陳 龍，孫曉東，江浩斌，徐 興，盤朝奉

(江蘇大學(xué)汽車工程研究院，鎮(zhèn)江 212013)

前言

電動汽車由于具有高效率、低污染、低噪聲和電力來源廣等突出優(yōu)點(diǎn)，被認(rèn)為是緩解能源危機(jī)、改善環(huán)境污染的一個重要發(fā)展方向，受到了許多國家的高度重視[1-2]。感應(yīng)電機(jī)以其高效方便、體積小、調(diào)速范圍廣、調(diào)速性能好和控制技術(shù)成熟等特點(diǎn)，成為電動汽車主要驅(qū)動方案之一。

建立在VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理基礎(chǔ)上的支持向量機(jī)(support vector machines, SVM)[3]，有效解決了經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)中的局部極小和維數(shù)災(zāi)難等問題，在眾多領(lǐng)域里獲得了成功應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]中提出了一種最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machines, LSSVM)算法，作為標(biāo)準(zhǔn)SVM的一種擴(kuò)展，在優(yōu)化指標(biāo)中采用平方項(xiàng)，用等式約束取代不等式約束，將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問題，因而簡化了計(jì)算，使LSSVM在非線性系統(tǒng)的建模與控制中得到較大進(jìn)展[5-7]。

本文中選擇電動汽車驅(qū)動用感應(yīng)電機(jī)作為被控對象，對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行可逆性分析。在此基礎(chǔ)上，建立基于LSSVM的感應(yīng)電機(jī)逆模型，并利用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法來優(yōu)化LSSVM的核函數(shù)參數(shù)和正則化參數(shù)。將LSSVM逆模型與原系統(tǒng)相串聯(lián)，構(gòu)成一個復(fù)合偽線性系統(tǒng)，再利用已有的線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)反饋控制器進(jìn)行復(fù)合控制。最后在Matlab/Simulink下進(jìn)行了仿真，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的PI控制相比，LSSVM逆控制可使控制系統(tǒng)具有更好的魯棒性和動、靜態(tài)性能。

1 感應(yīng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型與可逆性分析

在d、q兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，感應(yīng)電機(jī)的狀態(tài)方程可用降維的3階非線性模型[8]描述為

(1)

式中：np為極對數(shù)；ω1為電氣同步角速度；ωr為轉(zhuǎn)子電氣角速度；isd、isq分別為d、q軸的定子電流；ψrd、ψrq分別為d、q軸的轉(zhuǎn)子磁鏈；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量；Lm為互感；Tr=Lr/Rr為電機(jī)轉(zhuǎn)子時間常數(shù)；Lr、Rr分別為轉(zhuǎn)子電感和電阻。在轉(zhuǎn)子磁場定向的條件下，有ψr=ψrd，isq=0，這時有

(2)

(3)

代入式(1)，系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

(4)

為判斷其可逆性，式(4)可改寫為

(5)

y=h(x)=[y1,y2]T=[x1,x2]T=[ωr,ψr]T

(6)

其中狀態(tài)變量為x=[x1,x2]T=[ωr,ψr]T，控制變量為u=[u1,u2]T=[ω1,isd]T。計(jì)算輸出對時間的導(dǎo)數(shù)，直至方程中顯含輸入變量，由式(5)得

(7)

(8)

則Jacobin矩陣為

(9)

(10)

由隱函數(shù)存在定理可知，式(5)的逆系統(tǒng)為

u=ξ(y,y(1))

(11)

2 最小二乘支持向量機(jī)簡介

LSSVM問題可描述如下，對于給定的含有l(wèi)個樣本的訓(xùn)練集(x1,y1),…,(xi,yi),…,(xl,yl)；其中xi∈Rn為輸入樣本矢量，yi∈R，為輸出樣本矢量i=1，2，…,l；l為樣本個數(shù)。則在特征空間中LSSVM模型采用如下函數(shù)：

f(x)=wTΦ(x)+b

(12)式中：w∈RH為權(quán)向量，b∈R為偏移量，非線性映射函數(shù)Φ∶Rn→RH將輸入空間映射至高維Hilbert空間。

LSSVM定義優(yōu)化問題為

(13)

