俞丁丁，金楊杰，張勵冠，夏志樂

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

嫦娥三號軟著陸軌道與最優(yōu)控制器設(shè)計

俞丁丁，金楊杰，張勵冠，夏志樂＊

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

以軟著陸于地形較為復(fù)雜的月球預(yù)定區(qū)域為背景，研究了高速運行嫦娥三號的著陸軌道與控制策略的設(shè)計問題。以燃料消耗最省為設(shè)計指標(biāo)，根據(jù)Pontryagin極大值原理，給出了耗損燃料的最優(yōu)推力方案，設(shè)計了相應(yīng)的著陸軌道和六個階段的最優(yōu)控制器，結(jié)合迭代法進行各個階段的模擬仿真，最后對誤差和敏感性進行詳細(xì)的分析。

嫦娥三號軟著陸；最優(yōu)控制；迭代法；Pontryagin極大值原理；

嫦娥三號是繼美國、前蘇聯(lián)實施無人月球軟著陸后由中國發(fā)射的第一個地外軟著陸探測器和巡視器，與之前的一號、二號相比更是突破了月球軟著陸、月面巡視等關(guān)鍵技術(shù)。在選擇著陸區(qū)域的問題上采取對幾種基本要求進行指標(biāo)打分的方式，最后確定虹灣區(qū)作為著陸區(qū)。

由于月球上沒有大氣，嫦娥三號無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發(fā)動機才能完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)，因此設(shè)計出一條軌道路線在保證安全的情況下達到燃料消耗最省顯得尤為關(guān)鍵。

相關(guān)學(xué)者對此進行了研究，孫軍偉［1］等通過將常推力的月球軟著陸軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個多參數(shù)優(yōu)化問題，由逐次二次規(guī)劃算法得到了最優(yōu)解。本文在相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，進一步分析和實現(xiàn)了軟著陸的具體方案和過程，滿足了軌道設(shè)計的基本要求，并以燃料消耗最省為設(shè)計指標(biāo)，設(shè)計了相應(yīng)的著陸軌道和六個階段的最優(yōu)控制器，同時對誤差和敏感性進行詳細(xì)的分析，是對上述優(yōu)化問題的細(xì)化和補充。

本文主要討論以下問題：

問1.確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠月點的經(jīng)緯坐標(biāo)，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

問2.確定嫦娥三號的在每個階段的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

問3.對于問題二的模型做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

本文數(shù)據(jù)來源于2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題。

1 問題分析

1.1 問題一分析

首先我們需要確定軌道設(shè)計的基本要求，在明確這個要求以后利用物理學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)等相關(guān)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再進行編程檢驗所建立的數(shù)學(xué)模型，確保嫦娥三號下一階段的著陸能順利完成。

1.2 問題二分析

我們對每一個階段進行分析，對于主減速階段我們在問題一中已經(jīng)解決；對于快速調(diào)整段，我們要保

證下降到2 400m的時候水平方向的速度減為0，如果在未到達2 400m的時候就已經(jīng)使得水平方向的速度為0，那么我們只需要讓它在豎直方向上下降到2 400m即可；如果在到達2 400m的時候能同時保證水平速度為0，那就讓它以這個軌跡下落；對于粗、精避障段，由于要避開大隕石坑，我們應(yīng)先對已知的圖像進行處理，通過觀察，如果它開始就不落在大的隕石坑中，那么就按照原來的那個軌跡繼續(xù)下落；如果它剛開始的中心就已經(jīng)在大的隕石坑中，那我們要調(diào)整它水平方向上的位移，使得它能落到相對較平的表面；對于緩速下降段，我們只需將到達4m處的豎直速度變?yōu)?然后又再進行自由落體運動即可。

1.3 問題三分析

模型的建立應(yīng)該考慮檢驗的原理如誤差計算公式，敏感性的表達式。誤差分析的切入點在于比較計算值與實際值的比較，敏感性分析的出發(fā)點是對參數(shù)本身的質(zhì)疑，如果給參數(shù)一定浮動但對于目標(biāo)值的影響不大，則能側(cè)面驗證被檢驗?zāi)Ｐ偷钠者m性高。處理方式可由計算公式得到對應(yīng)值，或作圖直接分析。

