畢海靜 張榮? 何雪明

(1.江南大學理學院，無錫 214122)(2.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫 214122)

引言

最近20多年來，由于混沌同步的理論價值和其在各個領域中的潛在應用，使得這方面的研究受到廣泛關注，提出了各種實現(xiàn)完全同步的方法［1-5］，然而，在實際應用中，參數(shù)的失配可能破壞完全同步流形，而且完全同步僅發(fā)生在參數(shù)空間的某個特定點上，所以除非在理想條件下它是很難實現(xiàn)的，進而人們研究許多不同類型的同步［6-12］.在各種不同類型的同步中，廣義同步［13］是指耦合混沌振子之間存在某種函數(shù)關系，可見廣義同步是完全同步的拓廣，因而廣義同步在理論價值和潛在應用方面更有普遍性.因此廣義同步成為研究熱點之一，取得了一些研究結果［14-16］，這些結果大致可以分為兩類:一是設計適當?shù)目刂破魇柜詈系南到y(tǒng)之間滿足給定的函數(shù)關系;二是輔助系統(tǒng)方法，此方法已被廣泛用于檢測兩個耦合的混沌系統(tǒng)的廣義同步.

本文的工作可歸于第一類，是針對參數(shù)未知的復雜動力學網(wǎng)絡，通過設計合適的自適應控制器實現(xiàn)了復雜動力學網(wǎng)絡之間的線性廣義同步.一個復雜動力學網(wǎng)絡是由一系列相互連接的節(jié)點組成的，其中每個網(wǎng)絡節(jié)點是一個動力系統(tǒng)，它是處理一組相互作用的動力系統(tǒng)的一個很好的工具，復雜動力學網(wǎng)絡廣義同步的研究工作包括用拓展輔助系統(tǒng)的方法來實現(xiàn)復雜網(wǎng)絡的廣義同步［17-19］，通過構建適當?shù)捻憫W(wǎng)絡使驅動響應網(wǎng)絡之間滿足預先給定的函數(shù)關系［20-21］.最近，Sun等人研究了已知參數(shù)的兩個復雜網(wǎng)絡之間的線性廣義同步［22］，受此工作啟發(fā)，本文探討了未知參數(shù)的復雜動力學網(wǎng)絡的自適應線性廣義同步.實際中復雜動力學網(wǎng)絡不可避免受到如噪聲和參數(shù)變動等不確定因素的影響，因此研究參數(shù)未知的不確定復雜動力學網(wǎng)絡的同步問題有重要意義.本文設計的自適應控制器不僅實現(xiàn)了復雜動力學網(wǎng)絡之間的線性廣義同步，而且對網(wǎng)絡中的未知參數(shù)進行了追蹤識別，適用于一類未知參數(shù)的復雜動力學網(wǎng)絡.

1 問題描述

考慮驅動復雜網(wǎng)絡

其中xi(t)=(xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t))T∈Rn，f(x):Rn→Rn，F(xiàn)(x):Rn→Rn×p為非線性函數(shù)，Θi=(θi1，θi2，…，θip)T∈Rp為 未 知 參 數(shù) 矢 量.C=(cij)N×N∈RN×N為耦合矩陣，節(jié)點i和節(jié)點j(j≠i)耦合時，cij=1;否則cij=0(j≠i)，且i=1，2，…，N.Γ∈Rn×n為內耦合矩陣.

響應復雜網(wǎng)絡

其中yi(t)=(yi1(t)，yi2(t)，…，yin(t))T∈Rn，ui為控制器.

定義 對驅動網(wǎng)絡(1)和響應網(wǎng)絡(2)，若存在映射φ:Rn→Rn滿足

則稱網(wǎng)絡(1)和(2)實現(xiàn)廣義同步.特殊地若φ(x)=Px+Q(P和Q是兩個常數(shù)矩陣)，則稱網(wǎng)絡(1)和(2)實現(xiàn)線性廣義同步.

2 線性廣義同步實現(xiàn)

定義線性廣義同步誤差為

定理 假定驅動響應網(wǎng)絡(1)(2)滿足PΓ=ΓP及以下條件:

(ⅰ)‖A‖≤α，‖B‖≤β，‖?！?γ;

(ⅱ)對任意不同的z1，z2∈Rn，有常數(shù)L，使‖g(z1)-g(z2)‖≤L‖z1-z2‖，若取自適應控制器ui為

參數(shù)值由下式追蹤識別:

其中H(x)=(Hkl(x))n×p=PF(x)，δik＞0，γkl＞0為任意常數(shù).則網(wǎng)絡(1)和(2)實現(xiàn)線性廣義同步.