(14)

其中α=(α1,α2,α3,…,αl)T為Lagrange乘子。

根據(jù)KKT最優(yōu)條件，可得

(15)

計(jì)算后消去ξi和w，則優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為求解下列線性方程組問題。

(16)

其中：y=[y1,y2,…,yl]T，1l×1=[1,1,…,1]T，I=diag[1,1,…,1]，Ω={Ωij}l×l，Ωij=ΦT(xi)·Φ(xj)，i=1，2，…,l。

定義核函數(shù)K(xi,x)=ΦT(xi)·Φ(x)，K(xi,x)為滿足Mercer條件的對稱函數(shù)。本文中核函數(shù)選取如下徑向基函數(shù)：

K(xi,x)=exp(-|xi-x|2/2σ2)

(17)

式中σ為核寬度。則LSSVM回歸的決策函數(shù)為

(18)

為了使LSSVM有最好的性能，須對LSSVM的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ進(jìn)行優(yōu)化。

3 用改進(jìn)的PSO算法優(yōu)化LSSVM模型參數(shù)

3.1 改進(jìn)的PSO算法

PSO算法是一種基于群體和適配概念群的優(yōu)化算法[9]。該算法的最優(yōu)解包含個體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解兩部分。其中，個體最優(yōu)解是指每個粒子本身在迭代過程中所找到的最優(yōu)解；而全局最優(yōu)解是指當(dāng)前粒子群中的最優(yōu)粒子。粒子群中的每個粒子通過追隨個體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解進(jìn)行搜索。

假設(shè)在D維空間中有m個粒子組成了一個群體，第i個粒子的初始位置和速度可表示為：ui=[ui1,ui2,…,uid]和vi=[vi1,vi2,…,vid]，個體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解分別為：pi=[pi1,pi2,…,pid]和pg=[pg1,pg2,…,pgd]，i=1,2,…,m，d=1,2,…,D。粒子群中的所有粒子根據(jù)式(19)和式(20)來更新速度和位置。

vi(k+1)=wvi(k)+c1r1(pi(k)-ui(k))+

c2r2(pg(k)-ui(k))

(19)

ui(k+1)=ui(k)+vi(k)

(20)

式中：c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2為(0,1)間隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重，在進(jìn)化初期，取w為一個較大的值wmax，以提高算法的全局搜索能力，然后在進(jìn)化過程中逐步減少，直至最大迭代次數(shù)nmax時，w為最小值wmin，w的數(shù)學(xué)迭代公式為

(21)

式中n為當(dāng)前迭代次數(shù)。

為了解決學(xué)習(xí)因子和最大速度等參數(shù)過大而導(dǎo)致算法的不收斂問題，文獻(xiàn)[10]中引入了收斂因子η，該方法能保證搜索過程收斂，因此本文中采用該改進(jìn)的PSO算法，則式(19)變?yōu)?/p>

vi(k+1)=η[wvi(k)+c1r1(pi(k)-ui(k))+

c2r2(pg(k)-ui(k))]

(22)

其中：

(23)

3.2 LSSVM模型評估指標(biāo)

針對LSSVM需要優(yōu)化的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ，建立樣本的均方差eRMSE作為LSSVM的性能評估指標(biāo)，并將eRMSE作為改進(jìn)的PSO算法的目標(biāo)函數(shù)：

(24)

當(dāng)LSSVM的eRMSE較小時，對應(yīng)的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ即為優(yōu)化的參數(shù)。

3.3 優(yōu)化步驟

(1) 獲取訓(xùn)練樣本和測試樣本，并將樣本進(jìn)行歸一化處理。

(2) 設(shè)置粒子群初始化參數(shù)：m=60，d=2，nmax=500，c1=c2=2.05，wmax=0.9，wmin=0.4。

(3) 在定義的D維空間隨機(jī)產(chǎn)生m個粒子，設(shè)置每個粒子的個體最優(yōu)解為pi=ui(i=1,2,…,m)，隨機(jī)產(chǎn)生的初始速度為vi(i=1,2,…,m)。