2 模型建立

2.1 橢圓軌道運動速度模型

文獻［2］中指出行星在環(huán)繞橢圓軌道運動中,速度每時每刻都在變化，而瞬時速度的平方,等于引力常數(shù)與中心天體質(zhì)量及半焦弦的積,除以主星中心與行星中心連線距離的平方。

2.2 霍曼轉(zhuǎn)移準(zhǔn)備著陸軌道模型

圖1 準(zhǔn)備著陸軌道分析圖

嫦娥三號準(zhǔn)備著陸時的運動如圖1所示，在運行軌道半徑為r_1的圓形近月軌道上，在遠月點收到變軌指令，發(fā)動機點火加速，由圓軌道進入霍曼轉(zhuǎn)移軌道,而軌道上物體的總能等于動能與重力位能的和，而總能又等于重力位能（軌道半徑為軌道半長軸a時的重力位能）的一半，

其中：v為物體的速度；μ=GM為中央物體的標(biāo)準(zhǔn)重力參數(shù)；r為物體至中央物體中心距離；a為物體軌道的半長軸。

r1，r2分別是原本圓軌道與目標(biāo)軌道的半徑,其中大的（小的）對應(yīng)到霍曼轉(zhuǎn)移軌道的遠拱點（近拱點）

的距離。

2.3 平面月球二維動力學(xué)模型

2.3.1 各階段下降過程中的受力運動過程分析

圖2 主減速段受力分析圖

圖3 快速調(diào)整段受力分析

圖4 粗避障段運動過程分析

圖5 精避障段受力分析

2.3.2 主減速段動力學(xué)模型

由于準(zhǔn)備著陸的速度方向是平行于月球表面的，因此開始的豎直方向的速度為0，而水平的速度為近月點的速度，如圖2所示，建立以下微分方程組：

2.3.3 快速調(diào)整段動力學(xué)模型

我們先將主減速階段進行延續(xù)，如圖3所示，建立重力轉(zhuǎn)彎軟著陸［3］的微分方程模型：

考慮到當(dāng)水平方向的速度將為0時，豎直的位移并沒有到達2 400m處，因此我們再建立豎直方向上的勻減速模型：

2.3.4 粗避障段動力學(xué)模型

由上一階段可以得到在2 400m的時候的速度為10.83m/s，若在這一階段一直做減速運動，這樣就一直有推力的作用從而使得燃料消耗的過多；若在這一階段開始不用推力的作用，使得到達一個點之后再進行勻速最后在減速，這樣在勻速的階段同樣也會有多余的燃料消耗；若我們沒有勻速這一階段，那么推力的作用只在減速的時間段內(nèi)進行，這樣會讓燃料減小的最少。如圖4所示。對先加速后減速階段建立垂直動力學(xué)模型［4］：

2.3.5 精避障段動力學(xué)模型

為了使得在30m的時候水平方向速度又降為0，因此，我們應(yīng)該讓得出來的水平方向要移動距離的前半段在加速，通過控制前后的推力相等，每時刻角度的大小相等，就能保證后半段將速度減為0的同時剛好達到30m處。如圖5所示。

于是我們建立微分方程組：

并且控制

2.4 緩速下降段垂直動力學(xué)模型

根據(jù)文獻［5］中，在該段中，著陸器離月面很近，且著陸器幾乎沿著豎直方向下降。于是對該階段進行分析，見圖6。

圖6 緩速下降段運動過程分析

對先加速后減速再自由落體階段建立垂直動力學(xué)模型：

而自由落體階段我們只需要建立運動公式

3 Pontryagin極大值原理求解

令狀態(tài)向量X=［m，Vy，Vx，y，x］^T,非線性函數(shù).

假定初始時刻t0=0，終端時刻tf自由，則軟著陸的初始條件由探測在近月點的狀態(tài)確定，而m（0）=m0，Vx=1665.184m/s，Vy=0，y0=15km，x0=0.

為了確保下一階段著陸能順利實施，需要加上終端條件y（tf）=3km，vy（tf）=57m/s，

應(yīng)用Pontryagin極大值原理,取終端性能指標(biāo)為：J=φ［X（tf）］=m0-mtf.

