn)術(shù)”只會(huì)抑制學(xué)生的思維與興趣。那么，要獲得好的練習(xí)選材，巧用數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源是其中的一個(gè)有效途徑。不妨利用原先的錯(cuò)題資源，將錯(cuò)題作為教師在課堂練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)的開發(fā)點(diǎn)，并充分挖掘其合理因素，使練習(xí)功能得到充分的發(fā)揮，最終提高課堂教學(xué)效率。

1.將錯(cuò)題開發(fā)置于專項(xiàng)練習(xí)中

在數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師往往忽視對(duì)專項(xiàng)練習(xí)的設(shè)計(jì)。其實(shí)，專項(xiàng)練習(xí)是針對(duì)學(xué)生所學(xué)新知中的難點(diǎn)或?qū)W生答題的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練的。因此，教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)和組織專項(xiàng)練習(xí)，讓學(xué)生通過新技能的專項(xiàng)訓(xùn)練，盡快牢固掌握新知識(shí)。例如，在學(xué)習(xí)“除法豎式”后，常有學(xué)生在除法豎式的書寫格式和商的定位上出現(xiàn)錯(cuò)誤，這也是除法筆算起始課的教學(xué)重、難點(diǎn)。教師即使結(jié)合具體的情境將豎式中每一步所表示的意義在教學(xué)中都落實(shí)到位了，但是在實(shí)際答題時(shí)學(xué)生還是會(huì)出錯(cuò)。所以，在新授教學(xué)之后，教師有必要利用這一錯(cuò)題設(shè)計(jì)如下的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固除法豎式的格式，盡可能避免類似的錯(cuò)誤出現(xiàn)。

2.將錯(cuò)題開發(fā)置于基礎(chǔ)練習(xí)中

基礎(chǔ)練習(xí)主要是面向全體學(xué)生，為檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握程度而設(shè)計(jì)的，其作用是不可小看的。但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往采用簡單的“拿來主義”，直接選用書本的一些習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，根本未考慮基礎(chǔ)練習(xí)設(shè)計(jì)與應(yīng)用的功能，導(dǎo)致學(xué)生的練習(xí)效果下降，錯(cuò)誤百出。當(dāng)然，如果教師能根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)題，充分重視基礎(chǔ)練習(xí)的作用，將錯(cuò)題資源在基礎(chǔ)練習(xí)中進(jìn)行合理的處理與開發(fā)，相信學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤率的情況會(huì)大為改善。例如，教學(xué)“三角形的面積”一課，在面積公式運(yùn)用過程中，部分學(xué)生對(duì)“三角形面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半”這一知識(shí)點(diǎn)不理解，導(dǎo)致在相應(yīng)的變式練習(xí)或解決問題中出錯(cuò)。針對(duì)這一情況，教師不妨將這一錯(cuò)題作為基礎(chǔ)練習(xí)的開發(fā)點(diǎn)，在新授過后設(shè)計(jì)如下圖的練習(xí)。通過自主選擇、互動(dòng)互辯，不僅使學(xué)生牢固地掌握了三角形面積公式，加深了對(duì)“等底等高”的認(rèn)識(shí)，而且進(jìn)一步理解了三角形面積與它等底等高平行四邊形面積之間的關(guān)系，初步體會(huì)“等積變形”的數(shù)學(xué)思想。

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3. 將錯(cuò)題開發(fā)置于綜合練習(xí)中

在學(xué)生的錯(cuò)題中，我們不難發(fā)現(xiàn)常常有一類錯(cuò)題是因新舊知識(shí)的相互干擾和學(xué)生的思維定式所致。因此，在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)，我們可以利用錯(cuò)題設(shè)計(jì)綜合性練習(xí)，以提高學(xué)生的辨別、分析及綜合應(yīng)用能力。例如，在“解決連除問題”教學(xué)中，學(xué)生往往受思維定式的影響，解決問題時(shí)不假思索地選擇“連除”來解決，導(dǎo)致出錯(cuò)。為避免學(xué)生套用模式解決問題，教師可從培養(yǎng)學(xué)生解讀數(shù)學(xué)信息、分析與解決問題的能力出發(fā)，設(shè)計(jì)一些綜合性強(qiáng)的練習(xí)（如下圖）。通過錯(cuò)題資源的利用，可以幫助我們明確練習(xí)的目標(biāo)與針對(duì)性，促使我們重視練習(xí)的設(shè)計(jì)，積極做到以學(xué)定練，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的目的。

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實(shí)踐證明，通過變錯(cuò)題為教學(xué)預(yù)設(shè)的依據(jù)點(diǎn)、變錯(cuò)題為課堂教學(xué)的閃光點(diǎn)、變錯(cuò)題為練習(xí)設(shè)計(jì)的開發(fā)點(diǎn)，確實(shí)有效地改進(jìn)了教學(xué)，提高了課堂教學(xué)的效率，并在一定程度上減輕了教師的工作負(fù)擔(dān)。因此，面對(duì)錯(cuò)題，教師應(yīng)該正確對(duì)待、合理利用，既使學(xué)生逐步形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又實(shí)現(xiàn)師生雙贏。

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