(4) 評價各個粒子的適應(yīng)度，將式(24)所表示的LSSVM性能評估指標(biāo)(即樣本均方差)定義為粒子的適應(yīng)度函數(shù)，即

f(u)=f(γ,σ)=eRMSE

(25)

(5) 對于每個粒子，比較當(dāng)前的適應(yīng)度函數(shù)f(ui)和歷史最好位置的適應(yīng)度函數(shù)f(pi)，若f(ui)

(6) 根據(jù)式(20)和式(22)更新粒子的位置和速度，產(chǎn)生新的種群，注意速度按如下規(guī)則調(diào)整：

(26)

(7) 判斷結(jié)束條件。判斷nmax≥500或者f(u)=f(γ,σ)=eRMSE<10-3是否成立，若滿足條件，則尋優(yōu)結(jié)束，否則n=n+1，并跳轉(zhuǎn)至步驟(4)。

4 LSSVM逆控制方法的實(shí)現(xiàn)

由于LSSVM可逼近任意的一類非線性函數(shù)，只要原系統(tǒng)是可逆的，便可用LSSVM來辨識其逆模型。根據(jù)LSSVM辨識原理和逆系統(tǒng)控制方法[11]，可得到LSSVM逆控制方法完整的實(shí)現(xiàn)步驟。

首先，確定激勵信號為常數(shù)迭加隨機(jī)信號作為系統(tǒng)的速度輸入給定，使原系統(tǒng)充分激勵，以獲得原系統(tǒng)的動靜態(tài)特性。LSSVM學(xué)習(xí)原系統(tǒng)的逆模型時，不但要取得原系統(tǒng)動態(tài)時的數(shù)據(jù)，而且要取得系統(tǒng)靜態(tài)時的數(shù)據(jù)，這樣才能得到完整的逆模型。因此輸入給定的選擇應(yīng)覆蓋感應(yīng)電機(jī)的整個工作區(qū)域，保證系統(tǒng)獲得足夠豐富的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。此外采樣的準(zhǔn)確度直接影響系統(tǒng)辨識的結(jié)果，從而影響控制的效果，在測量過程中，由于現(xiàn)場存在各種隨機(jī)的噪聲干擾，以及測量器件本身的誤差，測量值與真實(shí)值存在一定誤差，因此對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行了二階濾波。應(yīng)特別指出的是，須對速度給定信號的變化周期進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇，以避免出現(xiàn)實(shí)際系統(tǒng)來不及跟蹤給定信號，而始終處于動態(tài)過程的情況。各種給定信號的變化周期取10s，保證了采樣的響應(yīng)數(shù)據(jù)包含了系統(tǒng)的動靜態(tài)信息，速度的采樣周期為0.1s，得到約4 000個采樣數(shù)據(jù)。

其次，采用高階數(shù)值微分方法離線求出速度輸出響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)，然后等間隔地抽取出d=1 000組構(gòu)成訓(xùn)練樣本集{xi，ui}(i=1，2，…，d)，其中，x=[y(1)，y]=[ωr(1)，ωr]為LSSVM學(xué)習(xí)的輸入數(shù)據(jù)，u=ω1為LSSVM學(xué)習(xí)逆系統(tǒng)的期望輸出。

再次，由獲取的訓(xùn)練樣本，根據(jù)3.3節(jié)所述方法優(yōu)化LSSVM的正歸化參數(shù)γ和核寬度σ，優(yōu)化后的參數(shù)為γ=950，σ=2.6，并且LSSVM的性能評估指標(biāo)eRMSE為3.421×10-3。通過LSSVM的學(xué)習(xí)，獲得相應(yīng)的輸入向量系數(shù)αi和閾值b，根據(jù)當(dāng)前的輸入x，可以辨識出逆模型的輸出為

(27)