構(gòu)造哈密頓函數(shù)為：H(x，λ，F(xiàn))=λT.f

其中λ=［λm，λVy，λVx，λy，λx］T.滿足

根據(jù)Pontryagin極大值原理,得最優(yōu)推力為：

4 仿真分析

首先給出計算的初始條件，嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1 500N到7 500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2 940m/s。著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道。主減速段的區(qū)間是距離月面15km到3km，實現(xiàn)到距離月面3km處嫦娥三號的速度降到57m/s?？焖僬{(diào)整段需要從距離月面3km到2.4km處將水平速度減為0m/s。粗避障段是距離月面2.4km到100m，要求避開大的隕石坑，并初步確定落月地點。精細(xì)避障段的區(qū)間是距離月面100m到30m，確定最佳著陸地點，實現(xiàn)在著陸點上方30m處水平方向速度為0m/s。緩速下降階段是距離月面30m到4m，要求在距離月面4m處的速度為0m/s，即使現(xiàn)在距離月面4m處相對月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動機，使嫦娥三號自由落體到精確有落月點。對已知的數(shù)據(jù)進行仿真，結(jié)果見圖7～9。

圖7 嫦娥三號軟著陸全過程軌跡圖

圖8 全過程嫦娥三號水平方向速度隨時間變化

圖9 全過程嫦娥三號豎直方向速度隨時間變化

5 靈敏度分析

采取參數(shù)小波上下浮動得到表1和圖10、圖11。

表1 誤差分析表

圖10 不同參數(shù)下的靈敏度分析圖

圖11 不同參數(shù)下的靈敏度分析圖

6 模型推廣

1）本模型用了迭代法來解決很難求解的微分方程組，可以運用到各式各樣的微分方程組中，以犧牲部分精度來求解方程。

2）本文的模型是軟著陸模型，因此可以推廣至各表面無大氣的星球中，只需要改變一些參數(shù)即可。

3）對于本文的微分方程模型我們可以結(jié)合文獻［6］，考慮用蟻群算法來求解。

7 結(jié)論

嫦娥三號在軟著陸的過程中，通過調(diào)整姿態(tài)、減速、懸停等一系列機動過程，使得在落月段的軌跡變得較為復(fù)雜。本文對各階段進行動力分析，通過建立相應(yīng)的微分方程模型，進行經(jīng)緯度確定，最后得出的結(jié)果為嫦娥三號在近月點以1 665.184m/s的速度，平行于月球表面進行降落，在主減速段進行429.9s，水平方向移動403.293km。然后繼續(xù)降落，在快速調(diào)整段進行18s，繼續(xù)粗避障段，進行62.24s后進行懸停，再在精避障段進行35.42s，最后緩速階段進行8.8s后得以降落到月球表面。總共歷時551.36s，與實際較相符合。

［1］孫軍偉，喬棟，崔平遠.基于SQP方法的常推力月球軟著陸軌道優(yōu)化方法［J］.宇航學(xué)報，2006，27（1）:99-102.

［2］李亞平.橢圓運動與圓運動的統(tǒng)一［J］.科技信息，2010（1）:422-424.

［3］蔡艷芳.月球探測器軟著陸制導(dǎo)方法研究［D］.西安：西北工業(yè)大學(xué)，2006.

［4］單永正，段廣仁.應(yīng)用非線性規(guī)劃求解月球探測器軟著陸最優(yōu)控制問題［C］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，2007.

［5］王鵬基，張熇，曲廣吉.月球軟著陸飛行動力學(xué)和制導(dǎo)控制建模與仿真［J］.中國學(xué)，2009，39(3):521-527.

［6］段佳佳，徐世杰，朱建豐.基于蟻群算法的月球軟著陸軌跡優(yōu)化［J］.宇航學(xué)報，2008，29(2):476-481.

Chang E III's Soft Landing Trajectory and the Optimal Controller Design

YU Ding-ding，JIN Yang-jie，ZHANG Li-guan，XIA Zhi-Le*

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Iinhai 317000,China）

To set a soft landing in the complex terrain predetermined area of the moon's prospective region as background,we studied the high-speed operation Chang E III's design problems of the landing track and control strategy.With fuel consumption the most provinces as design index,according to the Pontryagin maximum principle,not only fuel consumption optimal thrust scheme was given, but also the corresponding landing orbit and six stages of optimal controller were designed. In addition,each phase of the simulation were combined with iterative method.finally,we provided a detailed analysis of the sensitivity and error.

Chang E III's soft landing;the optimal control;iterative-method;the Pontryagin maximum principle

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.004

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2014-11-06；

2014-11-27

簡介：夏志樂(1979- )，男，江蘇連云港人，講師，碩士，主要從事運籌學(xué)與控制論研究。