構造Lyapunov函數(shù)

其中K是大的正常數(shù)，則

其中λmin為矩陣(Γ+ΓT)/2的最小本征值.如果常數(shù)K充分大就有≤0.根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論［23］和LaSalle不變性原理［24］，網(wǎng)絡(1)和(2)的任何軌跡(xi(t)，yi(t)，，εi)(i=1，2，…，N)最終收斂于不變集其中分別為常矢量和常矩陣.以下證明

事實上，根據(jù)Ei中的軌道的不變性，有H(xi)(-Θi)=0，即

根據(jù)下面的命題，未知參數(shù)會被追蹤識別，定理證明完畢.

命題 (ⅰ)對于任意給定的k∈{1，2，…，n}，若p=1，且

則只要同步流型yi=φ(xi)使Hkl0(xi)≠0，就有

(ⅱ)若p≥2，則只要同步流形yi=φ(xi)使{Hkls(xi)，ls∈{1，2，…，p}}線性無關，則也有成立.

3 數(shù)值仿真

考慮驅動動力學復雜網(wǎng)絡的節(jié)點為Lü系統(tǒng):

改寫成驅動網(wǎng)絡(1)中的系統(tǒng)形式為

其中

響應動力學復雜網(wǎng)絡的節(jié)點為R?ssler系統(tǒng)為:

改寫成網(wǎng)絡(2)中的系統(tǒng)形式為

取N=5，耦合矩陣C=(cij)5×5及內耦合矩陣Γ分別為

則對應(1)(2)形式的驅動響應網(wǎng)絡分別為:

有‖A‖=5.7897，‖B‖=1，‖?！?0.1，滿足定理條件(i).Lü系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)滿足定理條(ii)［26］.在仿真中取線性廣義同步中的P=diag(1，-2，3)，Q=［0 0 0］T，誤差ei1=yi1-xi1，ei2=yi2+2xi1，ei3=yi3-3xi3，(i=1，…，5).根據(jù)上面的定理，自適應控制器ui由(4)式給出，反饋控制和未知參數(shù)識別由如下公式給出:

其中

目標參數(shù)為Φi=(36，20，3)，選取初值

圖1 驅動網(wǎng)絡(7)和響應網(wǎng)絡(8)之間的線性廣義同步誤差Fig.1 The time evolution of the linear generalized synchronization errors between drive network(7)and response network(8)

驅動網(wǎng)絡(7)和響應網(wǎng)絡(8)之間的線性廣義同步誤差見圖1.從圖1可以看到線性廣義同步誤差收斂于零，說明兩個網(wǎng)絡實現(xiàn)了線性廣義同步.未知參數(shù)的追蹤識別如圖2，從中可看到網(wǎng)絡(7)中的未知參數(shù)已被準確識別.在圖3中，給出了驅動網(wǎng)絡(7)和響應網(wǎng)絡(8)中第三個節(jié)點吸引子的相空間圖.

圖2 和(i=1，2，…，5)的時間演化圖Fig.2 The time evaluations of， and(i=1，2，…，5)

圖3 網(wǎng)絡(7)(8)中節(jié)點和的相空間線性廣義同步圖Fig.3 The phase graphs of linear generalized synchronization nodesandin the networks(7)(8)

4 結論

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和LaSalle不變原理，針對參數(shù)未知的復雜動力學網(wǎng)絡，設計了合適的自適應控制器不僅實現(xiàn)了參數(shù)未知的復雜動力學網(wǎng)絡之間的線性廣義同步，而且對網(wǎng)絡中的未知參數(shù)進行了準確的追蹤識別，設計的控制器適用于一類參數(shù)未知的復雜動力學網(wǎng)絡.由于實際中復雜動力學網(wǎng)絡不可避免受到如噪聲和參數(shù)變動等不確定因素的影響，因此研究參數(shù)未知的不確定復雜動力學網(wǎng)絡的同步問題有重要意義.本文不僅從理論上嚴格證明了控制方法的正確性，而且還通過數(shù)值仿真結果進一步驗證了其有效性和可行性.

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