將求得的基于LSSVM的逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)之前，就構(gòu)成了一階偽線性復(fù)合系統(tǒng)，該復(fù)合系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了原系統(tǒng)的輸入輸出線性化，如圖1所示。

(28)

5 仿真研究

5.1 所建逆模型的預(yù)測效果比較

仿真研究中的感應(yīng)電機(jī)參數(shù)為：額定功率Pe=5kW，定子電阻Rs=5.35Ω，轉(zhuǎn)子電阻Rr=4.85Ω，定子電感Ls=0.41H，轉(zhuǎn)子電感Lr=0.46H，互感Lm=0.47H，轉(zhuǎn)動慣量J=0.018kg·m2，額定負(fù)載為16N·m，額定角速度ωN=160rad/s。

從樣本數(shù)據(jù)另外集中選取1 000組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)，用作對所建系統(tǒng)的逆模型的預(yù)測性能分析。為了衡量預(yù)測模型的性能，定義以下幾個性能指標(biāo)：

預(yù)測均方根誤差(εRMSE)

(29)

最大絕對誤差(εMAXE)

(30)

為了比較所建逆模型的有效性，分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)典SVM和經(jīng)過改進(jìn)PSO算法優(yōu)化的LSSVM建立電動汽車用感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)的逆模型，對所選的1 000組測試數(shù)據(jù)的預(yù)測均方根誤差(εRMSE)、最大絕對誤差(εMAXE)和CPU運(yùn)行時間進(jìn)行了對比，結(jié)果如表1所示。

表1 所建逆模型的預(yù)測效果比較

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型采用2-7-1的3層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，隱含層和輸出層神經(jīng)元均采用如下Tansig函數(shù)：

(31)

經(jīng)典SVM的核函數(shù)采用徑向基函數(shù)。

由表1可見，用改進(jìn)PSO算法優(yōu)化的LSSVM方法建立的逆模型，其預(yù)測精度優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和經(jīng)典SVM所建的逆模型，不僅有效避免了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程中存在的過學(xué)習(xí)、局部極小與維數(shù)災(zāi)難等問題，而且很好地解決了經(jīng)典SVM對于大容量樣本的計(jì)算復(fù)雜和計(jì)算速度緩慢等問題。

5.2 LSSVM逆控制結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所提控制策略的有效性，與傳統(tǒng)單純PI控制方法進(jìn)行了比較。圖3為系統(tǒng)跟蹤方波給定信號的速度跟蹤響應(yīng)曲線；圖4為系統(tǒng)跟蹤三角波給定信號的速度響應(yīng)曲線。從圖3和圖4中可看出，采用本文中的控制策略時，系統(tǒng)的動靜態(tài)特性好，跟蹤效果理想，跟蹤精度高。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文中所提控制策略的抗干擾能力，在100s時對系統(tǒng)突然變載，負(fù)載由12N·m突變到16N·m。傳統(tǒng)PI控制和LSSVM逆控制下系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩和角速度響應(yīng)曲線見圖5和圖6。由圖5和圖6可知，采用傳統(tǒng)PI控制方法，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時，電磁轉(zhuǎn)矩雖能在較短時間達(dá)到汽車行駛時所要求的穩(wěn)定狀態(tài)，但是轉(zhuǎn)矩波動較大，且負(fù)載突變對角速度有明顯的下降；而采用LSSVM逆控制方法時，轉(zhuǎn)矩波動較小，特別是負(fù)載突變對角速度幾乎沒有影響，說明LSSVM逆控制具有更好的魯棒性。

6 結(jié)論

針對傳統(tǒng)逆控制方法中逆模型難以建立的問題，提出了使用LSSVM求取逆模型的方法，并采用改進(jìn)的PSO算法優(yōu)化LSSVM的性能參數(shù)，對電動汽車驅(qū)動用感應(yīng)電機(jī)這一非線性、快速多變的復(fù)雜對象，運(yùn)用LSSVM逆方法進(jìn)行了控制研究，并取得了滿意的控制效果。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)具有優(yōu)良的動、靜態(tài)控制性能，并具有良好的魯棒性。

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